doc1
.pdf80 |
IX. Динамика материальной точки |
Путь х = s, пройденный за время Т, найдем по формуле (5):
h |
® + |
l |
|
; = |
U,o8 |
|
( } |
|
3-Ю"2 |
|
|
О т в е т: J = 46,2 м; Т = 6,25 с.
Задача 27.22
Тело падает в воздухе без начальной скорости. Сопротивление воздуха R-k2Pv2, где v — величина скорости тела, Р — вес тела. Какова будет скорость тела по истечении времени t после начала движения? Каково предельное значение скорости?
Р е ш е н и е
Рассмотрим движение тела при падении под действием силы тяжести trig и силы сопротивления R воздуха. Ось Z направим в сторону движения тела, т.е. вертикально вниз (см. рисунок). Запишем дифференциальное уравнение движения тела в проекции на ось с
mg
mz = mg-R = mg - k2mgv2 = mg(\ - k2v2) = mg(l - k2i2).
Сделаем замену: z - —, и разделам переменные: dt
dt |
= ^dt |
= gdt. |
|
1 -k2z2 |
|||
m |
|
Проинтегрируем полученное выражение:
_1_ In l + kz = gt+C. 2k' \-ki
Постоянную интегрирования С найдем из начальных условий:
при /=0го =v0 |
=0; — 0 = 0+С, С = 0. Тогда |
|||
|
2к |
|
|
|
|
In |
1 |
+ kt |
~2kgt, |
|
|
1 |
-kz |
|
27. Дифференциальные уравнения движения |
81 |
1 + ki _ с2кр |
|
1 -kt |
|
откуда |
|
1 е2к# - 1 |
1 е**' • |
v = z = -к e2kg' +1 |
к ekg' + e~kg'' |
Найдем предельное значение v„ скорости. Для этого выполним преобразование:
|
|
|
1 e2kgl-I |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
z = - |
к] |
1 |
ke2k*' + l' |
|
|
|
|
|
|
ke2ig,+\ |
|
|
||||
|
|
|
|
|
e2kg' |
|
|
|
|
. |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
hrru = — |
|
k\\me2ks+\ |
к |
|
к |
«>+1 к' |
|||
|
k |
i i |
1 |
|
|||||
|
|
|
\\me2kgr |
|
|
|
00 |
|
|
|
|
|
/~>«о |
|
|
|
|
|
|
Следовательно,
1 v„ = —.
к
dv
Либо из условия экстремума: v = v„ при — = 0. Тогда dt
mg!} - k2vl) = 0 => v„ = -J-.
к
1 e^-e-^ |
;—; |
1 |
|
О т в е т : v = — - |
+ e |
v„ = —. |
|
к |
p |
к |
|
Задача 27.23
Корабль массы 1,5 • (О6 кг преодолевает сопротивление воды, равное R = av2 Н, где v — скорость корабля в м/с, а a — постоянный коэффициент, равный 1200. Сила упора винтов направлена по скорости в сторону движения и изменяется по закону Т = l,2-106 (l-v/33) Н. Найти зависимость скорости корабля от времени, если начальная скорость равна v0 м/с .
82 |
IX. Динамика материальной точки |
Р е ш е н и е
Рассмотрим движение корабля под действием силы тяги Т винта, силы сопротивления R воды, силы тяжести mg, выталкивающей силы ТА. Направим ось* в сторону движения корабля (см. рисунок). Запишем дифференциальное уравнение его движения в проекции на ось х:
или |
|
|
|
|
av' |
Откуда |
|
|
1,2-106 1 |
a .г = |
1Д-106 1 - — |
33 |
I 33 |
|
х — - |
m |
1,5-Ю6 |
m |
= -0,8(0,001х2 +0,03х-1).
1200
' у - ю 6
dSc
Сделаем замену: х = -—, разделим переменные и получим dt
dx
0,001*2 +0,03*-1 = -0,8dt.
Проинтегрируем это выражение:
1 |
In 2-0,001*+0,03 - л/0,032+4-0,001-1 |
= -0,8г+С. |
л/0,032 +4-0,001-1 |
2 • 0,001х+0,03+л/0,032 + 4-0,001-1 |
|
После преобразований левой части этого выражения получим |
||
1428 In 0,002 х-0,04 = -0,8/+С. |
(1) |
|
|
0,002х+0,1 |
|
Определим постоянную интегрирования С по формуле (1) с учетом начальных условий: t =0, *„ = v0. Тогда
14,28 In 0,002v0 -0,04 = C.
0,002v0+0,1
27. Дифференциальные уравнения движения |
|
|
|
|
|
|
83 |
||||||
Подставим полученное значение С в формулу (1): |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
0,002 х-0,04 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
14,281т |
0,002x4-0,1 |
-0,8/ |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
0,002v0 -0,04 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
0,002 v0 +0,1 |
|
|
|
|
|
|
||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,002х+ОД |
_ 0,Q02v0 +0,1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
0,002 х-0,04 |
0,002v0 -0,04 |
|
|
|
|
|
||||
Разделим левую и правую части этого равенства на 0,002: |
|
||||||||||||
|
|
|
х + 5 0 _ У0+50С0 056, |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
х - 2 0 |
vn - 20 |
|
|
|
|
|
|
|||
Откуда найдем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. 50Уо -1000+20(Уо +5Q)g0, |
_ 70vo -20v0 -1000+20(v0 +50)g',0,056/ |
||||||||||||
(v0 +50)e0 056' - v0 +20 |
|
~ |
(v0 + 50)e0,056' - (v0 + 50) + 70 |
||||||||||
0 |
|
0 |
+5Q)+20(v |
0 |
|
056 |
|
0 |
0 |
0 |
' |
05 |
*' -1) |
^ 70v -2Q(v |
|
|
+5Q)e°' |
' _ 7Qv +2Q(v |
+50)(е |
|
|
||||||
(v0 + 50)e0,056' - (v0 + 50) + 70 |
|
70+(v0 + 50)(e0 056' -1) |
|||||||||||
О т в е т : v = |
70v0 +20(vo +50)(e0,056' -1) |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
70+(vo +50)(e0,056' -1) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Задача 27.24
В предыдущей задаче найти зависимость пройденного пути от скорости.
Р е ш е н и е Согласно условию задачи 27.23
£ = -0,8(0,001х2 +0,03х-1) = -0,0008(х2 +30х-1000)
или
X = V = -0,0008(v2 +30v -1000).
84 |
IX. Динамика материальной точки |
Сделаем замену: v = dx |
тогда |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
v d v |
= -0,0008fl!x |
||
|
|
|
|
v2 +30v-1000 |
|
|||
или после |
преобразований |
|
|
|
||||
|
|
|
vdv |
|
|
vdv |
= -0,0008dx. |
|
|
(v+15)2 -1225 |
(v + 15)2- 35' |
||||||
Введем новую переменную: v+15 = z, тогда v = z-\5,dv = dz» |
||||||||
ражение (1) примет вид |
|
|
|
|
||||
|
|
( V 1 5 ) f |
= |
|
|
- |
= -0,0008^. |
|
|
|
Z -352 |
|
z -352 |
z - 3 5 |
|
||
Проинтегрируем левую часть этого уравнения почленно: |
||||||||
|
|
|
|
|
zdz |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
15dz _ 1 5 1 п г - 3 5 |
|||
|
|
|
|
1 г2 -352 |
70 П г+35' |
|||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
vdv |
= |
1, |
, |
, |
15, |
г - 3 5 |
|
] |
|
1щ(, |
2 - 3 5 2 ) - i i l n i ^ = -0,0008*+С. |
|||||
(v+15) |
|
- 3 5 |
2 |
|
|
70 |
z+35 |
|
Но так как z = v +15, то |
|
|
|
|
||||
(1)
вы-
iln( Z - 35) + i(?+35) - i^ln(z - 35) + illn(^+35) =
= iln(v + 15-35) + iln(v + 15 + 3 5 ) - ^ l n ( v + 15-35) + -^ln(v + 15+35) =
= | ln(v - 20) +|ln(v+50) = -0,0008л:+C.
Найдем постоянную интегрирования С с учетом начальных условий: при t = 0 х0 = 0, v = v0:
С = Л ln(v0-20) + |ln(v0 +50),
27. Дифференциальные уравнения движения |
85 |
тогда
0,0008* = | [In(v0 - 20) - ln(v - 20)] + 1 [In(v0 + 50) - ln(v + 50)] =
Откуда |
7 |
v - 2 0 |
7 |
v+50 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+ |
5 |
1 |
l |
n |
^ = 3 5 7 1 n ^ + 8 9 3 1 n ^ . |
||
0,0008-7 |
v - 2 0 0,0008 |
|
v+50 |
v - 2 0 |
v+50 |
|||
О т в е т : л: = 357 In ^ ^ + 8 9 3 |
In |
v + 50 |
(м). |
|
||||
|
v - 2 0 |
|
|
|
|
|
||
Задача 27.25
В задаче 27.23 найти зависимость пути от времени при начальной скорости v0 =10 м/с.
Р е ш е н и е
Из-решения задачи 27.23:
|
|
|
20со,О56, ,50у0 -1000 |
||
|
_ 70v0 + 20(у0 + 5О)(е°'056/ - 1) _ |
|
уо +50 |
||
|
70+(v0 + 50)(е°'056' -1) |
|
со.о5б, , |
20-v0 |
|
|
|
|
|
|
v0 +50 |
Введем |
обозначения: |
|
|
|
|
|
50vo -1000 |
= а, |
20-v0 |
, |
|
|
—- |
- - Ь. |
|
||
|
vo +50 |
|
v0+50 |
|
|
Тогда |
20e0 056' + fl |
|
|
||
|
|
|
|||
|
v = - |
е0,056' +Ь |
|
|
|
~ |
dx |
|
|
|
|
Так как v = —, то |
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
и - 20e°'°56! dt |
а |
dt- 20ё°'т' |
dt |
ае'°Ш1 |
dt |
86 |
IX. Динамика материальной точки |
Проинтегрируем это выражение почленно, обозначив е0-056' +b = z, 0,056е0 056'Л = dz, получим
|
20е0 056' |
г 20dz |
|
20 . |
|
||
|
J ел |
+b |
•'0,056z |
0,056 |
|
||
Введем обозначения: 1 +be'0fiitl |
= у, |
-0,056bte^m'dt = dy, тогда |
|||||
f |
^ |
dt = - |
f |
— |
= |
—Iny. |
|
J |
1 + ^ - 0 , 0 5 6 , |
|
J Q Q 5 6 b y |
0 0 5 6 6 |
' |
||
Следовательно,
|
2 0 . |
|
e . |
f , 0 , |
0 i 6 > |
|
x + C = |
0,056 In? |
0,0566 lny = 3571n've • |
|
|||
50vo -1000 |
|
|
|
|
|
|
2 |
Ц |
5 |
0 |
_ |
4 |
+ |
0,056- 20-Vo ^ |
|
v0 +50 |
|
|
|
|
VO+50 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v0 +50 |
|
|
,20-v0 v0 +50
20 - v0 > v0+50.
(1)
Найдем постоянную С из начальных условий: при t = 0 х0 = 0, тогда
С = 375 In 1 + 20-v0 |
+ 8 9 3 1 n f l + ^ V |
|||
VO+50 |
|
I |
v 0 + 5 0 j |
|
= 3571n — Zl _ +893Jn — ^ - = 1250ln- |
7 0 |
|||
v0 +50 |
v0 +50 |
|
v0 |
+50 |
Подставим значение С в решение (1) и |
найдем |
|
||
jc = 3571n[(v0 + 50)е0,056'+20 - v0] - 357 ln(v0 +50) +
+ 893 ln[(v0 + 50)+(20 - v0)e-°056'] - 893 ln(v0 + 50) -1250 In 70 +
+ 12501п(у()+50) = 1 2 5 0 1 п ( у ' » + 5 0 ) / 0 5 6 / + 2 0 - у ° - 5 0 ? . 70
27. Дифференциальные уравнения движения |
87 |
При v0 = 10 м/с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
,,, f t I |
(Ю + 50)е0 036' +20-10 |
„ |
бе0,056' +1 < п . . |
||||||
Л: = i2501ri- |
70 |
|
|
|
50r = 12501n |
7 |
50Г (м). |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
О т в е т: х = 12501n |
( v |
° |
+ 5 0 ) g |
°^ |
, + 2 0 |
V |
0 |
|
|
|
|
|
~ ° - 50 /; при v =10 м/с |
||||||
|
6-0,0561 |
|
|
|
|
|
|||
х = 1250In— |
|
|
- - 5 0 ? (м). |
|
|
||||
Задача 27.26
Вагон массы 9216 кг приходит в движение вследствие действия ветра, дующего вдоль полотна, и движется по горизонтальному пути. Сопротивление движению вагона равно 1/200 его веса. Сила давления ветра Р = kSu2, где S — площадь задней стенки вагона, подверженной давлению ветра, равная 6 м2, и — скорость ветра относительно вагона, а к = 1,2. Абсолютная скорость ветра v = 12 м/с. Считая начальную скорость вагона равной нулю, определить:
1)наибольшую скорость vmax вагона;
2)время Т, которое потребовалось бы для достижения этой скорости;
3)на каком расстоянии х вагон наберет скорость 3 м/с.
Р е ш е н и е |
|
Рассмотрим движение вагона под дей- |
|
ствием силы давления Р ветра, силы со- |
|
противления Fc, силы тяжести mg и реак- |
|
ции N путей. Направим ось х в сторону |
j |
движения вагона. Составим дифферен- |
"*" |
циальное уравнение движения в проек- |
|
ции на ось х: |
|
mx = Y4Fkx = P~Fs или с учетом данных задачи
mx = kSu2 - —
200
•N
ШШШ
mg
О)
88 IX. Динамика материальной точки
Скорость ветра относительно вагона
И — VB — УЮ Г = VB — X ,
где vD — абсолютная скорость ветра; v^,. = х — скорость вагона. Тогда уравнение (1) примет вид
|
|
|
mx = |
kS(vB-x)2-^-. |
|
||
Откуда |
|
|
|
|
|
200 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
? = |
- х) 2 |
|
||
или |
|
|
|
т |
|
Х ) 200 |
|
|
„ |
|
kS |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
х |
= ml |
|
2mS _ |
|
|
После подстановки числовых значений найдем |
|
||||||
. |
1,2-6 |
.о |
- |
9,81-9216 |
= 0,00078[(12-х)2 |
- 7^2 2 ] . |
|
х = |
9216 |
(12-х)2 |
1,2 -6-200 |
||||
|
|
|
|
|
|||
Сделаем замену: х = —, разделим переменные и получим dt
|
dx |
|
= 0,00078fft. |
|
(12-х)2 -1$2г |
|
|||
Введем переменную 12 - х = z, -dx = dz, тогда |
|
|||
|
-dz |
- = 0.00078Л. |
|
|
Z2-1$22 |
|
|||
|
|
|
||
Проинтегрируем это выражение: |
|
|
||
1 |
In^ |
|
=0,00078/+С |
|
2 1$2 |
z + 7,92 |
|
|
|
или после подстановки значения z |
|
|
||
1 -in4 '0 8 |
* |
=0,00078/+С. |
(2) |
|
15,84 |
19,92 |
- х |
|
|
Найдем постоянную интегрирования С по начальным условиям: при / =0 Xq =0, тогда
с = — L m 4 - 0 8
15,84 19,92
27. Дифференциальные уравнения движения
Подставим значение С в формулу (2):
|
! |
Л |
15,84 v 19,92-х |
19,92 |
= -0,00078/, |
Ц9,92 - л: 4 , 0 8 /
Потенциируем это выражение:
4 8 8i 4,08--х = ^р.0,23^
19,92-х
откуда
--0,0123/ _ 1
Найдем максимальную скорость и время ее достижения. Скорость v = х максимальна, если х = 0:
dx |
( |
19р2 |
е-0,0123г |
|
|
< ( 23 |
ах |
|
е-00123' -4,88 J |
19,92 0,0123 •3,88g- ' " ' |
|||
dt |
|
|
(е"0-0123'-4,88)2 |
|||
т.е. если |
->0. |
|
|
|
|
|
Это достигается при / - » З н а ч и т , Т = |
Тогда |
|||||
|
|
|
„«, |
1 |
1992 |
|
|
Vmax =19,92-р |
= Т ^ = 4 ' 0 8 |
(М/С)- |
|||
|
|
|
- - 4 , 8 8 |
4 ' 8 8 |
|
|
89
< 3 >
Найдем уравнение движения вагона, для этого необходимо проинтегрировать уравнение (3):
|
|
-0,0123/ |
, |
|
1 - 0 , 0 1 2 3 / |
|
fdx = 19,92 f - 4 — |
—dt+C |
= 19,92 |
= |
|||
J |
' J |
e - 0 , 0 1 2 3 / _ 4 ) 8 8 |
|
J 4 g g _ |
е-0,0!23/ |
|
|
|
Ht |
|
r |
--0,0123/ |
|
|
, |
„0,0123/ |
|
|
„-0,0123/ |
|