doc1
.pdf31. Смешанные задачи |
|
271 |
|
При ЛГ = 0 уравнение (1) имеет вид |
|||
TL = 1Fу п р |
-G> |
|
|
где Fynр = сХ = с(АВ-10) |
= с(2г-/0). |
|
|
Тогда |
|
|
|
— |
= с ( 2 г Ч ) - С |
|
|
г |
|
|
|
или |
|
|
|
mv2 |
= cr(2r-/0)~Gr. |
(2) |
|
Применим теорему об изменении кинетической энергии материальной точки в интегральной форме:
где A(G) = G(r+г cos 60°); ^(Fynp) = - с | - ; v0 = 0. |
|
|||
Тогда |
|
|
|
|
wv2 |
~ „ |
£f\o\ |
Q.r-l0)2 |
|
|
= Gr(1 + cos 60°) - с |
— |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
или |
|
|
|
|
mv2 = 2Gr(1 + cos 60°) - c(2r - /0)2. |
(3) |
|||
Так как левые части выражений <2) и (3) равные, то приравняем |
||||
их правые части и получим |
|
|
|
|
cr(2r-/0 ) |
-Gr = 2Gr(l + cos 60°) - c(2r - /0)2 |
|
||
или |
|
|
|
|
с(2г~ /0)[г+(2г-/<,)] = Gr[1 + 2(1 + cos 60°)], |
|
|||
откуда жесткость пружины |
|
|
|
|
gr[1+2(1 + cos60°)]^ |
5-9,8 -0Д[1 +2(1 +0,5)] |
|
||
С ~ (2г - /„)[г+(2/• - /0)] |
(0,4 - 0Д)[0Д + (0,4 - ОД)] |
|
||
=490 (Н/м) = 4,9 (Н/см).
От в е т : пружина должна удлиняться на 1 см при действии силы, равной 4,9 Н.
31. Смешанные задачи |
|
273 |
или |
|
|
mv' = |
Fynp+N-G. |
|
Откуда найдем |
|
|
mv |
mv2 |
, |
N = - — + G - F = |
г • |
- с(2/*-/0) = |
/• . |
• |
|
7-0г5292 + 7-9,8-490(0,4-ОД) = -68,6 (Н). ОД
Знак минус показывает, что реакция /V в действительности имеет направление, обратное показанному на рисунке. Следовательно, сила давления груза, которая обратна по направлению N, будет направлена вверх.
О т в е т : давление направлено вверх и равно 68,6 Н.
Задача 31.16
Гладкое тяжелое кольцо М веса Q может скользить без трения по дуге окружности радиуса R см, расположенной в вертикальной плоскости. К кольцу привязана упругая нить МОА, проходящая через гладкое неподвижное кольцо О и закрепленная в точке А. Принять, что натяжение нити равно нулю, когда кольцо М находится в точке О, и что для вытягивания нити на 1 см нужно приложить силу с. В начальный момент кольцо находится в точке В в неустойчивом равновесии и при ничтожно малом толчке начинает скользить по окружности. Определить давление N, производимое кольцом на окружность.
Р е ш е н и е
Рассмотрим движение кольца по окружности под действием силы тяжести Q, силы упругости Fynp нити, реакции N (см. рисунок).
Составим дифференциальное уравнение движения кольца М в проекции на ось и:
та,, = %Fk„ = N + Fynp cos (90°-ф) + Q cos (180°-2 cp),
v2
где a„ =-—R Fynp =2c/?sin^.
274 |
IX. Динамика материальной точки; |
|
Тогда |
|
|
|
R = 2c./?sin2 <р - Qcos 2ф+ N |
|
или |
|
|
mv2 |
= 2cR2 sin2 (p^QRcos2y+NR. |
(1) |
Применим теорему об изменении кинетической энергии материальной точки при перемещении кольца из точки В в точку М:
|
= I Ak = A(Q) + |
A(FynpHA(N), |
|
|
где v0 =0; A(N) = 0. |
|
|
|
|
Тогда |
|
|
|
|
упхр" |
п |
= 2QRcos2 |
л |
<р) = |
— = 2QRcos2 (р+ЧХ2 -X2) |
Ф +-(4R2 -4R2 sin2 |
|||
2 |
2 |
|
2 |
|
|
= 2QRcos2 ф+2cR2 cos2 ф |
|
||
или |
|
|
|
|
|
mv2 = AQRcos1 <p-4cR7 cos2 ф. |
(2) |
||
Приравняем правые части уравнений (1) и (2) и получим |
||||
2cR2 sin2 ф-бЛсоэ 2ф+Л7? = 4 QRcos2 <p+4cR2 cos2 ф, |
|
|||
откуда определим давление |
|
|
|
|
|
N = -2cRsin2 <p+4cRcos2 q>+Qcos2y+4Qcos2 ф = |
|
||
= -6cRsm2 |
ф+4сЛ+0 сов2ф+4е-4(3 sin2 ф = 2Q + cR+3(cR+Q)cos 2ф. |
|||
Сила давления кольца на окружность 77д = -W. |
|
|||
О т в е т : N = 2Q + cR+3(cR+Q)cos2<p; давление направлено |
наружу |
|||
при N >0, внутрь при |
N<0. |
|
|
|
31. Смешанные задачи |
275 |
Задача 31.17
Груз подвешен на нити длины 0,5 м в неподвижной точке О. В начальном положении М0 груз отклонен от вертикали на угол 60°, и ему сообщена скорость v0 в вертикальной плоскости по перпендикуляру к нити вниз, равная 3,5 м/с.
1)Найти то положение М груза, в котором натяжение нити будет равно нулю, и скорость v, в этом положении.
2)Определить траекторию последующего движения груза до того момента, когда
нить будет опять натянута, и время, в течение которого точка проидет эту траекторию.
Ре ш е н и е
1)Чтобы найти положение М груза,
вкотором натяжение нити N = 0 (см. ри-
сунок), применим теорему об изменении кинетической энергии материальной точки:
= - mg(OM0 cos 60° + MD),
где G = mg\ ОМй = R.
Тогда
2 |
02 |
= -2g(/?cos 60° + MD). |
(1) |
v, - v |
|||
Запишем дифференциальное уравнение движения точки в проекции на ось п:
|
та„ = |
=Gsina + N =mgsina + N, |
|
v.2 . |
|
MD |
.r Л |
где а„ = -L; sina = |
R |
; ЛГ = 0. |
|
R |
|
|
|
278 |
|
|
|
IX. Динамика материальной точки; |
|
После преобразований получим |
|
|
|
||
16 |
4 |
4 . 4 |
16 |
4 |
4 |
|
|
, R f i g T |
gRT2 |
_r2 |
|
|
|
4 |
2 |
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
gT-Jh= |
0. |
|
|
Отсюда |
|
|
|
|
|
О т в е т : 1) положение М находится над горизонталью точки О на расстоянии MD = 0,25 м, v, =156,5 см/с.
2) Парабола МАВС, уравнение которой, отнесенное к осям Мх и My, имеет вид у = х-/3-8х2; груз описывает эту параболу в течение 0,55 с.
Задача 31.18
Математический маятник установлен на самолете, который поднимается на высоту 10 км. На какую часть надо уменьшить длину нити маятника, чтобы период малых колебаний маятника на этой высоте остался без изменений? Силу тяжести считать обратно пропорциональной квадрату расстояния до центра Земли.
Р е ш е н и е
Период малых колебаний математического маятника на поверхности Земли
на высоте Н -10 км
Т. =2л Е - . is,
31. Смешанные задачи |
|
279 |
Так как Г. = Т, то |
|
|
is, |
U |
g, /, |
Поскольку
то
J--L-(*±IL)2 |
J ' |
(i) |
Е н ~ 1 , Л r |
|
где gH = g,; R = 6370 км — радиус Земли. Представим
/, = / - Д ,
где Д — величина, на которую надо уменьшить длину маятника.
Тогда формула (1) примет вид
|
/ |
Н |
|
|
Откуда |
I-д |
1 1 + я |
|
|
1 |
1 |
|
||
* = 1 - |
= 0,00313. |
|||
= 1 — |
,4 V |
|||
/ |
|
|
||
' |
• f j |
1 + 110 |
|
|
637-104 |
|
О т в е т: на 0,00313/, где / — длина нити на поверхности Земли.
Задача 31.19
В неподвижной точке О посредством нити ОМ длины / подвешен груз М массы т . В начальный момент нить ОМ составляет с вертикалью угол а и скорость груза М равна нулю. При последующем движении нить встречает тонкую проволоку О,, направление которой перпендикулярно плоскости движения груза, а положение определяется полярными координатами: А = ОО, и |3. Определить наименьшее значение