doc1

320 IX. Динамика материальной точки

Таким образом, если сопротивление вязкой среды незначительно (например, — = 0,05), то

т.е. максимальное значение амплитуды равно резонансному.

Если сопротивлением пренебречь, то в формулах (32.23), (32.25) и (32.26) п - 0. Тогда выражение (32.23) примет вид

— это дифференциальное уравнение вынужденных колебаний без уче-

та сопротивления.

Решение уравнения (32.31) также можно представить в виде

х = х + х*,

где х описывается уравнениями (32.4) или (32.5), а х* можно получить из выражения (32.24) при условии, что к # р:

При этом, если р<к (вынужденные колебания малой частоты), то величина сдвига фаз е = 0, если р > к (вынужденные колебания большой частоты), то е = я, а амплитуда вынужденных колебаний

р1 -к2

Следовательно, при р > к

Таким образом, если необходимо определить только вынужденные колебания, то следует учитывать только частное решение х*. При определении полных колебаний с учетом или без учета сопротивления нужно найти полное решение х = х + х*.

Из выражений (32.27), (32.32) и (32.33) следует, что при п = 0 или при к = р амплитуда вынужденных колебаний равна бесконечности.

Тогда частное решение х* уравнения (32.31) нельзя представить в виде формулы (32.32) или (32.34). Поэтому в случае резонанса х* ищут в виде

п

т.е. при резонансе е = —.

В теории вынужденных колебаний важным является понятие коэффициента динамичности г), который представляет отношение амплитуды А вынужденных колебаний к некоторому статическому значению А0 отклонения (расстоянию упругой связи) под действием максимальной возмущающей силы, т.е.

А

где

Значение А0 можно получить из выражения (32.25), если принять

к

р = 0, это частный случай решения х* (32.24) при р = 0 и 8 = —+ е.

Тогда коэффициент динамичности вынужденных колебаний с учетом сопротивления, когда А = А,.,

+ 4пр f-

без учета сопротивления (А = Ав) при р < к

при р > к

Последовательность решения задач этого параграфа:

1. Провести координатную ось, совместив начало координат с положением статического равновесия материальной точки. Направить ось в сторону смещения точки.

2.Определить начальные условия движения.

3.Изобразить точку в произвольном положении.

4.Показать на рисунке силы, действующие на материальную точку.

5.Записать дифференциальное уравнение движения в проекции на выбранную ось.

6.Решить полученное дифференциальное уравнение.

7.Определить постоянные интегрирования, используя начальные условия.

8.В случае вынужденных колебаний найти только частное решение х* дифференциального уравнения.

Свободные колебания

Задачи и решения

Задача 32.1

Пружина АВ, закрепленная одним концом в точке А, такова, что для удлинения ее на 1 м необходимо приложить в точке В при статической нагрузке силу 19,6 Н. В некоторый момент к нижнему концу В недеформированной пружины подвешивают гирю С массы 0,1 кг и отпускают ее без начальной скорости. Пренебрегая массой пружины, написать уравнение дальнейшего движения гири и указать амплитуду и период ее колебаний, отнеся движение к оси, проведенной вертикально вниз из положения статического равновесия гири.

к14

иамплитуду колебаний гири

a = ]l X ° + lc> = ^°'052 + 0 = °'0 5 (м) "

О т в е т : х = -0,05cosl4f м; Т = 0,45 с; a = 5 см.

Задача 32.2

При равномерном спуске груза массы М = 2 т со скоростью v = 5 м/с произошла неожиданная задержка верхнего конца троса, на котором опускался груз, из-за защемления троса в обойме блока. Пренебрегая массой троса, определить его наибольшее натяжение при последующих

колебаниях груза, если коэффициент жесткости троса 4-Ю6 Н/м.

Р е ш е н и е

Груз колеблется под действием силы тяжести G и силы упругости /"улр. Ось х направим вниз, начало координат О поместим в положение статического равновесия. Изобразим груз в произвольном положении М, определенном координатой х.

Так как в положении статического равновесия G = Fy„„(0) = c/CT, то

тх = -сх

или

х + к2х = 0,

где к = —.

т

Решение полученного уравнения имеет вид

Определим постоянные интегрирования С, и С2 с учетом начальных условий: при t =0 ха =0, так как колебательное движение начинается из положения статического равновесия, то х0 =v0, тогда

С, = 0, С2 =

Подставим значения С, и С2 в формулу (2) и получим

Из уравнения (1) определим силу упругости, т.е. натяжение троса,

/•упр =G-mx=m{g-x),

vj&G^mg.

Эта сила максимальна, когда х принимает максимальное значение х = -ак2 и направлена вверх, т.е. при sin(Ar/ + а) = 1. Следовательно, наибольшее натяжение троса

/"max = m(g + ак2) = m(g + vnk) = тg+ Vо

О т в е т : 466,8 кН.

Задача 32.3

Определить наибольшее натяжение троса в предыдущей задаче, если между грузом и тросом введена упругая пружина с коэффициентом жесткости с, = 4 • 105 Н/м.

Р е ш е н и е

В данном случае груз колеблется на двух последовательно соединенных упругих элементах, жесткость которых с, и с2. Заменим эти элементы одним с эквивалентной жесткостью сэкв:

Лэк«=А|+Д2>

где Дэкв, Д,, А2 — соответственно деформация эквивалентного, первого и второго упругого элемента.

где Fynp, Fynр(1), /у,1р(2) — сила упругости соответственно эквивалентного, первого и второго упругого элемента.

Задача 32.4

Груз Q, падая с высоты h = 1м без начальной скорости, ударяется об упругую горизонтальную балку в ее середине; концы балки закреплены. Написать уравнение дальнейшего движения груза на балке, отнеся движение к оси, проведенной вертикально вниз из положения статического равновесия груза на балке, если статический прогиб балки в ее середине при указанной нагрузке равен 0,5 см; массой балки пренебречь.

Р е ш е н и е

Рассмотрим колебание груза на середине упругой балки под действием силы тяжести G и силы упругости Fynp (см. рисунок). Ось х направим вертикально вниз из положения статического равновесия. Груз изобразим в произвольный момент времени, когда его

координата равна х. Запишем дифференциальное уравнение движения груза в проекции на ось х:

Решение этого однородного дифференциального уравнения име-

Начальные условия: при t = 0 х0 - - f „ , х0 = v0.

Найдем скорость v0, с которой груз упал на балку. Применив теорему об изменении кинетической энергии для падающего груза, по-

так как Vq = 0, то

v = v0 = j l g h = - Д Щ Л = 4,43 (м/с).

Vo Определим постоянные интегрирования С, и С,: С, = - / „ , С2 = —. fc

Подставим значения С, и С2 в формулу (3) и запишем

Из формулы (2) найдем

mg

с = -

Устfcr

Тогда согласно формуле (3) уравнение движения груза (х в метрах)

О т в e т: x = (-0,5cos44,3f + lOsin44,30 см.