doc1
.pdf50 |
IX. Динамика материальной точки |
|
Такая же замена вводится и при интегрировании дифференци- |
ального уравнения, правая часть которого содержит силу, зависящую от координаты х в любой степени.
При решении дифференциальных уравнений движения материальной точки методом разделения переменных вместо введения постоянных интегрирования можно сразу брать от обеих частей равенства определенные интегралы с соответствующими пределами интегрирования.
Иногда дифференциальные уравнения движения удобнее решать, применяя теорию дифференциальных уравнений.
6. Решив дифференциальное уравнение, необходимо выполнить соответствующие преобразования и получить в общем виде выражения искомых величин. Затем следует провести косвенную проверку правильности полученного результата подсчетом размерностей.
Прямолинейное движение
Задачи и решения
Задача 27.1
Камень падает в шахту без начальной скорости. Звук от удара камня о дно шахты услышан через 6,5 с от момента начала его падения. Скорость звука равна 330 м/с. Найти глубину шахты.
Р е ш е н и е |
|
|
Приняв камень за материальную точку, |
о |
Ш |
составим дифференциальное уравнение |
|
|
его движения под действием силы тяже- |
|
|
сти mg (см. рисунок) в проекции на ось JC: |
I |
mg |
|
mx-mg |
|||
|
|||
или |
Ж |
27. Дифференциальные уравнения движения |
51 |
Проинтегрируем это выражение и получим
st2
2 1
Постоянные интегрирования найдем с учетом начальных условий движения: при / = 0 х0 =0, х0 = 0. Тогда С, =0, С2 =0.
Следовательно, закон движения камня:
х = gt2
В момент падения камня х = h, t = f,, т.е.
h - |
(1) |
где h — глубина шахты; — время падения камня.
С другой стороны,
h = v,„t2,
где v3B — скорость звука; t2 — время прохождения звука от удара со дна шахты.
Так как общее время toS -ts +t2, то t2 -ta&-t). Тогда
|
|
|
*«2v'in2 |
^ 2vrзв об/ |
_ |
|
|
|
|
|
|
tn' |
|
0. |
|
|
2 |
|
g |
g |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Решив это квадратное уравнение относительно tb |
|
найдем |
|||||
|
|
U |
|
g |
|
|
|
|
|
g \ g |
2 |
|
|
|
|
Подставим это значение /, в формулу (1) и получим |
|
||||||
h = * |
+ 2 v »? o6 |
_ v^ f _ 9,8 ( |
[ЗЗО2 |
, 2-330-6,5 |
|
330V |
= 175 M . |
H f |
g |
g |
9,82 |
9,8 |
|
9,8 |
|
О т в е т : 175 м.
52 |
IX. Динамика материальной точки |
Задача 27.2
Тяжелое тело спускается по гладкой плоскости, наклоненной под углом 30° к горизонту. Найти, за какое время тело пройдет путь 9,6 м, если в начальный момент его скорость равнялась 2 м/с.
Р е ш е н и е
Приняв тяжелое тело за материальную точку, составим дифференциальное уравнение движения тела в проекции на ось х (см. рисунок):
mx = mg sin а.
Проинтегрируем его и с учетом начальных условий движения: при / = 0 л:0 =0, хй = v0, получим
x = g?sina+v0 ,
gt2 .
х = -2— sina + v
2
или
gsina gsina
Решим это квадратное уравнение и вычислим время, за которое тело пройдет 9,6 м:
gsma^V |
v02 |
J 9,8-Q$(j |
22 |
J |
О т в е т : 1,61 с.
Задача 27.3
При выстреле из орудия снаряд вылетает с горизонтальной скоростью 570 м/с. Масса снаряда 6 кг. Как велико среднее давление пороховых газов, если снаряд проходит внутри орудия 2 м? Сколько времени движется снаряд в стволе орудия, если считать давление газов постоянным?
27. Дифференциальные уравнения движения |
53 |
Р е ш е н и е |
|
|
|
Приняв снаряд за материальную точку, |
|
||
составим дифференциальное |
уравнение |
N |
|
движения снаряда в стволе в проекции на |
|||
о - Р |
|||
ось х (см. рисунок): |
|
||
тх = Р, |
|
mg |
|
где Р = const — среднее давление пороховых газов.
Проинтегрируем это уравнение с учетом начальных условий: при t = 0 х0 = 0> *о = 0. и получим
т
2т
В момент вылета снаряда х = v = 570 м/с, х = / = 2 м. Решим совместно систему уравнений:
У-К
т
|
|
А |
|
I - |
Р-2т |
и найдем |
|
|
|
t |
2 |
Тогда |
|
|
P = |
Z2 = 4,88-Ю5 (Н), |
|
0,007 |
|
|
21 |
2-2 |
|
/ - _ |
= £_£ = 0,007 (с), |
|
v |
570 |
|
О т в е т : /> = 4,88-105 Н;/ = 0,007с.
54 |
IX. Динамика материальной точки |
Задача 27.4
Тело массы т вследствие полученного толчка прошло по негладкой горизонтальной плоскости за 5 с расстояние s = 24,5 м и остановилось. Определить коэффициент трения /.
Р е ш е н и е |
|
Приняв тело за материальную точку, |
|
рассмотрим его движение под действием |
N |
силы тяжести mg, силы трения F^, нор- |
|
мальной реакции N (см. рисунок). |
|
Направив ось л: в сторону движения те- |
о |
ла, составим дифференциальные уравне- |
mg |
ния его движения в проекциях на оси хиу: |
|
Так как р = 0, то N = mg, тогда Frp=fN = fmg. Следовательно,
тх = -fmg,
x = ~fge
или
dv dt
Разделим переменные, проинтегрируем дважды в соответствующих пределах:
]dv = -fg'jdt,
-v = -fgt
или
dx
dt = fgt,
)dx = fg\tdt
27. Дифференциальные уравнения движения |
55 |
и получим
|
г * 1 |
s = |
f8T |
Откуда
J &2 9,8-25
О т в е т: / = 0,2.
Задача 27.5
За какое время и на каком расстоянии может быть остановлен тормозом вагон трамвая, идущий по горизонтальному пути со скоростью 10 м/с, если сопротивление движению, развиваемое при торможении, составляет 0,3 от веса вагона.
Р е ш е н и е |
|
|
|
Приняв вагон трамвая за материальную |
|
|
|
точку, рассмотрим его движение под дейст- |
|
|
|
вием силы тяжести nig, силы сопротивления |
|
N |
|
R, нормальной реакции N (см. рисунок). |
|
£ 3 |
|
Направим ось х в сторону движения трам- |
о |
||
вая, запишем дифференциальное уравнение |
|
mg |
|
движения вагона в проекции на ось х: |
|
|
|
mx = |
^Fix=-R, |
|
|
тх = -03mg, |
|
|
|
х = -03g- |
|
|
|
- dv |
|
|
проинтегрируем |
Введем замену х ~ — , разделим переменные, |
|||
dt |
|
|
|
в соответствующих пределах: |
|
|
|
)dv = |
-Wg\dt |
|
|
v 0 |
О |
|
|
и получим |
|
|
|
v - v0 = - 0£gt. |
|
(1) |
|
56 IX. Динамика материальной точки
Так как скорость в конце пути v = 0, то
t•• vn |
10 = 3,4 (с). |
OJg |
OJg |
dx
Введем замену v = —, тогда выражение (1) примет вид dt
~dtdx = -03g/ + v0.
Разделим переменные, проинтегрируем в соответствующих пределах:
s |
3,4 |
3,4 |
jdx= |
jv0dt- |
JOJgtdt |
и найдем
s= v 0 ^ 4 - 0 3 f y | ; - 4 =10-3,4-03-9,8—- = 17 (м).
От в е т: t = 3,4 с; s = 17 м.
Задача 27.6
' Принимая в первом приближении сопротивление откатника постоянным, определить продолжительность отката ствола полевой пушки, если начальная скорость отката равна 10 м/с, а средняя длина отката равна 1м.
Р е ш е н и е |
|
|
|
Приняв откатник за материальную точку, |
у |
|
|
рассмотрим его движение под действием силы |
|
|
N |
тяжести mg, силы сопротивления Fc и реак- |
|
Ъ Г |
|
ции опоры N (см. рисунок). Направим ось х |
|
1 |
|
в сторону движения и запишем дифференци- |
q |
|
-п1 |
альное уравнение движения откатника в про- |
|
|
X |
|
|
' mg |
|
екции на ось х: |
|
|
|
тх |
|
|
(1) |
где Fc = const. |
|
|
|
27. Дифференциальные уравнения движения |
57 |
Введем замену х - — , тогда уравнение (1) примет вид dt
dt т
Разделим переменные, проинтегрируем в соответствующих пределах: •
\dv |
= |
F'r |
|
-^-\dt |
|||
1 |
|
т •J |
|
у0 |
|
О |
|
и получим |
|
|
|
V = v0 |
-t |
||
|
|
т |
|
dx |
|
|
|
или с учетом замены v = — |
|
|
|
dt |
|
|
|
dx |
|
Ft |
|
— = v0 |
m |
1. |
|
dt |
|
|
|
Разделим переменные, проинтегрируем: |
|||
S |
I |
|
pi |
jdx = |
jv0dt-~$tdt |
||
о |
о |
m о |
|
и найдем |
, |
К 2 |
|
|
|||
|
|
2m |
|
При v0 = 10 м/с длина отката J = 1M, т.е. 1 = 10/-5/.
Откуда t = ОД с.
О т в е т : 0,2 с.
Задача 27.7
Тяжелая точка поднимается по негладкой наклонной плоскости, составляющей угол а = 30° с горизонтом. В начальный момент скорость точки равнялась v0 =15 м/с. Коэффициент трения/= 0,1. Какой путь пройдет точка до остановки? За какое время точка пройдет этот путь?
58 |
|
IX. Динамика материальной точки |
|
Р е ш е н и е |
|
|
|
Рассмотрим движение тяжелой точки М под |
|
||
действием силы тяжести mg, силы трения Flp • |
|
||
и реакции опоры N (см. рисунок). |
|
|
|
Составим дифференциальные уравнения дви- |
u |
||
жения точки М, направив ось х в сторону ее дви- |
т е |
||
жения, в проекциях на оси л: и у: |
|
|
|
mx = ^Fkx=-mgsma-F^>, |
(1) |
||
тУ = |
= N-mg |
cosa. |
(2) |
Так как у = 0, то из уравнения (2) следует, что
N =mgcosa.
Тогда
F^ = fN = fmgcosa,
и уравнение (1) примет вид
mx = -mgsma-fmg cosa
или
dv
— = -g(sin a + / cosa). (3) dt
Разделим переменные в уравнении (3), проинтегрируем:
ч |
I |
|
-g(sina + / cosa)| dt |
Vo |
0 |
и получим
vk - vo = -g(sina + /cosa)/,
где vk =0, v0 =15 м/с. Откуда
/ = |
^ |
= |
15 |
= 2 6 1 ( c ) |
|
g(sina+/cosa) |
|
9,8(0,5 +0,0866) |
|
27. Дифференциальные уравнения движения |
59 |
Для определения пути дифференциальное уравнение (3) запишем в виде
dv dx = - g (.s.i n a + /, cosa).. dt dx
Разделим переменные в этом выражении и проинтегрируем:
vk J
J vdv = -£(sin a + / c o s a ) J dx.
v 0 о
Так как vk = 0, то получим
= -g(sin a+/cosa)s.
Откуда найдем
s = |
v2 |
= |
IS2 |
= 1937 <M). |
h |
— |
|||
|
2g(sina+f cosa) |
|
2-9,8(03+0,0866) |
|
О т в e т: s = 19,57 м; / = 2,61 |
с. |
|
|
|
Задача 27.8
По прямолинейному железнодорожному пути с углом наклона a = 10° вагон катится с постоянной скоростью. Считая сопротивление трения пропорциональным нормальному давлению, определить ускорение вагона и его скорость через 20 с после начала движения, если он начал катиться без начальной скорости по пути с углом наклона (3 = 15°. Определить также, какой путь пройдет вагон за это время.
Р е ш е н и е
Приняв вагон за материальную точку, рассмотрим его движение на участке АВ под действием силы тяжести mg, силы трения FUv и нормальной реакции Ж, опоры (см. рисунок). Составим дифференциальное уравнение в проекции на ось х,:
Щ=