Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

doc1

.pdf

Скачиваний:

525

Добавлен:

31.05.2015

Размер:

11.39 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 2930 / 5330 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 > Следующая >>>

290 IX. Динамика материальной точки

Подставим найденное значение постоянной интегрирования в фор-

мулу (2) и запишем:
у = со2х2	+ с — парабола.
2 g
О т в е т : по параболе у со2х2	+ с.
2g

Задача 31.26

Точка М массы т = 1 кг движется по гладкой поверхности круглого конуса, угол раствора которого 2 а = 90°, под влиянием силы отталкивания от вершины О, пропорциональной расстоянию: F = с ОМ Н, где с = 1 Н/м.

В начальный момент точка М находилась

вточке А, расстояние OA равно а = 2 м, на-

чальная скорость v0 = 2 м/с и направлена параллельно основанию конуса.

Определить движение точки М (силой тяжести пренебречь).

У к а з а н и е . Положение точки М определяем координатой z и полярными координатами г и <р в плоскости, перпендикулярной оси Oz\ уравнение поверхности конуса г2 - z2=0.

Р е ш е н и е

Покажем на рисунке точку М в произвольном положении и действующие на нее силы: силу F = с-ОМ, нормальную реакцию N. Запишем дифференциальные уравнения движения точки в проекции на полярные оси г и ср:

т{г-г(рг) = Fr + Nr = / s i n a - N cosa,	(1)
/я(пр+2гф) = Fv + Nv = 0.
Это уравнение можно представить в виде		ю
т d . 2 .. „		ю
т d . 2 .. „	( 2 )
- — ( г ф ) = 0.	( 2 )
г dt

31. Смешанные задачи	291
Из формулы (2) следует, что
г2ф = А = const.	(3)
При t = 0: г - гй = a sin а = 2 sin 45°= -Л; /*0ф0 = v0. Тогда
А = ф0 ф0) = r0v0 = 2-J2.	(4)
Так как г2ф = const, то
/•2ф = г02ф0 = г0у0=2л/2.	(5).

Запишем основное уравнение динамики для точки М в проекции на ось п:

т — c o s a = JV,

где у2 = г2ф2; N — нормальная	реакция.
Тогда
N = тгф2 cosa.			(6)
Подставим выражение (6) в уравнение (1):
/я(Я-гф2) = с-ОМ sma-mrfy1	cos2 a = с—— sina~w/^2		cos245°. (7)
		sin a
После преобразования выражения (7) получим
mr-mrty2	-cr+^mrfy2 =0
или
г-—г-—гф2		=0.	(8)
т	2
С учетом выражения (3) уравнение (8) представим в виде
т	2 г	=	(9)
Умножим уравнение (9) на г :

292	IX. Динамика материальной точки;

Введем замену:

..	1 d 2.	.	I f / , 2ч ?
гг =	(г),	гг	2 dt	( г ) , — - =
	2 dt		2 dt	2r}

i"r	1 d . 2.
— г - — г — i r ) .
2г	4r* dt

Обозначим г2 = х, г2 = х.

С учетом этого уравнение (10) примет вид

1 dx _ 1 с dx _ 1 A1 dx _ Q

2 It		2 m~dt						'
Умножив уравнение (11) на dt и проинтегрировав, получим
2		2 т			4		Л:	1
или
1		1 с		2	+	1 А2		(12)
— г1		2 т		г1	+		-	(12)
2		2 т			А г2
Определим С, с учетом начальных условий движения: / =0, rQ =0,
r0 =аsina = 42 и, А = 242	м2/с.
Q
Так как — = 1, то из формулы (12) найдем: С, = 0. Тогда, подста-
т
вив значение С, в уравнение (12), получим
			£	,			А2	(13)
			т			2 г		(13)
			т			2 г
Умножим уравнение (9) на г:
-		с	2	_ Ь			2	п
-		с			1А
rr		т	г		2 г2 = 0.
Откуда
		=	т				2г	(14)
			т				2г
Сложим выражения (13) и (14) и получим
		t1 +fr = ~					г2.	(15)
					т

31. Смешанные задачи							293
Введем замену:
	Й2	4- м	== 1 d2		2	),
	(f	+rr)		2 dt2Ar		),
где г2 - x.
Тогда уравнение (15) примет вид
		1 d2x		_2с
		2 dt2		~ т Х
или
		х-к2:с		= 0,			(16)
,2	&
где к	= —.
	т
Общее решение однородного уравнения (16) имеет вид
или с учетом введенного обозначения
	г2	= С2ек' +Сге~к'.					(17)
Продифференцируем выражение (17) по времени:
	^ ( r 2 ) = 2гг = кС2ек1 - кСге'к1.						(18)
Определим С2 и С3 из формул (17) и (18) с учетом начальных усло-
	•J2
вий: при t = 0 r0 = а ~ > k =0. Найдем
	Х-а =С2+С3,	0 = С2 -С3			=>С2 =С3		= С
	1
или
	С = — = - = 1 (м2).
		4	4

Подставим значения постоянных интегрирования в формулу (17):

294			IX. Динамика материальной точки;
Далее из формулы (5) найдем
• -	-		-
Ф_ г2	~ е2' + е-2'~		dt'
Разделим переменные в этом выражении:
	241 dt	42de2'
е2' + е 2 '		е4'+1
проинтегрируем и получим
ф = л/2 arctg е2' +С4.				(19)
Подставим начальные условия: t		= 0, ф0 = 0, в формулу (19) и опре-
делим постоянную интегрирования:
О = л/2 arctg е2' +С4,
С4=-42	arctgl = -		^ .
			4

С учетом найденного значения С4 формула (19) примет вид:

Ф = -V2^arctg е 2 ' - ^ j .

Откуда

Ч1 + 4 1 = е

От в е т : /-2 = е2' + е~2'; t g ( j = + ^ j = <?2'.

Задача 31.27

При условиях предыдущей задачи, считая ось конуса направленной по вертикали вверх и учитывая силу тяжести, определить давление точки на поверхность конуса.

Р е ш е н и е

Свяжем с движущейся точкой естественную ось п (см. рисунок) и составим дифференциальное уравнение движения точки М в проекции на эту ось:

				ma„ = ^Fin,			(1)
где а„ =	vV2	cosaLUiU	Л „	.	-Г"1 Г	.7	N-mgsina.
где а„ =		,	г = ОМ	sina;	2_,Fin =		N-mgsina.

31. Смешанные задачи

295

Тогда уравнение (1) примет вид

mvl cosa = N-mg sin a. ОМ- sin a

Откуда найдем нормальную реакцию

Vo cosa

N =msina g + OM • sin2 a

= msina	g +	v2sin 2a
		2-ОМ-sin3 a
= wsina	g + -(OA/)2 v2 sin 2 a
		2r3

Учтем, что г2ф = /о2ф0 = ^ о = const [см. решение задачи 31.26, формула (5)] или

/"(Уф) = 'о('оФо) => rv = r0v0. Так как г = ОМ sina, r0 - a sin а, то

ОМ • v sin а = av0 sin а => ОМ • v = а • v0.

Тогда

	N =/и sin a	a2vо sin 2a
	N =/и sin a	2?
		2?
	О т в е т : N = msina g + a Vo sin 2 a
	2r3

Задача 31.28

Материальная точка А под действием силы тяжести движется по шероховатой винтовой поверхности, ось которой Oz вертикальна; поверхность задана уравнением z = ац>+/(г); коэффициент трения точки о поверхность равен к. Найти условие, при котором движение точки происходит на постоянном расстоянии от оси

296	IX. Динамика материальной точки;

АВ = г0, т.е. происходит по винтовой линии, а также найти скорость этого движения, полагая, что а = const.

У к а з а н и е . Для решения задачи целесообразно воспользоваться системой естественных осей, проектируя уравнение движения на касательную, главную нормаль и бинормаль винтовой линии в точке А. На рисунке угол между нормальной компонетной N реакции винтовой поверхности и ортом главной нормали п° обозначен через р.

Р е ш е н и е

При г = r0 = const (рис. 1) из уравнения винтовой поверхности z ^ a y + Д г ) найдем шаг винтовой линии (рис. 2):

h =2 па,
С учетом того, что b = 2щ, из рис. 2
получим
• h	a
tga = -b	= r~0 .

Уравнения движения точки А в про-
екции на касательную, нормаль и би-
нормаль имеют вид (рис. 3):
dv	(1)
т— = Gsma-kN,	(1)
dt	Рис. 1
	Рис. 1
mv. = N cosp,	(2)
Gcosa = //sin p.	(3)

Учитывая, что v9 = vcosa, G -mg, из уравнений (1) и (3) получим

	mgr0 cosa	r0g
tgP = mv2 cos2 a		v2cosa	(4)
Из геометрии поверхности, заданной уравнением г = жр+/(г),
следует, что tg (3 = ——i	. Тогда выражение (4) примет вид
/'(r0)cosa

v = Jgr0f'(r0).

31. Смешанные задачи

297

A ^N

G cosa

Рис.2

Рис.3

Движение точки происходит под действием силы тяжести G и нормальной N реакции поверхности, момент которых относительно оси z равен нулю, следовательно, Loz ~ Lz. Кроме того, точка А согласно условию задачи отстоит от оси z на постоянном расстоянии, значит,

mv0r0 cosa = тщ cosa v = v0 = const, тогда уравнение (1) примет вид

Gsina = A:JV.

(5)

Разделим уравнение (5) на уравнение (3) и получим

t g a - — = 0. sinp

Произведя в этом равенстве замену

.1	= д/1 + ctg2 р =	1 + -	L - = VI + Г 2 (г0) cos2 a,
smP	V	tg	Р

найдем условие движения точки А по винтовой линии: tga -k-yjl + /'2 (r0 )cos2 a =0.

О т в е т : движение по винтовой линии возможно при условии

tg a - Агл/l + /,2(г0) cos2 a = 0, где tga = а/г0; скорость движения v = J g r j 7 ^ ) .

298 IX. Динамика материальной тонки

Задача 31.29

Тело К, размерами которого можно пре-	У А
небречь, установлено в верхней точке А ше-	У А	fc
небречь, установлено в верхней точке А ше-			К
роховатой поверхности неподвижного по-			К
роховатой поверхности неподвижного по-	/
луцилиндра радиуса R. Какую начальную	/	1	X
горизонтальную скорость v0, направленную	о	1	X
горизонтальную скорость v0, направленную	о
по касательной к цилиндру, нужно сообщить

телу К, чтобы оно, начав движение, остановилось на поверхности цилиндра, если коэффициенты трения скольжения при движении и покое одинаковы и равны /

Р е ш е н и е

Уравнение движения тела К в проекции на ось п (см. рисунок) имеет вид

mv,.2	= mgcosq>-N.
~R
Откуда
	N = т\ gcosф—•	„2 л
	N = т\ gcosф—•	R	(1)
		R

Запишем уравнение движения тела К в проекции на ось т:

m— = mgsmy-FTp,

где Гтр = fN = fm g С О Я ф -

Тогда

dv dt

—

/ — = g(sin®-/COSffi). ( 2 )

Предельное равновесие тела К возможно при условии

mg sin ф0 = fmg cosф0.

Откуда угол предельного равновесия ф0 = arctg/.

31. Смешанные задачи			299
Осуществим в уравнении		(2) замену переменных: v = Лео, где
. . dv „	diо
со = со(ф); — = Лео — , и получим
dt	dy
	с о - - /со2	= — ( в т ф - / cos9).
	dy	R
Введем замену и = со2, тогда уравнение (2) примет вид
	— - 2 / и = — (sin9-/cos<p).		(3)
	dy	R
Найдем решение однородного уравнения

—	-2/ы = 0 => —	= 2/и => — = 2fdy	=> 1пы = 2/ф+InC => I n - = 2/ср.
dy	dy	и	С

Откуда

и = Ce2fif.

Частное решение и* = С(ф) ищем методом вариации постоянной:

Подставим найденные значения в уравнение (3) и получим

— е 2 Л

+ 2/Се2

* - 2/Се2/<р = ^ ( s i n ф - /

совф).

(4)

<Лр

Проинтегрируем выражение (4):

JrfC = ^

|(зтф-/со5ф)е-2 Л , ^ф.

Отдельно вычислим

| е"

2Л

2/4>

е 2

ф + — J е"

2Л

cos ф<Лр =

sin ф^/ф = - — J sin ф• Je" = — L - Л>

2 /

= -—<r2 *sinffi—L fcosffl^e"2/,p

= —-<Г2 / ф 5тф—-e^/ < p cos9-

2 /

4 / J

2 /

4 /

— f

2yipsinm => 1У2Л>8тф<Лр =

1+4/

— - e '

2 / < p c o s m .

4/2->

1+4/

<<< < Предыдущая 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 2930 / 5330 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
04.11.20181.76 Mб72doc1.doc
#
31.05.2015474.62 Кб48doc1.doc
#
31.05.2015490.5 Кб41doc1.doc
#
31.05.20151.09 Mб19doc1.pdf
#
31.05.20157.09 Mб28doc1.pdf
#
31.05.201511.39 Mб525doc1.pdf
#
31.05.201541.17 Mб39doc1.pdf
#
31.05.201514.26 Mб108doc2.pdf
#
31.05.2015271.87 Кб12document.doc
#
27.09.2019128.65 Кб1Dokument_Microsoft_Office_Word_Vosstanovlen (2)...docx
#
14.04.2019104.86 Кб2Dokument_Microsoft_Word(2).docx