doc1

Р е ш е н и е

Рассмотрим состояние относительного покоя материальной точки М на поверхности Земли. Условие относительного покоя выражается равенством

Направление силы тяжести G определяет направление вертикали в данной точке земной поверхности. Спроецируем векторное равенство (1) на оси л и т :

= ф^ sin qx

Тогда

G = mgl = V(J°T -Фе совф)2 +(Фе sin9)2,

где g, — ускорение силы тяжести на любой широте; ср — географическая широта.

Пренебрегая слагаемым (Фс sin ф)2 ввиду малости значения ю\ запишем

mgx = Рг - Ф с созф = /} -mRio2 cos2 ф,

где g — ускорение силы тяжести на полюсе.

С учетом значений радиуса Земли и ускорения силы тяжести на полюсе найдем

ние силы тяжести на полюсе, ф — географическая широта места.

Задача 33.16

Во сколько раз надо увеличить угловую скорость вращения Земли вокруг своей оси, чтобы тяжелая точка, находящаяся на поверхности Земли на экваторе, не имела бы веса? Радиус Земли R = 6370 км.

Р е ш е н и е

На основе результата решения задачи 33.15 на экваторе, где ф = 0, С05ф = 1,

g, =g-R<a2.

При невесомости на Земле g, = 0, тогда

со2 =g4

R

Поскольку угловая скорость вращения Земли со0 = 24^3600' Т °

О т в е т : в 17 раз.

Задача 33.17

Артиллерийский снаряд движется по настильной траектории (т.е. по траектории, которую приближенно можно считать горизонтальной прямой). Горизонтальная скорость снаряда во время движения v0 =900 м/с. Снаряд должен поразить цель, отстоящую от места выстрела на расстоянии 18 км. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить, на сколько отклонится снаряд от цели вследствие вращения Земли. Стрельба происходит на северной широте X = 60°.

Р е ш е н и е

Угол между касательной плоскостью П и осью Земли (см. рисунок) А. = 60°. Следовательно, проведенная вдоль меридиана прямая, находящаяся в указанной касательной плоскости, также составляет с осью Земли угол 60°.

Запишем дифференциальное уравнение движения снаряда в проекции на ось у.

ту = Фс,

где Фс — сила инерции Кориолиса, Фс = 2mcov0sinA..

Тогда

у = 2cov0 sin А.

Введем замену у = —, разделим переменные, проинтегрируем и получим ^

j = 2(ov0/sinA.+C].

С учетом начальных условий: t - 0, у - 0, найдем С, = 0, следовательно,

у = 2cov0/sinA.

Сделаем замену у = —, разделим переменные, проинтегрируем dt

и найдем

у = cov0/2 sinX.+C2.

Определим постоянную интегрирования С2 исходя из начальных условий: t = 0, у = 0; С2 = 0, тогда

>> = o)v0/2 sinX. Определим время полета снаряда до цели

и рассчитаем отклонение

О т в е т : снаряд отклонится вправо (если смотреть на него сверху перпендикулярно к скорости) на величину у = wv0/2 sinX = 22,7 м независимо от направления стрельбы.

Задача 33.18

Маятник на длинной нити получает небольшую начальную скорость в плоскости север — юг. Считая отклонения маятника по сравнению с длиной нити и принимая во внимание вращение Земли вокруг оси, найти время, по истечении которого плоскость качаний маятника совпадает с плоскостью запад — восток. Маятник расположен на 60° северной широты.

Р е ш е н и е

Маятник совершает сложное движение: переносное — вращение вместе с Землей с угловой скоростью со и относительное — колебание в подвижной системе координат Oxyz.

Для составления дифференциальных уравнений относительного движения маятника покажем на рисунке силы, действующие на маятник: силу тяжести G, силу натяжения нити S, составляющие Ф„, Фс>, Фсг силы инерции Кориолиса, переносную Фе силу инерции.

Следовательно, уравнение (3) можно представить в виде

Проинтегрируем уравнение (5) и получим 9 = <о/5Шф+С2.

Уравнение (6) определяет закон вращения плоскости колебания маятника с угловой скоростью со sin ср.

Таким образом, плоскость колебания маятника повернется на

л

угол — за время

я

У cosincp 2cosincp

Так как со = ^ рад/ч, то

r = , = _ l _ = !jL = 6,93 (ч). sin60° л/3

Учитывая периодичность изменения направления плоскости колебания маятника,

Т = 6,93(1+2к) = 13,86(03 + к),

где к = 1,2,3...

О т в е т : / = 13,86(03 + к) часов, где к = 1,2,3...

Задача 33.19

Тяжелая точка может двигаться без трения по вертикальному проволочному кольцу, которое вращается вокруг своего вертикального диаметра с постоянной угловой скоростью со. Радиус кольца равен R. Найти положение равновесия точки и определить, как будет двигаться точка, если в положении равновесия она получит малую скорость v0 по касательной вверх.

Р е ш е н и е

Точка М совершает сложное движение: относительное — перемещение по кольцу, и переносное — вращение вместе с кольцом. В положении М0, определяемом углом ср0, точка находится в равновесии.

Обозначим М — произвольное положение точки, которому соответствует угол отклонения <р0 +ср. Для составления уравнения относительного движения точки покажем на рисунке действующие на нее силы: силу тяжести G, реакции и N2, переносную Фец силу инерции, силу Фс инерции Кориолиса.

Фс = -тас,

Феп --тае --таеи,

а векторы ас, Фс, N2 перпендикулярны плоскости кольца. Запишем уравнение относительного движения точки:

mar=G +N.+ N2 + Ф,ц + Фс.

Спроецируем это уравнение на ось т:

та) — -G sin(90 + ф) + Ф" cos (ф0 + ф), где G = mg-, Ф" = тесо2Л5т(ф0 + ф).

ф = -AC, sinkt + kC2 coskt.

Используя начальные условия: / = 0, ф0 = 0, ф0 = —, найдем посто-

R

янные интегрирования: С, = О,С2= — .

RJc

Подставим значения С, и С2 в формулу (6) и запишем уравнение движения точки:

m =-l!L sin kt. Rk

О т в е т : положение равновесия соответствует углу ф0 = arccos —f—, со2/?

отсчитываемому от нижнего положения точки на круге. Точка, получившая малую скорость v0, будет совершать малые колебания около положения равновесия согласно

Задача 33.20

Пружинный вибродатчик используется для измерения вертикального ускорения поезда, круговая частота вертикальных колебаний которого равна 10 рад/с. База прибора составляет одно целое с корпусом одного из вагонов поезда. К базе прибора крепится пружина с коэффициентом жесткости с = 17,64 кН/м. К пружине прикреплен груз массы т = 1,75 кг. Амплитуда относительного движения груза вибродатчика равна 0,125 см по записи прибора. Найти максимальное вертикальное ускорение поезда. Какова амплитуда вибрации поезда?