Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

doc1

.pdf

Скачиваний:

523

Добавлен:

31.05.2015

Размер:

11.39 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 5314 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

130	IX. Динамика материальной точки

Задача 27.49

Тело веса Р, брошенное с начальной скоростью v0 под углом а к горизонту, движется под влиянием силы тяжести и сопротивления R воздуха. Определить наибольшую высоту h тела над уровнем начального положения, считая сопротивление пропорциональным первой степени скорости: R = kPv.

Р е ш е н и е

Покажем действующие на тело в произвольно выбранной точке Мсилы: силу тяжести mg, силу сопротивления R воздуха. Составим дифференциальное уравнение движения тела в проекции ° на ось у:

Vo ^ V,

fhy f i\mg т

my = -mg-RsinaDC,i

где sin а. v R-kmgv.

Тогда

y = -g(l + kvy).

Сделаем замену:
у = v,[>(/)] => У =	dy dt	= v y ~
	dy dt	dy

и, разделив переменные, представим уравнение (I) в виде

v dv		1 1 + kvy 7	1 dvy
——— = -gdy =>		-dv	kl	— = -gdy
1 + kvy		kl + kvy	kl	+ kv
или
1	1	°f d(l + kvy)		t

(i)

Здесь учтено, что при достижении наивысшего положения v = 0:

1	_	'	ln(l + *vJ° .	О'
	vq sm а	к2-	r 'Vftsmа	О'

27. Дифференциальные уравнения движения				131
Тогда
1	1
- — v00sina + — ln(l + &v„ sin o:) = -gh.
к	к
Откуда найдем наибольшую высоту
, v0sina	1	.	. .	Л
h = —gk	gk2	ln(l + kv„ sin a).

, vnsina О т в е т : / г = -

1 , /, > ч -ln(l + £v0 sm a).

Задача 27.50

В условиях задачи 27.49 найти уравнения движения точки.

Р е ш е н и е

Запишем дифференциальное уравнение движения точки М (см. рисунок к решению задачи, 27.49) в проекции на ось х:

тх = -Rx	—	-kmgx => х = -kg)с.
	&

С учетом уравнения движения в проекции на ось у [см. формулу (1) решения задачи 27.49], получим систему дифференциальных уравнений, описывающих движение точки под действием силы тяжести и силы сопротивления:

х = -kgx,	(1)
y = -g(l + ky).	(2)

Решим дифференциальное уравнение (1). Введем замену: х = vx(t), и получим

dvx ,

- = -kgvx, dt

Разделим переменные, проинтегрируем:

J	dv.Vy
vq cos a	*

132				IX. Динамика материальной точки:
и получим
lnv„ vqcoso	in v0 cosa			-kgt		vx = v0 e & cosa.
dx
Сделаем замену: vx = —, тогда
dt
	dx		•kgl,
	dt	~v a e	" cosa.
Разделим переменные и проинтегрируем это выражение:
X				I
jdx		= v0 cosaj e~**'dt.
хо-0
Откуда
			vn cosa
kg		_ "О			(1-<Г**).
				kg	(1-<Г**).
				kg
Решим уравнение (2). Введем замену: у = u(t), тогда
— = -g(l + ки)			— — =			-gdt.
dt			l + ku
Проинтегрируем:
I	J	« ± * 0 s _ g i a
k.,.L„		1 + ku		J
и получим
1 m	+ ku)			a — * < •
		vq sin		a — * < •
Откуда
,		1 + ku		,
In-		:		= -kgt,
	l +	fcv0sina

1(\

и= — + — + v„ smaV * .

кU J

27. Дифференциальные уравнения движения			133
Так как и =	то получим
	J ф = - I J Л + f - U		v0 sin a ] J e'kg,dt.
	к 0	\k	J 0

Проинтегрируем и найдем

о к

О т в е т : * =	_	;/ = — f l + v0 sin a V
kg		kg {к

Задача 27.51

При условиях задачи 27.49 определить, на каком расстоянии s по горизонтали точка достигает наивысшего положения.

Р е ш е н и е

Определим время подъема точки на высоту А. Из решения дифференциального уравнения (2) задачи 27.50 при условии, что в наивысшей точке подъема vy = 0, найдем

du	„ . .	1 °r	d(\ + ku)		1 ln(l + ки)
					vq sin a
		Уi	, ln(l + £v0sina)
		= 4	= —	2	-

При решении задачи 27.50 получили

x(t) = V° cosakg(i -

134			IX. Динамика материальной точки;
Тогда
s = x(t = /.)	= v0 cosa	- ln(l4Avoinsina)J _ v0ncosa 1		—	1
	kg	О"	kg	(1 + A:v0 sin a)
	vj sinacosa		Vn sin 2 a
	g(l + kv0 sin a)		2 g(l + kv0 sin a)
О т в e т: s = •	Vg sin 2 a
2g(l + /cv0sina)

Задача 27.52

Ввертикальной трубе, помещенной в центре круглого бассейна

инаглухо закрытой сверху, на высоте 1 м сделаны отверстия в боковой поверхности трубы, из которых выбрасываются наклонные струи воды под различными углами <р к горизонту (ф < я/2); начальная

скорость струи равна v0 = J—li— м/с, где g — ускорение силы тяже- \3cos(p

сти; высота трубы равна 1 м. Определить наименьший радиус R бассейна, при котором вся выбрасываемая трубой вода падает в бассейн, как бы мала ни была высота его стенки.

Р е ш е н и е
Выберем систему координат Оху. Составим	У
дифференциальные уравнения движения во-	У
дифференциальные уравнения движения во-
ды под действием силы тяжести trig (см. рису-		mgj \
нок) в проекции на оси х и у:		mgj \
нок) в проекции на оси х и у:
тх = 0 => Jc = 0;	о	X
ту'- -mg =>p = -g.

Решим полученные уравнения при начальных условиях: х0 =0, х0 = v = v0 cos<p;

Уо=0> Л = Vgy = v0sin<p

и найдем

х = v0 cos<p.

у = VgSinq-gt.

27. Дифференциальные уравнения движения								135
Откуда
	х = v0t cos<p,							(1)
						gt2
y = h + vS)t в т ф - - ^ - .								(2)
Из формулы (1) найдем		V„ СОБф
		V„ СОБф
Подставляя это значение в уравнение (2), получим
y = h + xtg<p					£Х2
y = h + xtg<p				02		cos	ф
				2 v		cos	ф
02		4 а
02	= —-—, тогда
По условию задачи v	= —-—, тогда
	5		' Т
	3cos9
у = A + x t g 9 ~ -					Зх2		.	(3)
				8cos<p

Определить rmin можно двумя способами.

1-й способ. Из формулы (3) после преобразований получим

				3					(4)
xsin9+(A->')cos9 = - x 2 .									(4)
				8
Сделаем подстановку:
1 • Ф	Ф		2 sin—cos—			2 tg—
1 • Ф	Ф			2
sin ф = 2 sin—cos— =		cos2 *		+ sin2 *	l+		tg 2 *
2	2	cos2 *		+ sin2 *	l+		tg 2 *
			2	2				2
			2 ф • 2 ф				,	t	2 Ф
2 Ф	• 2 Ф		COS — - sin		—		1 - tg^ -i
2 Ф	• 2 Ф			2	2				2
СОБф = COS — - sin — =					^ =
2	2		cos2 — + sin2		—		l + tg2-^
				2	2				2

Тогда выражение (4) примет вид

( A - j ) [ l - t g 2 | ) + 2 x t g | = lx 2 [l + t g 2 |

136 IX. Динамика материальной точки;

или	Л „ 2 ф					3 j
- х 2 + h-y	Л „ 2 ф					3 j	-h + y = 0.
- х 2 + h-y	\|tg — ~2xtg— н— хг						-h + y = 0.
"	2			2		8
Решения этого квадратного уравнения
t g v = x ± i x 2 - i i x 4 + ( / l - y ) 2
'2		-3х2 ,		+h-y
Реальное значение tg — возможно, когда х2							+(h - у)2	9	9	=
Реальное значение tg — возможно, когда х2							+(h - у)2	>—х4;	— х4	=
	2							64	64
= х2 +(h-у)2 — уравнение параболы.
При у = 0 и h = 1 получим
	— х 4	- х 2 - 1 = 0 .
	64
Введем обозначение х2	= Z и решим квадратное уравнение:
	— Z 2	- Z - 1 = 0 ,
	64
		1±м	1 + -			9"
		1±м		^	16
	z,и - - — I			^
			32
Так как Z = х2 2:0, то	- f N b
Следовательно,

R = xmax = 41 = л/8 = 2,83 (м).

2-й способ. Найдем решение огибающей семейства парабол как функцию угла <р.

Так как согласно формуле (3) — = 0, то
			<Лр
	х	_3х2	sin ф q
	cos2 ф	8	cos2 ф
г.	Л

где cos9?t 0, так как ф< — — по условию.

27. Дифференциальные уравнения движения			137
Тогда	8		г.—тт—
8 Ш ф =
	Зх	, СОБф = ф - Sin ф.

Подставим это значение вшф в формулу (3) при условии, что

х = xmax = R, у = 0, h = 1, получим
0 ^ 1 +		*si"<P					1
	•Jl -		sin2		ф	8	-Jl — sin2	ф'
		R	±
0 = 1+			3R				1	_
	щ			8			m
			9R2			8	3
или
		9R2			8	I	9/J
		ЗЛ2			V	9Л2
		-Л = V9/?2-64,
		9 i f - 6 4 / ? 2 - 6 4 = 0.
Введем обозначение R2 -Z					и получим квадратное уравнение
		9 Z 2 - 6 4 Z - 6 4 = 0.
Откуда
„		64 + V642				+4-9-64 _
Z =					2-9		о,
					2-9
тогда
Л = л/Z =					л/8 = 2,83 (м).
О т в е т : Л = 2,83 м.

138	IX. Динамика материальной точки;

Задача 27.53

Определить движение тяжелой материальной точки, масса которой равна т, притягиваемой к неподвижному центру О силой, прямо пропорциональной расстоянию. Движение происходит в пустоте; сила притяжения на единице расстояния равна к2 т; в момент / = 0: х = а,х = 0,у = 0,у = 0, причем ось Оу направлена по вертикали вниз.

Р е ш е н и е

Запишем дифференциальные уравнения движения точки в проекциях на оси х и у (см. рисунок):

т х =	cosос,
ту = -/'sin a+mg.
Так как cosa = —, sina = —,			F-k2mr,
	г	г
где г — расстояние от точки до			непод-
вижного центра, то
		тх =	-к2тх,

ту = -k2mr— +mg

или

х + к2х = 0, y + k2y = g.

Решение уравнения (1) имеет вид

х = С, coskt+C2 sinkt,

eg	О <	°	• • X
eg	\ а
•Xfi

,Oi srМ(х,у) Л!^ ,mg

(1)

(2)

x = -CikSinkt+C2kcoskt.

Исходя из начальных условий: / = 0, х = а, х = 0, найдем постоянные интегрирования: С, = а , С 2 = 0. Тогда

х = a coskt.

(3)

Решение уравнения (2) ищем в виде = 7 +

где у = С3 coskt+C4 sinkt — решение однородного уравнения, у* =А — частное решение.

27. Дифференциальные уравнения движения

139

Подставив у* в уравнение (2), получим

к2 А = g => А = 4-

Итак,

у = С} coskt+С4 sin kt + к ,

у = -С3к sinkt+С4кcos kt.

Используя начальные условия: / =0, у =0, у =0, найдем постоян-

ные интегрирования: С} =—Ск24	=0. Тогда
у = -^-(1 - cos kt).		(4)
к

Из равенства (3) найдем: cos kt = —, подставив это выражение в ра-

венство (4), получим уравнение траектории:

У--ГГ~7Т-Х — прямая,

лк1а

где < о, так как |cos kt\ <1.

О т в е т : гармоническое колебательное движение: х = a cos kt,

у = — (1 - cos kt) по отрезку прямой y = Ar —f— x, Ы < a.
к	к2	k2a

Задача 27.54

Точка массы т движется под действием силы отталкивания от неподвижного центра О, изменяющейся по закону F = к2тг, где г — радиус-вектор точки. В начальный момент точка находилась в М0{а, 0) и имела скорость v0, направленную параллельно оси у. Определить траекторию точки.

Р е ш е н и е

Выберем систему координат Оху (см. рисунок). Запишем дифференциальные уравнения движения точки в проекции на оси х и у:

тх = ткгх,

ту-тк2у

М0(а,0)

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 5314 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
04.11.20181.76 Mб70doc1.doc
#
31.05.2015474.62 Кб46doc1.doc
#
31.05.2015490.5 Кб40doc1.doc
#
31.05.20151.09 Mб19doc1.pdf
#
31.05.20157.09 Mб28doc1.pdf
#
31.05.201511.39 Mб523doc1.pdf
#
31.05.201541.17 Mб38doc1.pdf
#
31.05.201514.26 Mб107doc2.pdf
#
31.05.2015271.87 Кб12document.doc
#
27.09.2019128.65 Кб1Dokument_Microsoft_Office_Word_Vosstanovlen (2)...docx
#
14.04.2019104.86 Кб2Dokument_Microsoft_Word(2).docx