240 |
IX. Динамика материальной точки; |
Откуда
v0 = J^R = -у/637-106 -9,8 = 7900 (м/с).
О т в е т : 7,9 км/с.
Задача 30.26
Найти, с какой скоростью v0 нужно выбросить снаряд с поверхности Земли по направлению к Луне, чтобы он достиг точки, где силы притяжения Земли и Луны равны, и остался в этой точке в равновесии. Движением Земли и Луны и сопротивлением воздуха пренебречь. Ускорение силы тяжести у поверхности Земли g = 9,8 м/с. Отношение массы Луны и Земли т : М = 1 : 80; расстояние между ними d = 607?, где считаем R = 6000 км (радиус Земли).
Коэффициент /, входящий в формулу для величины силы всемирного тяготения, находим из уравнения
mg = mf М т
Р е ш е н и е
Найдем силы притяжения снаряда Землей — F, и Луной — F2:
F]=f^,F2=f7^lL, |
|
( 1 ) |
|
г |
|
(d - г) |
|
где от, — масса снаряда; / — гравитационная по- |
|
стоянная. |
|
|
|
|
Пусть F\= F2 В точке В (см. рисунок), тогда |
|
|
|
М |
т |
|
|
|
|
(d - г) |
|
откуда |
|
|
|
|
'1.2 |
d |
(м±4Ш) = - |
(2) |
|
М-т |
|
•Ш ±Sm |
|
30, Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки |
241 |
Из выражения (2) следует, что возможны два значения г (два корня), но так как точка, в которой снаряд будет находиться в равновесии, единственная, то следует определить, какому условию должно удовлетворять значение г.
Представим формулу (2) в виде
Поскольку — <1, то правая часть этого равенства будет меньше d
единицы при |
4м |
|
|
|
|
|
|
|
|
4М |
|
|
|
Значение |
4М -4т >1, поэтому этот корень следует отбросить. |
Таким образом, |
d-Ш |
|
|
|
( 2 ' ) |
|
4Ш + 4т |
|
|
При движении от Земли к Луне на снаряд действует сила F = |
Fl-F2. |
С учетом выражений (1) |
|
|
|
|
F = m,f, |
М |
т |
(3) |
|
|
г2 |
(d - г) . |
|
На поверхности Земли F~rr\g, |
г- R. Тогда формула (3) примет |
вид |
|
|
|
|
|
n\g-n\f |
Л/ |
т |
|
|
R2 |
(</-/Q2J |
|
|
|
|
откуда |
/ = М |
|
|
|
|
|
т |
(4) |
|
|
|
|
l?~(d-R)2
Применим теорему об изменении кинетической энергии материальной точки в интегральной форме к движению снаряда:
m,v2 m,Vo = J,A(Fk).
242 |
IX. Динамика материальной точки; |
Так как в точке В снаряд находится в равновесии, то v = 0. Следовательно,
(5)
Найдем работу сил притяжения F, и F7\
|
|
м |
м |
i г |
= - f m \ - |
R |
г |
|
|
d-r = М |
т |
т |
{ (d-r)2 |
d-r |
d-R |
и суммарную работу этих сил |
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
d-r |
г |
d-R |
Подставим выражение (6) в формулу (5) и получим |
^ - - f m , { M |
I т |
|
М |
т |
|
2 |
\R |
d-R |
|
г |
d-r |
|
Откуда с учетом выражения (4) найдем |
|
|
|
М |
т |
_ |
т |
М |
|
|
|
М |
т |
|
|
|
|
R2 |
(d-R)2 |
|
|
С учетом формулы (2')
|
М+ |
т |
_M(d-r)+mr |
М |
d-ГМ |
d-Ш |
|
-J~M+4m) |
4М + -Jin |
|
|
|
г |
d-r |
r(d-r) |
|
|
d-Ш f |
d-fM |
|
|
|
|
|
-JM + -Jm\ |
Ш + 4m |
|
MdJM |
+ d4m-d-fM |
|
d-Ш |
|
|
|
|
Ш |
+ 4т |
тЩ |
+ 4т _ d(M4m+m4M)(4M +Vm)i |
|
d-Ш |
d-Ш + d-Jm - d4M |
|
d24Mm |
|
-Ш +4m |
Ш |
+yfm |
|
|
|
30, Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки |
243 |
_ МЛ/Mm +тМ + Mm +/WMm _ VМт(М +т)+2Mm _ М +т
|
|
d-jMm |
|
d4Mm |
|
d |
2Мт |
_ М +т + |
2л/Mm-JMm _ М + 2 л / М т + т |
(4М |
+ 4т)2 |
d~JMm |
d |
|
d-4Mm |
d |
|
|
d |
Подставим это выражение в формулу (8) и преобразуем: |
М + |
Т |
( Л / М + Л / W ) 2 |
M |
m |
(л/М + л/от)2 |
R2(d-R)2 |
v2=2gK |
d7AR |
|
—S |
=2g R |
d-R |
|
|
|
|
M |
|
m |
|
6 |
M(d-R)2-mR2 |
|
R2 |
(d-R)2 |
|
|
|
|
|
|
[M(d - R)+mR\R(d - R) |
+ ^ |
Ri(d |
_ QI |
= |
= 2g |
|
|
M(d-R)2-mR2 |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
_ 2gR(d-R) |
[M(d-R)+mR\d-(Ш |
+ -Jm)2R(d-R) _ |
|
d |
|
|
|
M(d-R)2-mR2 |
|
|
|
2gR(d-R) |
|
|
Md2-MRd+mRd-(M+l4Wi+m)(Rd-R2) |
|
d |
|
|
|
M(d-R)2-mR2 |
|
|
|
_2gR(d-R) |
|
Md2 -MRd+mRd- |
MRd-2Rd4Mm |
|
|
d |
|
|
M(d-R)2-mR2 |
|
|
|
|
|
mRd + MR2+2R24Wn+mR2 |
_ |
|
|
|
|
|
|
M(d-R)2-mR2 |
|
|
|
|
_2gR(d-R) |
|
Md2 -2MRd |
+ MR2 -2-J~MmR(d- R)+mR2 _ |
|
d |
|
|
|
M(d-R)2-mR2 |
|
|
|
|
_2gR(d-R) |
M(d-R)2-24mR(d-R)+mR2 |
_ |
|
|
|
d |
|
|
M(d-R)2 |
-mR2 |
|
|
|
_2 gR(d-R) |
|
[4M(d-R)-4mR]2 |
|
|
|
|
d |
|
|
(~/M(d-R) + 4mR)(-/M(d-R)--JmR) |
~ |
|
|
|
_ 2 g R ( d - R ) ^ d ~ |
R > - R |
|
|
(9) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
244 |
|
|
|
|
|
IX. Динамика материальной точки; |
Рассчитаем VQ ПО формуле (9): |
|
|
|
vl _2gR-59R |
M-59R-R_59 |
l-a |
|
|
V° |
|
607? |
л/80-59R+R |
30 1 + a g ' |
1 |
|
|
|
|
|
|
где a = 59V80 |
= 0,002. |
|
|
|
Откуда найдем скорость снаряда |
|
у п = ] 5 2 . т . 9 М 0 - - 6 Л 0 > |
=10,75 (км/с). |
|
|
|
30 |
1,002 |
|
|
|
|
|
|
[м |
(d-R)-R |
|
2 |
2 |
i |
gR{d-K)im |
|
О т в е т : v0 = |
|
|
i - Ш |
-, где a = |
|
|
|
|
ш |
( r f - ф + Л |
59V80' |
или v0 = 10,75 км/с.
Задача 30.27
Грунт утрамбовывается ручной бабой массы 60 кг и с поперечным сечением 12 дм2, которая падает с высоты 1 м. При последнем ударе баба входит в грунт на глубину 1 см, причем сопротивление грунта движению бабы можно считать постоянным. Какую наибольшую нагрузку выдержит грунт, не давая осадки? Допускается, что утрамбованный грунт может выдержать без осадки нагрузку, не превосходящую того сопротивления, которое встречает баба, углубляясь в грунт.
Р е ш е н и е
Покажем на рисунке груз в конечном положении, когда действуют сила тяжести mg и сила сопротивления N утрамбованного грунта. Применим теорему об изменении кинетической энергии точки в интегральной форме:
|
mv mv\ |
= JjA(Fk) = A(mg) + A(N) |
|
Т |
|
|
или |
0 = A{mg) + A(N), |
|
так как v = v0 = 0. |
|
|
30, Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки |
245 |
Найдем работу этих сил. Работа силы тяжести
A(mg) - mg(H + 5),
где Я — высота, с которой падает баба; s — глубина проникновения бабы в грунт!
Работа силы сопротивления грунта
A(N) = -Ns.
Тогда уравнение (I) примет вид
mg(H+s)-Ns = 0.
Откуда
N = mg(H + s)_ 60-9,8(1+0,001) _ 5 9 ш
s 0,01
Наибольшая нагрузка [а], которую может выдержать грунт без осадки:
[с] = — = ^ ^ = 494 900 (Па),
5 0,12
где S — площадь поперечного сечения утрамбовочной бабы. О т в е т : 494,9 кПа.
Задача 30.28
Шахтный лифт движется вниз со скоростью v0 = 12 м/с. Масса лифта 6 т. Какую силу трения между лифтом и стенками шахты должен развить предохранительный парашют, чтобы остановить лифт на протяжении пути s = 10 м, если канат, удерживающий лифт, оборвался? Силу трения считать постоянной.
Р е ш е н и е
При обрыве каната лифт движется под действием силы тяжести mg и силы трения Frp (см. рисунок).
Применим теорему об изменении кинетической энергии материальной точки в интегральной форме:
2 |
~ ~- = |
~ А(Т^) + A(mg), |
(1) |
2 |
|
|
где v = 0; A(FTP) = -FTp s; A(mg) = mgs.
246 |
IX. Динамика материальной точки; |
Тогда формула (1) примет вид
|
mv |
= F^s-mgs. |
Откуда сила трения |
~2 |
|
|
|
|
|
с- mvi , |
6000• 122 |
+ 6000-9,8 = 102 000 (Н). |
|
2 1 0 |
|
|
О т в е т : F = mLg +,2s1 Л = 102 кН.
Задача 30.29
Кольцо массы 200 г скользит вниз по проволочной дуге, имеющей форму параболы у=х2. Кольцо начало двигаться из точки х = 3 м,
у= 9 м с нулевой начальной скоростью. Определить скоростькольца
исилу, действующую на кольцо со стороны проволоки, в момент прохождения им нижней точки параболы.
|
Р е ш е н и е |
У |
|
Покажем силы, действующие на кольцо |
|
|
|
в произвольно выбранной точке М: силу тя- |
1 |
|
жести mg, силу реакции 77, со стороны прово- |
|
локи (рис. 1). |
|
Применим теорему об изменении кинети- |
л |
|
ческой энергии материальной точки в инте- |
У ^ |
|
о |
|
гральной форме: |
|
,,2
mv| mv,«- = ^A(Fk) = A(mg) + A(N]),
*М0(3;9)
у\т§
X
Рис. 1
(О
где vo =0; A(mg)=mgy, A(N{) -0, так как сила /V, перпендикулярна перемещению.
Тогда уравнение (1) примет вид V,2 = 2gy,
откуда
v, = = л/2 -9,8-9 = 13,28 (м/с).
30, Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки |
247 |
Для определения давления проволоки на кольцо в нижней точке траектории составим дифференциальное уравнение движения в проекции на главную нормаль (рис. 2). На кольцо^ в точке О действуют сила тяжести mg и реакция N связи:
v2
где а„ = —, р — радиус кривизны траектории.
Р
У(п) J
I1 ' j1
о' mg
Рис. 2
Радиус кривизны кривой определяется по известной из матема-
тики формуле [2]:
[1+(у02]3/2
р~ И '
Согласно условию у = х2, тогда у' = 2х; у" = 2. Так как в точке О х-0, то у' = 0, а р = 0,5. Следовательно, а„ = 2v2 и формула (2) при-
мет вид
2mv2 = N -mg,
откуда
N= 2mv2 +mg = 0,2(2 -13Д82 +9,8) = 72,5 (Н).
От в е т: v, = 13,28 м/с; N = 72,5 Н.
Задача 30.30
Математический маятник длины / вывели из положения равновесия, сообщив ему начальную скорость v0, направленную по горизонтали. Определить длину дуги, которую он опишет в течение одного периода.
Р е ш е н и е
Для определения максимального угла отклонения маятника от вертикали (см. рисунок) применим теорему об изменении кинетической энергии точки в интегральной форме:
где v = 0; A(mg) = -mgH = -/(1 - cosa)mg.
248 IX.Динамика материальной точки;
Тогда формула (1) примет вид
v |
|
|
|
i°- = /(l-cosa)g. |
|
|
2 |
|
|
Откуда |
|
|
|
1 |
vo2 |
( |
„1 \ |
cosa = 1 ——, |
a = arccos,. |
2gl |
|
2gl |
{ |
Длина дуги, соответствующая углу а, М 0 М = la. |
За период маятник опишет дугу длиной |
|
s = 4М0М |
= 4 / a = 4/arccos|l~ |
V° |
|
|
|
2 gl |
v2 |
" |
|
|
О т в е т: s = 41 arccos 1 — |
|
|
|
2gl
31. Смешанные задачи
Методические указания к решению задач
В задачах этого параграфа рассматривается движение несвободной материальной точки. В качестве наложенных на движущуюся точку связей используются плоские, цилиндрические, конические и сферические поверхности, плоские кривые линии, невесомые стержни, нерастяжимые нити. Для решения таких задач можно применить теорему об изменении кинетической энергии материальной точки в интегральной форме и дифференциальные уравнения движения материальной точки.
Основной закон динамики для несвободной материальной точка, а следовательно, и дифференциальные уравнения ее движения имеют такой же вид, как и для свободной точки, но при этом к действующим на точку активным силам следует в соответствии с принципом освобождаемое™ от связей добавить силы реакций связи.
Однако иногда при решении первой и второй основных задач динамики силы реакций связей заранее не известны и их необходимо дополнительно определить по заданным уравнениям связей.
Поэтому вторую основную задачу динамики для несвободной материальной точки можно сформулировать так:
по заданным активным силам, массе точки, начальным условиям движения и связям, наложенным на точку, определить движение этой точки и силы реакции связи.
Второй закон динамики для несвободной материальной точки
записывается в следующем виде: |
|
m a = ^ F k ' + N , |
(31.1) |
где N — равнодействующая реакций связей. |
|
Для составления дифференциальных уравнений движения можно пользоваться декартовыми или естественными осями.
