doc1
.pdf230 |
IX. Динамика материальной точки; |
Откуда |
|
f - |
2 A |
|
с |
так как в положении равновесия cf„ = Q, то — = f„, тогда / = 2 f„ = = 2 -0,002 = 0,004 (м) = 4 (мм). с
2) Определим скорость, с которой груз падает на балку:
где Я — высота, с которой груз падает на балку; v0' = 0. Откуда найдем
V т
Рассмотрим движение груза на упругой балке:
~\2 W»" 12 __ |
-/-2 |
(2)
где v" = 0, v'0'=v' = j2gH.
После подстановки этих значений в формулу (2) получим
-flgH-Qf-SO-,
cf2 -QH =Qf-SL-
или
/ 2 _ 2 б / _ Ж = 0)
сс
f2-2f„f-2f„H |
= 0. |
Откуда
Л,2 = /ст ± V/c? +2/с т Я = 0,002 ± л/0,0022 +2 -0,002 0,1 = 0,002 ± 0,0201,
так к а к / > 0, то
/= 0,002 + 0,0201 = 0,0221 (м) = 22,1 (мм).
От в е т : 1) 4 мм; 2) 22,1 мм.
30, Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки |
231 |
Задача 30.18
Две ненапряженные пружины АС и ВС, расположенные по горизонтальной прямой Ах, прикреплены шарнирами к неподвижным точкам .4 и В, а в точке С — к гире массы 2 кг. Пружина АС сжимается на 1 см силой 20 Н, а пружина СВ вытягивается на 1 см силой 40 Н. Расстояние АС= ВС= 10 см. Гире С сообщена скорость v0 = 2 м/с в таком направлении, что при последующем движении она проходит через точку D, координаты которой xD = 8 см, yD = 2 см, если за начало координат принять точку А и координатные оси направить, как указано на рисунке. Определить скорость гири в момент прохождения ее через точку D, лежащую в вертикальной плоскости ху.
|
|
|
|
в |
|
|
8 см |
10 см |
|||
|
|
Ж |
|||
|
|
|
|
||
Р е ш е н и е |
|
|
|
||
Рассмотрим движение ги- |
|
|
|||
ри С под действием силы тя- |
|
|
|||
жести G и сил упругости пру- |
г2 О |
|
|||
жин |
(см. рисунок). При- |
8 см |
10 см |
||
меним теорему об изменении |
|||||
I |
|
||||
кинетической энергии |
мате- |
|
|||
риальной точки при переме- |
|
|
|||
щении гири из начального по- |
|
|
|||
ложения в точку D: |
|
|
|
||
|
mv mvl |
••^A(Fk) = A(G) + A(Fi) + A(F2), |
|||
где A(G) = 0,02mg\ A(Ft) •• |
A(F2) = |
-c2^. |
|||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
mv |
- + 0,02mg~-(cX |
+ c2~k\), |
||
|
~2~ |
||||
|
|
|
|
||
30, Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки |
233 |
|||
Так как v0 = 0, то |
|
|
||
Т = |
= Pis incp |
уравнение синусоиды (рис. 2, кривая |
/). |
|
Определим потенциальную энергию гру- т |
п |
|
||
за в положении М\ |
|
|
||
П = Pz |
= P(OB-l |
sinq>) = PI(l-sinq) - урав- |
|
|
нение синусоиды (рис. 2, кривая 2). |
|
|
||
Найдем сумму кинетической и потенци- |
|
|
||
альной энергии груза: |
|
|
||
Т + П = P/sin<p+ Pl(1 - sirup) = PI — уравне- |
Рис. |
2 |
||
ние прямой (рис. 2, линия 3). |
|
|
||
О т в е т : две синусоиды и прямая, имеющие уравнения Т = PIsincp, П = /7(1 —sin (р), Т + П = PL
Задача 30.20
Материальная точка массы m совершает гармонические колебания по прямой Ох под действием упругой восстанавливающей силы по следующему закону: х = я sin(/с/ +р). Пренебрегая сопротивлениями, построить графики изменения кинетической энергии Ти потенциальной энергии Я движущейся точки в зависимости от координаты х; в начале координат /7=0 .
Р е ш е н и е |
О |
м |
|
||
Кинетическая энергия точки |
|
|
Т = mv,2 |
Рис. |
1 |
где v = х = ка cos(kf+Р), v2 = к2a2 |
cos2(kt -hp) = a2k2[l-sin2(kt+Щ - |
|
- к2(а2 -х2). |
|
|
Тогда
234 IX. Динамика материальной точки;
Определим потенциальную энергию точ- |
т,п |
|
ки в положении М (рис. 1): |
|
|
|
|
|
>-2 |
|
|
СХ |
|
|
п - AM0(f\mp) -т |
|
|
где AM0(Fynp) — работа восстанавливающей |
|
|
силы при перемещении точки из положе- |
|
|
ния М в нулевое положение; |
Fynp = -cx, |
Рис. 2 |
с = к2т. |
|
|
Тогда
П = к2тх2
Построим графики изменения Т и П в зависимости от х — параболы (рис. 2).
О т в е т : оба графика — параболы, имеющие уравнения
т к 2 , г |
2ч п к2тх2 |
-(а |
- х ); П = —-— . |
Задача 30.21
Какую вертикальную силу, постоянную по величине и направлению, надо приложить к материальной точке, чтобы при падении точки на Землю с высоты, равной радиусу Земли, эта сила сообщила точке такую же скорость, как сила притяжения к Земле, обратно пропорциональная квадрату расстояния точки до центра Земли?
Р е ш е н и е
Рассмотрим падение материальной точки на Землю под действием силы тяготения FT (см. рисунок). На основании теоремы об изменении кинетической энергии материальной точки с учетом того, что v0 = 0, запишем
mv'
~2 = A(FT),
R |
km |
|
где A^)= JFTdz~- |
||
R 2 R 2~R |
||
2 R |
30, Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки |
235 |
Тогда
mv2 _ km ~2~ ~ 2R'
v ' 4 |
(!) |
Рассмотрим падение материальной точки под действием искомой постоянной силы F:
mv2 2 -мл.
где A(F) = FR.
Откуда
т
Приравняем выражения (1) и (2) для v2:
к |
2FR |
R |
т |
и найдем
p. = km
~2 R2'
Так как на поверхности Земли
г, km |
к |
то
F = 2ктR2 = &т2 = Р2
О т в е т : Р/2, где Р — вес точки на поверхности Земли.
236 |
IX. Динамика материальной точки; |
Задача 30.22
Горизонтальная пружина, на конце которой прикреплена материальная точка, сжата силой Р и находится в покое. Внезапно сила Р меняет направление на прямо противоположное. Определить, пренебрегая массой пружины, во сколько раз получающееся при этом наибольшее растяжение /2 больше первоначального сжатия /,.
Р е ш е н и е |
|
|
Рассмотрим движение материальной |
|
|
точки после того, как сила V поменяла на- |
|
|
правление (см. рисунок). Применим тео- |
р Р |
|
рему об изменении кинетической энергии |
||
|
||
материальной точки в интегральной форме: ^ |
|
mv2 mvl
2 2
Так как
v = 0, v„ = 0, то А(Р) + A(Fy„p) = 0,
где А(Р) = Р(11+!2);
A(FyJ = - j cxdx = - СХ
где с — жесткость пружины. Тогда
Щ +l2) + j(l2-Ц) = Щ +/2) + jC, -/2)(/, +/2) = 0,
или после сокращения на (/, +/2) тьО |
|
|
|
|
2 Р |
2 Р |
U |
U |
2Р |
|
cl |
|
|
с/, |
Поскольку /, = —, то
с
1± = Х +2 Рс = 3.
сР
О т в е т : 2 _ 3.
30, Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки |
237 |
Задача 30.23
Тело брошено с поверхности Земли вверх по вертикальной линии с начальной скоростью v0. Определить высоту Н поднятия тела, принимая во внимание, что сила тяжести изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния от центра Земли; сопротивлением воздуха пренебречь. Радиус Земли R = 6370 км, v0 = 1 км/с.
Р е ш е н и е |
|
|
|
Применим теорему об изменении кинетической |
X |
||
энергии материальной точки в интегральной форме: |
м |
||
mv' |
mv. |
||
F Ь |
|||
~2 |
^ = 1 А Ш |
||
я |
м0 "0 и |
||
где v = 0; F - оог2. |
|||
|
д А |
||
|
|
||
На поверхности Земли х - |
R (см. рисунок): |
|
|
а
F = — = mg => а = mgR R
Работу совершает только сила F:
|
R+H |
|
|
mgR2 |
R+H |
1 |
1 |
mgRH |
||
A(F) = jFdx = - |
l ^ |
d |
x = |
= mgR: |
||||||
|
|
R+H |
R |
R+H' |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
Приравняем кинетическую энергию работе и получим |
|
|||||||||
|
mvl |
|
mgRH |
v20R+v2H =2gRH. |
|
|
||||
|
|
|
R+H |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Отсюда найдем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Rvо2 |
|
|
|
6370 l2 |
|
|
|
||
H = 2gR-v2 |
2-9,81-Ю-3-6370-l2 |
= 51,38 (км). |
|
|||||||
О т в е т : Н = • |
Rvp |
= 51,38 км. |
|
|
|
|
||||
2 |
gR-v2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
238 |
IX. Динамика материальной точки; |
Задача 30.24
Две частицы заряжены положительным электричеством, заряд первой частицы q] =100 Кл, заряд второй частицы q2 = 0,1 qt, первая; частица остается неподвижной, а вторая движется вследствие силы: отталкивания от первой частицы. Масса второй частицы равна 1 кг, начальное расстояние от первой частицы равно 5 м, а начальная скорость равна нулю. Определить верхний предел для скорости движущейся частицы, принимая во внимание действие только одной силы отталкивания F = g, q2 / г2, где г — расстояние между частицами.
Р е ш е н и е |
|
|
Частица q2 движется под действием силы |
|
|
отталкивания F (см. рисунок). Применим |
Г] |
|
теорему об изменении кинетической энер- |
*Г |
?2 |
гии в интегральной форме и для второй час- |
|
|
тицы запишем |
|
|
m2v mivo |
|
(1) |
|
|
|
где v0 = 0; щ = 1 кг. |
|
|
Найдем работу силы F |
|
|
{ |
г2 |
г |
Тогда из формулы (1) получим |
|
|
v -79,92—Ш |
= ~Ч\ЧгИ — |
|
5 |
г |
5 V г |
Скорость частицы будет максимальной при г = °°, т.е. когда
обращается в ноль. Следовательно,
Vmax = |
2 |
/2 -10010 |
. . |
|
=-J |
=20 (м/с). |
О т в е т : 20 м/с.