Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1264 вуза, 4635 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Белорусский национальный технический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

doc1

.pdf
Скачиваний:
525
Добавлен:
31.05.2015
Размер:
11.39 Mб
Скачать
☆

370

 

IX. Динамика материальной точки

 

или

 

СхХ = (с, COS2 ф' + С, COS2 ф2 + С} COS2 Фз)х,

 

 

 

 

 

 

Сх = С, С052ф|' + С2С052ф2 + С3С052фз.

(

Запишем дифференциальное уравнение движения точки в про-

 

екции на ось х

тх = Fx = -схх

 

или

 

 

 

х+кхх = 0,

 

 

 

 

где к х

2 = ^ , к х =

Ж

 

 

т -

\т

 

Теперь рассмотрим движение точки М вдоль оси у (рис. 2). Сместим точку в сторону положительного направления оси у. Покажем силы упругости Fn F2 и F3, действующие на точку. Определим проекции сил упругости каждой пружины на ось у\

а> 1

^urv

F1

о

Л

 

F[y =-/Jsin<p,',

 

F2y = -F2sin ф2,

 

F,y=-Fy

Рис. 2

Найдем деформацию пружин:

 

Л/1 =/oi j*sinф^

/qj cosa,,

Д/2 = /02 - ysin<p2 -/02 cosa2,

А13=у.

Ввиду малости углов а, и а2 считаем, что cosa, = cosa2 = I. Тогда

д/, =|-ysn^;|,

Д/2 = [~у sin ф2 j,

F,у =-c,^sin29p

F2y=-c2ysin2(p2,

F3y = -СзУ-

32. Колебательное движение

371

Обозначим Fy = -суу, су — коэффициент жесткости пружины, эквивалентной всем трем пружинам.

Тогда

Fy=F]y+F2y + F3y

или

суу = (q sin2 ф; + с2 sin2 ф2 + с} sin2 ц>'ъ)у,

откуда

 

 

 

 

 

 

 

су

- q sin2 ф,' + с2 sin2 ф2 + с3 sin2 ф3.

(2)

Запишем дифференциальное уравнение движения точки в про-

екции на ось у:

 

 

 

 

 

 

 

ту = Fy = -с,>>

 

или

 

 

 

 

 

 

 

 

у + к]у = О,

 

где £2 = ^ - , к

у =

V т

 

 

 

т

 

 

 

 

Так как колебания являются малыми, то можно считать, что

совф^ = COS9j,

 

СОЭфз = СОБфз,

СОБфз = СОБфз =0,

sin9[ = sin ф,,

Бтф2 = 5Шф2. Тогда выражения (1) и (2) примут вид

 

 

 

 

сх - q cos2 ф, + с2 cos2 ф2,

 

 

 

 

су = q sin2 ф, + с2 sin2 ф2 + с3.

 

О т в е т: сх = q cos2 ф, + с2 cos2 ф2;

су = q sin2 ф, + с2 sin2 ф2 + с3;

^ =

сх/т;

ку = ^[срТп.

 

 

В исходном положении пружины не напряжены и точка А/ находится в равновесии.

Задача 32.34

Определить коэффициент жесткости эквивалентной пружины, если груз Л/ массы т прикреплен к стержню, массой которого можно пренебречь. Стержень шарнирно закреплен в точке О и прикреплен тремя вертикальными пружинами к фундаменту. Коэффициен-

372

IX. Динамика материальной точки

ты жесткости пружин си с2, с3. Пру-

 

жины прикреплены к стержню на

 

расстояниях а„ а2, а3 от шарнира.

 

Груз М прикреплен к стержню на

 

расстоянии Ь от шарнира. В поло-

 

жении равновесия стержень гори-

 

зонтален. Эквивалентная пружина

 

крепится к стержню на расстоянии

 

Ъ от шарнира. Найти частоту малых

 

колебаний груза.

 

 

Р е ш е н и е

 

 

В положении равновесия, когда стержень горизонтален,

 

mgb = ^а,

+ F2a2 + F3a3,

(1)

где F) = с,А,; F2 = с2Д2; F3 = е3Д3.

Сила упругости пружины, которую следует присоединить к грузу,

F = сД = mg,

где с — коэффициент упругости эквивалентной пружины.

Из рисунка видно, что

А, =Д а-,

b

где А — деформация эквивалентной пружины.

Тогда

а, А

32. Колебательное движение

373

С учетом этого выражение (1)

примет вид

mgb = cbA= q Д— + с2Д — + с3 А-

b

b

Откуда

_c,at2+c2ai+c3a32 b2

Частота колебаний груза

Vqg2+c2fl22H-g3fl

О т в е т: с - да12+С2а1 +W3. t _ [с"

Задача 32.35

Винтовая пружина состоит из л участков, коэффициенты жесткости которых соответственно равны с,, с2,..., Определить коэффициент жесткости с однородной пружины, эквивалентной данной, и период свободных колебаний точки, масса которой равна т .

Р е ш е н и е

Винтовая пружина состоит из и последовательно соединенных участков с различной жестостью. Поэтому деформация эквивалентной пружины равна сумме деформаций всех ее участков:

/ = )

А^

где Дt = — . С/

Тогда коэффициент жесткости эквивалентной пружины

iС - t 1

или

1

с ~ " 1

X 1

374 IX. Динамика материальной точки

Период свободных колебаний точки массой т Г = ^ = 2л.£

где к = J—. im

О т в е т: с = —1 ; x-i 1

Кi=l W

_ 2тс

. [с

Г = —, m e k = J ~ .

л

\m

Задача 32.36

Груз массы 10 кг, лежащий на абсолютно гладкой горизонтальной плоскости, зажат между двумя пружинами одинаковой жесткости с = 19,6 Н/см.

В некоторый момент груз был сдвинут на 4 см от положения равновесия вправо и отпущен без начальной скорости. Найти уравнение движения, период колебаний, а также максимальную скорость груза.

Р е ш е н и е

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Когда груз зажат между двумя пру-

У

 

 

 

 

 

 

жинами, то это равносильно действию

 

 

 

 

 

 

с

 

 

 

 

 

 

 

эквивалентной пружины, коэффициент

 

 

 

 

 

 

 

\f\f\f\f\r~-

< •

 

v

w

w

t

жесткости которой

 

« ш м У

ш

 

ш

 

»

 

 

 

 

 

 

 

с = с,+с

2

= 2с = 39Д (Н/см).

 

 

¥

упр

1

\

N

 

 

 

 

А

 

 

 

Выберем начало системы координат

 

о

*

т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Оху в положении равновесия груза.

 

«

 

*

1 т ё

х

Сместим груз из положения равновесия в сторону положительного направления оси х, покажем на рисун-

ке действующие на груз силы: силу тяжести mg, силу упругости реакцию N опоры.

Запишем дифференциальное уравнение движения груза в проек-

ции на ось jc:

 

mx = -Fvn

(1)

где FmB — сэю1х.

 

32. Колебательное движение

 

375

Тогда уравнение (1) можно записать в виде

 

 

 

х + £2 х = 0,

(2)

где к2

к= &

= JmnW2

= 19,8 (рад/с).

 

т

у /п

v 10

 

 

Дифференциальное уравнение (2) имеет решение:

 

 

 

х = С, coskt + С2 sin kt,

(3)

 

 

x = ~Clksinkt+C2kcoskt.

(4)

Из формул (3) и (4) найдем постоянные интегрирования С, и С2, используя начальные условия движения: t = 0, х0 = 4 см, х0 = 0; С, = 4,

С2= 0.

Тогда выражение (3) примет вид

x = 4cosl9,8/.

Период колебаний груза

Г = 2 £ = 2:ЗД4==

к19,8

Для определения максимальной скорости груза воспользуемся выражением (4):

Л: = -419,8 sin 19,8/ = -79,2 sin 19,8/.

Максимальная скорость достигается, когда sinl9,8/ = 1. Поэтому 4 » = 79,2 см/с.

О т в е т : х = 4cos 19,8/ см; Т = 0317 с; хшх = 79,2 см/с.

Задача 32.37

Груз Р массы m подвешен к стержню АВ, который соединен двумя пружинами, с коэффициентами жесткости с2 и с3, со стержнем DE. Последний прикреплен к потолку в точке Н пружиной, коэффициент жесткости которой с,. При колебаниях стержни АВ и DE остаются горизонтальными. Определить коэффициент жесткости одной эквивалентной пружины, при которой груз Р будет коле-

376

IX. Динамика материальной точки

баться с той же частотой. Найти период свободных колебаний груза. Массой стержней пренебречь.

Р е ш е н и е

Заменим две пружины с коэффициентами жесткости с2 и с3 одной эквивалентной с коэффициентом жесткости

с' = с2+с3.

Далее две последовательно соединенные пружины с коэффициентами жесткости с, и с' (рис. 1) заменим эквивалентной пружиной, для которой

где с — коэффициент жесткости эквивалентной пружины.

Откуда с учетом значения с' получим

. е -

с\с'

-

 

с, + с'

с, + с2 + с3

Теперь рассмотрим движение груза на одной пружине, эквивалентной трем заданным (рис. 2); / — длина недеформированной пружины, / „ — деформация пружины, при которой груз находится в положении статического равновесия.

Начало координат выберем в положении статического равновесия груза. Направим ось х в сторону смешения груза из положения равновесия. Покажем на рисунке действующие на груз Р силы: силу тяжести mg, силу упругости /?пр.

Составим дифференциальное уравнение движения груза в проекции на ось х:

<>

О—

 

г»'

>

 

<

 

г упр. I

 

 

>

ГЩ-

ШР

 

mg

mg

< х

Рис. 1

Рис. 2

 

где Fy„p = c(fcт + х).

32. Колебательное движение

377

Тогда

 

 

тх = mg - cf„ - ex.

(1)

В положении статического равновесия

 

 

mg = с/„

 

и уравнение (1) можно записать в виде

 

,2

х+к2х = О,

(2)

с

 

где к* = —.

 

 

т

 

Уравнение (2) — это дифференциальное уравнение гармонических колебаний.

Найдем круговую частоту

 

 

 

д. _ Iе

_ I

фу

 

1т

у {с, + (с2 + с3)] т

 

и период этих колебаний

 

 

 

А

\

с,(с2 +с3 )

 

О т в е т : , = q+Cj+Cj

V

 

 

Задача 32.38

 

Определить собственную частоту колебаний

1

груза б массы т, подвешенного на конце упру-

Щ*

гой консоли длины /. Пружина, удерживающая

~

груз, имеет жесткость с. Жесткость на конце кон-

 

соли определяется формулой с, = 3EI/P (Е —

 

модуль упругости, / — момент инерции). Мас-

 

сой консоли пренебречь.

 

 

 

Р е ш е н и е

 

 

 

Собственная частота колебаний груза

 

 

к = лVр^,т

(1)

где сЗКв — эквивалентная жескость пружины и конца консоли.

378

—

 

IX. Динамика материальной точки

 

 

Пружина жесткости с подвешена к концу упругой консоли

кости с„ считая это последовательным соедине^ем

^

 

с

 

*

 

где с, = 3 £ / / / 3 .

 

 

 

 

Откуда

 

 

 

 

 

с -

 

L _

 

или после преобразований

 

Р )

 

 

 

 

 

 

3 Ек

 

 

экв

сР+т'

(2)

Подставим выражение (2) в формулу (1) и определим

 

к= '

Ш

с

 

 

т(сР

+3EI)

 

О т в е т: к = /

ЪЕк

 

 

 

\т{сР + ЗЕТ)

 

 

 

Задача 32.39

t - о груз находился в положении равновесия.

Р е ш е н и е

Амплитуда гармонических колебаний груза

Отсюда

у0 = =

 

 

(1)

 

 

где к - круговая частота колебаний, к = JI =

= 14>|4

(рад/с)

32. Колебательное движение

379

Выбрав начало координат в положении равновесия, получим, что х0 = 0. Тогда согласно формуле (1)

v0 = ка =14,14-2 =28,3 (см/с).

О т в е т : v0 = 283 см/с.

 

 

Задача 32.40

 

 

Груз Q массы т закреплен горизонтально на-

а А Q

Вт

тянутым тросом АВ = 1. При малых вертикаль-

 

 

ных колебаниях груза натяжение троса S можно

 

 

считать постоянным. Определить частоту сво-

 

 

бодных колебаний груза, если расстояние груза

 

 

от конца троса А равно а.

 

 

Р е ш е н и е

Рассмотрим движение груза под действием приложенных сил: силы тяжести mg, сил натяжения и S2 троса.

Запишем дифференциальное уравнение движения груза в проекции на ось х:

mx = -Sf sintp, -iS2sin<p2-

С )

Считаем, что при малых вертикальных колебаниях груза S2 =5, =S, тогда

а

аЦ •

' mg

1"

Г

\

0

^ <"

 

mg

 

 

X

 

tg<p, = sincp, = ф, =

 

 

 

 

 

1-а

 

tg ф2 = Sin ф2 =ф, =-х

 

 

 

 

а

 

и уравнение (1) примет вид

 

 

 

 

mx = -S ——S—

а

=

S

I

l-a

 

а

I-а

или

х + к2х = 0,

 

где к2

SI

та(1 - а)

 
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности