doc1
.pdf190 |
IX. Динамика материальной точки; |
|
Продифференцируем это выражение по времени и получим |
|
|
~L |
= (Ae*-Be-*) ф. |
(3) |
г |
|
|
Постоянные А и В найдем из формул (2) и (3) с учетом начальных
|
л/2* |
V2 |
I |
условий: при ф = 0 г-2, ф = — , |
r = v0 cos45°=—, тогда А+В |
= -, |
|
|
8 |
4 |
2 |
А-В--i |
откуда А = 0, В = |
|
|
Подставим значения А и В в выражение (2): |
|
||
!= £ !
г2
или г - 2еф — уравнение траектории точки.
Из условия постоянства секторной скорости при г = 2еф найдем,
что
dt -J2
Откуда после интегрирования получим
2е2ф = ^ + С , . |
(4) |
Из начальных условий: при / = 0 ф = 0, найдем постоянную интегрирования С, = 2. Подставим значение С, в формулу (4) и с учетом того, что
е2"> =£4•'
окончательно запишем
г2 =4+л/2.
Ответ:/-2 =4+/л/2; г = 2е9.
Задача 28.19
Частица М массы 1 кг притягивается к неподвижному центру О силой, обратно пропорциональной пятой степени расстояния. Эта
28. Теоремы об изменении количества и момента количества движения |
191 |
сила равна 8 Н на расстоянии 1 м. В начальный момент частица находится на расстоянии ОМ0 = 2 м и имеет скорость, перпендикулярную к ОМ0 и равную 0,5 м/с. Определить траекторию частицы.
Р е ш е н и е
Поскольку точка движется под действием центральной силы F, воспользуемся формулой Бине:
F = -тс
С учетом данных задачи запишем:
f - X |
_8_ |
|
г5' |
||
|
так как удвоенная секторная скорость
с — /*(р — 4 • —— = 1,
где ф = -
Проинтегрируем, полагая /> = — ( - ] , d®\r)
У |
|
|
уо |
о |
(л > м0 а |
|
\лУ |
J |
Г2ф. ' |
</фЫ г2 dv? |
|
L)=± dip= |
pJP |
|
л1- |
192 |
|
|
|
|
|
IX. Динамика материальной точки; |
|
|
Постоянную С, найдем из начальных условий: при / = 0 ф = 0, г = 2, |
||||||
. |
п |
. 0,5 |
1 |
тогда |
|
|
|
г = 0, ф = — = |
4 |
|
|
|
|||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
° = -7 |
' |
1 |
=°- |
|
|
|
|
16 2 -2 |
|
||
Определим из формулы (1)
4 1
РЧ7~7'
тогда
г2 dip г2
Разделим переменные в этом выражении и после преобразований получим
d r |
j |
проинтегрируем
arccos- = ф+С2. |
(2) |
Найдем постоянную интегрирования из начальных условий: при ф = 0 г = 2; С2 = arccos 1 = 0.
Подставим значение С2 в формулу (2) и окончательно получим
Г = 2 СОБф.
О т в е т , окружность радиуса 1 м, центр которой лежит на линии ОМ0 на расстоянии 1 м от центра притяжения.
Задача 28.20
Точка массы 0,2 кг, движущаяся под влиянием силы притяжения к неподвижному центру по закону тяготения Ньютона, описывает полный эллипс с полуосями 0,1 м и 0,08 м в течение 50 с. Определить наибольшую и наименьшую величину силы притяжения Fпри этом движении.
28. Теоремы об изменении количества и момента количества движения |
193 |
|
Р е ш е н и е |
|
|
Для решения задачи воспользуемся форму- |
|
|
лой Бине в виде |
А |
|
„ с2т( 1 ^ |
... |
|
где с — удвоенная секторная скорость точки; Fr — сила притяжения;
р-—,а где b, а — соответственно малая и большая полуоси эллипса; г — расстояние от фокуса эллипса до точки М.
Из рисунка найдем
0,0 = d = л/я2 -Ь2,
по условию а = ОД м, b = 0,08 м, тогда d = 0,06 м, О, А = 0,04 м, 0,5 = 0Д6 м. Определим удвоенную секторную скорость точки М
с = 2SlabТ ,
где Т — период движения.
Подставим найденные значения в формулу (1) и получим
F |
е2/яа |
_(2каЬ^ |
ma |
_ 4тс2аът |
_ 4-ЗД42 ОД3 0,2 _ |
max |
b\a-d)2 |
I T |
)b\a-d)~T2(a-d)2 |
502(ОД0-0,Об)2 " |
|
|
|
|
= 1£7-10"3 |
(Н). |
|
|
^ = |
<fa>m |
4-ЗД42.0Д3-0Д |
|
|
|
тш |
T2(a + d)2 |
502-(0,10 + 0,Об)2 |
|
|
О т в е т : Fmax =1^710~3 Н; Fmin =U3-10"4 Н. •
Задача 28.21
Математический маятник, каждый размах которого длится одну секунду, называется секундным маятником и применяется для отсчета времени. Найти длину / этого маятника, считая ускорение силы тяжести равным 981 см/с2. Какое время покажет этот маятник на Луне, где ускорение силы тяжести в 6 раз меньше земного? Какую длину /, должен иметь секундный лунный маятник?
194 |
IX. Динамика материальной точки; |
Р е ш е н и е
Один размах математического маятника соответствует полупериоду
|
M h |
|
откуда |
|
|
/ = 4 |
= |Т7Г2 = 9 9 |
'4 (с м >- |
j t |
3,14 |
|
На Луне полупериод |
|
|
7 ; = t ^ | = V6=2,45 (с),
а длина маятника должна быть меньше в 6 раз, т.е.
h = |
/ |
~ |
99 4 |
-16,56 (см). |
7 |
6 |
|||
|
6 |
|
|
О т в е т: / = 99,4 см; Г, = 2,45 с; /, = 16,56 см.
Задача 28.22
В некоторой точке Земли секундный маятник отсчитывает время правильно. Будучи перенесен в другое место, он отстает на Г секунд в сутки. Определить ускорение силы тяжести в новом положении секундного маятника.
Р е ш е н и е
По условию при правильном отсчете времени полупериод математического маятника
Тд = Л — = 1 С.
VSО
Откуда
1 = £°-
л2
28. Теоремы об изменении количества и момента количества движения |
195 |
В другой точке Земли при отставании маятника
где g, — ускорение силы тяжести в другой точке. |
|
|
|||||
Преобразуем формулу (1): |
|
|
1Ш |
|
|
||
|
|
Т0 I |
86400 |
- |
|
|
|
|
|
|
Т |
|
|
|
|
Так как по условию Т0 = 1, то |
|
|
|
|
|||
|
|
i + _ L _ = |
|
к |
|
|
|
|
|
86400 |
y g , |
|
|
||
Откуда найдем |
|
|
|
|
|
|
|
Л/&=Л/ЯО" |
~"пг |
= л/io"! 1 ~ |
+aJtnnl - - I g |
JFoП ~ |
л |
||
T |
|||||||
1 + - |
Г |
|
86400 |
|
864002 |
86400 |
|
86400 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j2 |
ограничимся первыми двумя |
|||
Ввиду малости величины ^ |
|||||||
членами в разложении функции |
|
— в степенной ряд. Тогда |
|||||
|
|
|
1 + —-— |
|
|
||
|
|
|
|
86400 |
|
|
|
|
|
|
{. |
Т |
* |
|
|
|
|
gi =go 1 - 86400 |
|
|
|||
О т в е т: g, = g0| 1 - ^^QQ j > гДе So — ускорение силы тяжести в пер-
воначальном положении маятника.
29. Работа и мощность
Методические указания к решению задач
Работа силы является одним из важнейших понятий теоретической механики и представляет собой одну из характеристик действия силы, оказываемого на тело при некотором его перемещении. При этом работа характеризует То действие силы, которое определяется изменением модуля скорости движущейся точки.
В общем случае различают элементарную работу силы и работу силы на конечном перемещении.
Элементарная работа силы — это бесконечно малая скалярная величина, равная скалярному произведению вектора силы на вектор бесконечно малого перемещения точки приложения силы:
dA = Fdr, |
(29.1) |
где dr — приращение радиуса-вектора точки приложения силы, годографом которого является траектория этой точки.
Элементарное перемещение точки ds по траектории равно |drj в силу их малости, поэтому можно записать
dA-Fdr- |
Fds cos(Ff т). |
(29.2) |
Произведение Fco%(¥, т) представляет собой проекцию силы на
направление перемещения точки (при криволинейной траектории на касательную ось к траектории, т.е. на ось т). Тогда
dA = Fxds. |
(29.3) |
Таким образом, элементарная работа силы равна произведению модуля силы на элементарное перемещение ds и на косинус угла между направлением силы и направлением перемещения [см. формулу (29.2)] или равна проекции силы на направление перемещения, умноженной на элементарное перемещение ds [см. формулу (29.3)].
29. Работа и мощность |
197 |
При этом, если
dA >0, то Z(.F,x)<~--,
dA = 0, то Z(F, т) =
dA <0, то Z(F,x)>~.
Если в формуле (29.1) силу F и перемещение dr представить через их проекции на оси декартовых координат, т.е.
F=[Fx+]Fy+kFz,
dr = idx+jdy + kF,
то элементарная работа силы может быть представлена выражением
dA = Fxdx+Fydy+Fzdz, |
(29.4) |
которое называется аналитическим выражением элементарной работы
Если силы приложены к твердому телу, движущемуся поступательно, то элементарная работа всех сил
dA = R'dr = Reds cos (R\x) |
|
или |
|
dA = R'Tds, |
(29.5) |
где Re — главный вектор внешних сил, R° = ^Fk; R\= |
— про- |
екция главного вектора на направление перемещения, равная сумме проекций всех сил на это направление.
При вращательном движении вокруг неподвижной оси (напри-
мер, оси z) |
|
dA = M[dq> = £A/z(Fk<)d(p, |
(29.6) |
где Mz = ^Г Mz(Fke) — главный момент всех внешних сил относительно оси; d<p — элементарный угол поворота тела.
При этом сумма работ внутренних сил, действующих в твердом теле при любом движении, равна нулю.
198 |
IX. Динамика материальной точки; |
Работа силы на любом конечном перемещении s вычисляется как интегральная сумма соответствующих элементарных работ:
A, = J f e f e c o s ( F , V |
(29.7) |
S |
|
Если сила постоянная, а точка ее приложения перемещается прямолинейно, то работу на конечном перемещении вычисляют по формуле
A = Fscos{F*i). |
(29.8) |
Формулы (29.7) и (29.8) можно использовать и при вычислении
работы сил, приложенных к твердому телу, движущемуся поступа-
Л
тельно, где вместо Fcos(F, т) следует взять сумму проекций сил на направление движения.
При вращательном движении работа сил, приложенных к телу, на конечном перемещении
ч> |
|
A = jM'zd(s>. |
(29.9) |
<Р0 |
|
Если момент внешних сил относительно оси постоянный, то
А = И/'(ф-ф0) = |
фпов, |
(29.10) |
гДе Фпов = Ф_Фо — конечный угол поворота тела.
При решении задач этого параграфа и задач других параграфов на применение теоремы об изменении кинетической энергии чаще всего приходится определять работу силы тяжести, силы упругости и сил, приложенных к вращающемуся Телу.
Работа силы тяжести
A = +Gh = ±mgh, |
(29.11) |
силы упругости |
|
А = -±(Х2- Х20), |
(29.12) |
где Х0, X — соответственно начальное и конечное значения деформации (растяжение пружины или прогиб упругой балки).
29. Работа и мощность |
199 |
При этом следует иметь в виду, что если направления силы и перемещения точки (тела) совпадают, то работа силы положительна, если эти направления противоположны — отрицательна.
Мощность силы — это работа, выполненная в единицу времени. Мощность силы обозначают N:
N = j , |
(29.13) |
где А — работа, равномерно совершенная силой на конечном перемещении за время t.
В более общем случае
dA |
_ л |
F ds cos (/", т) |
|
N = — = |
dt |
dt |
или
_ |
/-.n.^s |
= Fvcos(F, v), |
(29.14) |
N = Fxv. |
(29.14') |
Сучетом формул (29.6) и (29.14) мощность сил, приложенных
ктелу, вращающемуся вокруг неподвижной оси,
N = & - = ^Mz(Fke)<o, |
(29.15) |
где аз — угловая скорость вращения тела, рад/с.
Часть мощности или часть выполненной работы может затрачиваться на преодоление вредных сопротивлений. Для оценки этого явления вводится понятие «коэффициент полезного действия» (КПД), который обозначают т|.
Коэффициент полезного действия — это отношение выполненной полезной работы АП0Л ко всей затраченной работе Лзат:
= Ajgj |
(29.16) |
При расчете мощности, например, какого-либо двигателя с учетом КПД на основании формул (29.13) и (29.16) можно использовать формулу
А |
А |
пол |
(29 17) |
уу _ -^зат _ |
|
t |
ту ' |