doc1
.pdf520 |
IX. Динамика материальной точки |
Р е ш е н и е
Рассмотрим относительное движение груза (см. рисунок) под действием сил: тяжести G, упругости Fynp пружины, переносной Фе силы инерции, которая определяется вертикальным колебанием вагона, Фе = -тае. Направим ось х вниз из положения статического равновесия
груза, тогда Fynp = с(кСТ + х).
Вертикальное перемещение поезда представляет собой переносное движение и описывается уравнением
Z, = bsinpt.
Тогда
ае = 4 = -bp2 sin pt,
Фе = mae = -mbp2 sin pt.
Запишем дифференциальное уравнение относительного движения груза в проекции на ось х:
или |
|
mx = G-c(k„ + х)-mbp2 sinpt. |
(1) |
Так как в положении статического равновесия G = ск„, то урав- |
|
нение (1) примет вид |
|
mx = -cx-mbp2 sin pt |
|
или |
|
х + к2х = hsinpt, |
(2) |
где к2 = —; h = -bp2
т
Уравнение (2) — это уравнение вынужденных колебаний. Общее решение этого неоднородного дифференциального уравнения имеет вид
х - С, coskt+Сг |
smkt + |
h |
sin pt, |
(3) |
|
2 - p 2 |
|||||
|
k |
|
|
||
х = -кСх sin kt + кС2 coskt + |
hp |
• cos pt. |
|
||
|
|
к -p' |
|
||
32. Колебательное движение |
521 |
Определим постоянные интегрирования с учетом начальных усло-
вий: t = 0, х0 = 0, х0 |
= 0. Найдем: С, = 0, С2 |
= |
к(к2 |
——. |
|
|
|
- р1) |
Подставим значения С, и С2 в формулу (3) и окончательно получим
hp |
. ,. |
|
h |
. |
|
k(k2 |
- p2) |
sm kt+— |
|
-sin pt. |
|
|
к |
|
|
||
Амплитуда а относительного движения груза |
|||||
а |
- к2-р2 |
bp2 |
|
||
к2 „2' |
|||||
где Ь — амплитуда вертикальных колебаний поезда; |
|
к2 - — - IZ^l® = ю 080; р = 10 рад/с. |
|
т |
1,75 |
Откуда
^ - ^ ) = 0Д25<10080-100) р2 100
Максимальное вертикальное ускорение поезда
=bp2 =12,47-Ю2 =1247 (см/с2).
О т в е т : максимальное вертикальное ускорение поезда равно <зтах = = 1247 см/с2. Амплитуда вертикальных колебаний поезда равна: 6 = 12,47 см.
Задача 33.21
Виброметр используется для определения вертикальных колебаний одной из частей машины. В подвижной системе прибора демпфер отсутствует. Относительное смещение датчика виброметра (массивного груза) равно 0,005 см. Собственная частота колебаний виброметра — 6 Гц, частота колебаний вибрирующей части машины — 2 Гц. Чему равны амплитуда колебаний, максимальная скорость и максимальное ускорение вибрирующей части машины?
32. Колебательное движение |
523 |
Период собственных колебаний датчика виброметра
г=_L = 2£
Л" к
откуда
к = 2п/д.
Период переносных колебаний, т.е. вибрирующей части машины,
т |
-- L - 2* |
|
|||
- |
, |
|
~ |
> |
|
|
/м |
|
|
|
|
откуда |
|
|
|
|
|
р = |
2п/ы. |
|
|
||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
_ 4(2п/д )2 -(2К/м )2 ] _ а(/ д 2 - / 2 ) |
_ 0,005(б2-22) _ |
|
|||
(2тс/м)2 |
/«2 |
|
22 |
' |
|
Переносная скорость |
|
|
|
|
|
v, -\-bp |
|
cos pt. |
|
||
Максимальной скорость вибрирующей части будет тогда, когда cos/tf = 1, т.е.
vfmax =bp = 2bnf„ = 2 0,04-ЗД4-2 =0,5 (см/с).
Переносное ускорение
ае = % = -bp2 sm.pt
будет минимальным, когда s i n = -1, т.е.
*emax =Ьр2 = Ц2п/ы)2 = 0,0004(2 -ЗД4-2)2 =0,0631 (м/с2).
О т в е т : амплитуда колебаний равна b = 0,04 см, максимальная скорость равна ve max = 0,5 см/с, максимальное ускорение равно ае max =6,316 см/с2.
524 |
IX. Динамика материальной точки |
Задача 33.22
Груз массы т = 1,75 кг подвешен внутри коробки на вертикальной пружине, коэффициент жесткости которой с = 0,88 кН/м. Коробка установлена на столе, вибрирующем в вертикальном направлении. Уравнение колебаний стола х = 0,225 sin3 Гсм. Найти абсолютную амплитуду колебаний груза.
Р е ш е н и е
Относительное движение груза (см. рисунок) происходит под действием силы тяжести G, сюш упругости /уПр пружины и переносной Фе силы инерции, Фг =-тае. Направим ось х вниз из положения статического равновесия груза, тогда Fynp = с(к„ + х).
Вертикальное перемещение стола описывается уравнением
t, = b sin pt,
тогда
ae = | = -bp2 sin pt,
Ф, = mae = -mbp2 sin pt,
где p = 3 рад/с, b = 0,225 см.
Запишем дифференциальное уравнение относительного движения груза в проекции на ось х\
mx = G-Fynp+<&e.
Так как в положении равновесия G = сХСТ, то mx = —сх-mbp2 sin pt
или
х + k2x = hsinpt,
где&2=—; h = -bp2.
т
32. Колебательное движение |
25 |
Это дифференциальное уравнение описывает вынужденные колебания материальной точки, амплитуда которых
|
bp2 |
0,00225 -З2 |
|
А;2-У |
к2-р2 |
880 |
= 0,00004 (м) = 0,004 (см). |
- З 2 |
|||
|
|
1,75 |
|
Так как груз совершает сложное движение, а — амплитуда относительного движения, b — амплитуда переносного движения, то абсолютная амплитуда колебаний груза
А = а+Ь = 0,004+0,225 = 0,229 (см).
О т в е т : А-0,229 см.
Список использованных источников
Аркуша А.И. Руководство к решению задач по теоретической механике / А.И. Аркуша. М. : Высшая школа, 2004. 336 с.
Бать М.И. Теоретическая механика в примерах и задачах. Т. 2. Динамика / М.И. Бать, Г.Ю. Джанелидзе, А.С. Кельзон. М.: Наука, 1991. 638 с.
Бутенин Н.В. Курс теоретической механики. Т. 2. Динамика / Н.В. Бутенин, Я.Л. Лунц, Д.Р. Меркин. СПб. : Лань, 2002. 729 с.
Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике / М.Я. Выгодский. М. : Астраль, 2002. 991 с.
Добронравов В.В. Курс теоретической механики / В.В. Добронравов, Н.Н. Никитин. М. : Высшая школа, 1983. 575 с.
Лойцянский К.Г. Курс теоретической механики. Т. 2. Динамика / К.Г. Лойцянский, А.И. Лурье. М. : Наука, 1983. 640 с.
Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике / И.В. Мещерский. М. : Наука, 1986. 448 с.
Никитин Н.Н. Курс теоретической механики / Н.Н. Никитин. М. : Высшая школа, 2003. 719 с.
Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики / С.М. Тарг. М.: Высшая школа, 2006. 416 с.
Федута А.А. Теоретическая механика и математические методы / А.А. Федута, А.В. Чигарев, Ю.В. Чигарев. Минск: Технопринт, 2000. 500 с.
Яблонский А.А. Курс теоретической механики: статика, кинематика, динамика / А.А. ЯблоНский, В.М. Никифорова. М. : Интеграл-пресс, 2006. 603 с.
Оглавление
Предисловие |
3 |
|
IX. Динамика материальной точки |
...6 |
|
Введение |
6 |
|
26. |
Определение сил по заданному движению |
9 |
27. |
Дифференциальные уравнения движения |
46 |
|
Прямолинейное движение |
50 |
|
Криволинейное движение |
113 |
28.Теорема об изменении количества движения материальной точки. Теорема об изменении момента количества
|
движения материальной точки |
165 |
29. |
Работа и мощность |
196 |
30. |
Теорема об изменении кинетической энергии |
|
|
материальной точки |
213 |
31. |
Смешанные задачи |
249 |
32. |
Колебательное движение |
311 |
|
Свободные колебания |
322 |
|
Влияние сопротивления на свободные колебания |
401 |
|
Вынужденные колебания |
445 |
|
Влияние сопротивления на вынужденные колебания |
465 |
33. Относительное движение |
483 |
|
Список использованных источников |
526 |
|
Учебное издание
Акимов Валерий Алексеевич Алехнович Георгий Никифорович Горбач Николай Иванович и др.
Теоретическая механика. Динамика. Практикум
Учебное |
пособие |
|
В д в у х ч а с т я х |
|
|
Часть 1. Д и н а м и к а материальной точки |
||
В е д у щ и й р е д а к т о р |
С.В. |
Исаенко |
Р е д а к т о р |
А.П. |
Чернякова |
Х у д о ж н и к о б л о ж к и |
С.В. |
Ковалевский |
К о м п ь ю т е р н а я в е р с т к а |
Е.Н. |
Миночкина |
К о р р е к т о р |
JI.K. |
Мисуно |
Подписано в печать с готовых диапозитивов 26.02.2010. Формат 60x84 У,,. Бумага газетная. Гарнитура Ньютон. Печать офсетная. Усл. печ. л. 30,08. Уч.-изд. л. 24,94.
Тираж 4010 экз. Заказ № 205.
Общество с ограниченной ответственностью «Новое знание». ЛИ № 02330/0133439 от 30.04.2004. Ул. Шаранговича, 7-2136, Минск.
Почтовый адрес: а/я 79, Минск, Республика Беларусь. Телефон/факс: (10-375-17) 328-46-40. E-mail: nk@wnk.biz
http://wnk.biz
Общество с ограниченной ответственностью «ЦУПЛ». Юридический адрес: шоссе Энтузиастов, д. 56, к. 15, 111123, Москва. Почтовый адрес: шоссе Энтузиастов, д. 56, к. 15, 111123, Москва. Телефон/факс: (495) 788-50-30. E-mail: office@cepl-book.net
www.cepl-book.ru
Учебно-методический центр «Профессиональный учебник». Ул. Ирины Левченко, д. 1, 123298, Москва.
Телефон/факс: (499) 740-60-14. E-mail: obrazovanie-nauka@mail.ru
Отпечатано с готовых диапозитивов
вГППО «Псковская областная типография». Ул. Ротная, 34, 180004, г. Псков, Россия.