Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1264 вуза, 4634 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Белорусский национальный технический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

doc1

.pdf
Скачиваний:
525
Добавлен:
31.05.2015
Размер:
11.39 Mб
Скачать
☆

310

IX. Динамика материальной точки

Из формулы (1) следует, что v = const, так как аь = 0, то из уравнения (3) найдем

cosa

Подставим это значение в уравнение (2) и получим v2 =tfgtga.

Из AOOtM определим

 

0\М

а

tga = —— = - ,

 

ч

Тогда из формулы (4)

v = a t , f i = t -

t/P^a*'

Так как v = const, то

2na = vT

или с учетом выражения (5)

где Т — время одного оборота (период). Откуда найдем

Г8 "

О т в е т : Т =

(4)

(5)

48

32. Колебательное движение

Методические указания к решению задач

Колебательным движением материальной точки называется такое движение, при котором точка попеременно движется в двух противоположных направлениях. Для того чтобы точка совершала такое движение, необходимо наличие восстанавливающей силы, которая возвращала бы точку в положение равновесия, если она выведена из этого положения. Такой силой является сила упругих связей — пружин, тросов, ремней и тому подобных деталей либо другие силы, например сила тяжести при колебании математического маятника.

Восстанавливающую силу упругих связей называют силой упругости и обозначают Fynp. Величина силы упругости в пределах применимости закона Гука пропорциональна деформации, или отклонению х точки от положения равновесия, и направлена к этому положению. Поэтому проекция силы упругости на ось Ох, направленную в сторону отклонения точки (начало оси совмещено с положением равновесия)

Fy n p x =-cx,

(32.1)

где с — коэффициент жесткости упругой связи.

Если при движении точки на нее действует, кроме силы упругости, некоторая постоянная сила, например сила тяжести, направление которой совпадает с направлением упругой связи (пружины), то в положении статического равновесия пружина уже растянута на величину/^., а проекция силы упругости на ось Ох с началом в положении равновесия в этом случае примет вид

Fynpx =-с(/ст +Х).

(32.2)

Вряде случаев на точку действуют также сила сопротивления R

ивозмущающая сила Q.

Законы изменения этих сил могут быть любыми, однако наибольший интерес представляют случаи, когда движение происходит

312

IX. Динамика материальной точки

в вязкой (жидкой) среде, а сила сопротивления пропорциональна первой степени скорости точки и направлена противоположно вектору скорости:

R = -av,

где a — коэффициент сопротивления.

Возмущающая сила Q изменяется по гармоническому закону

e = e0sin(pr + S),

где Q0 — наибольшее значение силы (амплитуда); р — частота; (pt + §) — фаза возмущающей силы, 8 — начальная фаза возмущающей силы.

В некоторых задачах этого параграфа сила сопротивления является силой сухого трения

где / — коэффициент трения скольжения; N — нормальная реакция шероховатой поверхности.

Свободные колебания. Эти колебания возникают при действии на точку силы упругости и некоторой постоянной силы, кроме силы сопротивления движению (силы трения).

Если начало координат выбрано в положении равновесия, то дифференциальное уравнение движения имеет вид

 

тх = -сх

 

или

 

 

 

х + к2х = 0,

(32.3)

где к1

Q

 

= —, к — циклическая (круговая) частота колебаний.

 

 

т

 

Уравнение (32.3) является однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами, общее

решение которого можно представить в виде

 

х = С, coskt+C2 sinkl.

(32.4)

Постоянные интегрирования С, и С2 определяют по начальным условиям движения: при / = 0 х = х0, х = х0. Продифференцировав

32. Колебательное движение

313

выражение (32.4) по времени и подставив в полученное выражение и в уравнение (32.4) начальные условия, находим

= Хо > Сг —

Общее решение уравнения (32.3) в амплитудной форме

x = asin(£/ + S),

(32.5)

где 5 — начальная фаза.

Из формулы (32.5) видно, что отклонения точки от положения равновесия подчиняются гармоническому (синусоидальному) закону, поэтому такие колебания называют гармоническими.

Наибольшее отклонение точки от положения равновесия называется амплитудой колебаний:

а =

 

(32.6)

Период колебаний — время одного полного колебания:

 

Т = — = 2 я , &

(32.7)

k

V с

 

Если колебание происходит на совокупности соединенных между собой определенным образом упругих связей, то период колебаний определяют по формуле (32.7), но вместо жесткости с подставляют эквивалентную жесткость сэко упругих связей, т.е. жесткость такой одной упругой связи, которая должна быть эквивалентна жесткости всех связей.

Если жесткость пружины неизвестна, но известна ее статическая деформация /ст, то циклическую частоту колебаний к и период колебаний Т определяют по формулам

(32.8)

314 IX. Динамика материальной точки

что следует из равенства силы упругости и силы тяжести в положении равновесия, т.е.

cL = mg

т

=

f„

= к2,

 

 

 

Влияние сопротивления на свободные колебания. В случае, когда точка движется в вязкой среде, на нее, кроме силы упругости и некоторой постоянной силы, действует сила сопротивления среды R = - av . Тогда дифференциальное уравнение движения точки в проекции на ось х при выборе начала координат в положении статического равновесия имеет вид

тх = —сх - ах.

(32.9)

Если ввести обозначния

 

 

 

 

с

, 2

a

,

 

-

= к2,

-

= 2п,

 

т

 

т

 

 

то уравнение (32.9) можно представить в виде однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

х+2пх + к2х = 0,

(32.10)

где п — коэффициент затухания.

 

Характеристическое уравнение, соответствующее уравнению (32.10),

имеет вид

 

Z2 +2пг + к2 = 0 .

(32.11)

Корни уравнения (32.11)

 

Zl 2 = -n±-Jn2-к2.

(32.12)

Из формулы (32.12) следует, что возможны три случая: п < к , п > к ,

п- к.

1. При п<к корни характеристического уравнения (32.11) комплексные:

=-п±4<к2

-п2) = -n±ik{,

(32.12')

где fc, = Vfc2 - и 7 .

32. Колебательное движение

315

В этом случае общее решение уравнения (32.10) имеет вид

х = e~"'(Ct cosfy +С2 sinfc,/)-

(32.13)

Введем замену: С, = о sin а, С2 = а cosa. Тогда выражение (32.13) можно представить в амплитудной форме:

x = ae"'sm(k]t + a).

(32.14)

Продифференцируем выражение (32.13) по времени:

х = -ле~"'(С, cos/с,/ +С2 sinfy)+^"'(-С,*, sin£,f+С2&, cos/:,?).

Подставим в это выражение и в уравнение (32.13) начальные условия движения: при / = 0 х = х0, х = х0, и найдем постоянные интегрирования:

р

_

v

 

_ -хр + и х р _ х 0 - ь л х д

1

~

 

2

^

V F ^ T

Согласно формуле (32.14) при sin(kj + a) = 1 отклонение точки максимальное:

х

~ ае~"'

Л т а х

" с

>

все другие отклонения изменяются по закону синуса и с течением времени уменьшаются. Так как функция sin(A,f + a) — периодическая, то движение точки носит колебательный характер, но размах колебаний будет уменьшаться, т.е. в данном случае точка совершает затухающие колебания.

Амплитуда затухающих

колебаний

 

 

 

Аззг = ае~"'

(32.15)

с течением времени уменьшается.

 

 

При t = 0

 

 

 

Лат = 0-

=

+

= Л ,

где Аа — начальное значение амплитуды.

316

IX. Динамика материальной точки

Период затухающих колебаний представляет время между двумя последовательными прохождениями точки через положение равновесия в одном и том же направлении:

Установим закон изменения амплитуды затухающих колебаний.

Пусть A, =ae~"h, тогда при t2 =/,

Т

 

А2 = ае

-*(«.&]

-lb.

ЛЬ.

1

2)

= ае'"''е

2

= А,е

2

,

Т

 

 

 

 

 

 

 

при ty =t2+ ~

 

 

 

 

 

 

 

J,2J±)

= ae'nl,e

Jah

 

 

A)=ae

{

2 )

2

= Axe

2

 

Следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Am=A,e - ^2C - l ) .

 

(32.17)

Из формулы (32.17) следует, что изменение амплитуды затухаю-

щих колебаний происходит по закону убывающей геометрической "ri

прогрессии, знаменателем q которой является е 2 , так как любой

член геометрической прогрессии am =axqm~\

Л±

В теории колебаний е 2 называется декрементом колебаний, обозначается D,

D = e 2 .

Декремент колебаний показывает, во сколько раз уменьшается амплитуда последующего колебания по сравнению с амплитудой предыдущего, если считать амплитуды через полупериод. Если сравнивать амплитуды через период, то D = е~пТ>.

Если точка совершила N колебаний, то

m = 2/V + 1 — число амплитуд через полупериод, m - N +1 — число амплитуд через период.

32. Колебательное движение

317

Например, если N = 4, то число амплитуд через полупериод равно 9. Пусть — = 0,05. Необходимо определить, во сколько раз умень-

к

шилась Л9 по сравнению с А,. Для этого воспользуемся формулой (32.17) и запишем

 

 

 

-8л

"Т\

Л

-An 2Я

If*)2

9

3 = е =

0

0 4

А = А,е~~* =

= e'W " s е- ' * = 0,285.

Тогда

А =

1 «35

 

 

 

 

А9

0,285

 

А

Если задано отношение —L = то можно определить In D — лога-

А)

рифмический декремент колебаний:

. пТ, 0

пТ,

lnz

lnz = —L-8 => —L = —

2

2

8

,.п |

=jlnD|.

Начальную фазу затухающих колебаний а определяют по формуле

а = arctg С2

= arctg

Хд+гщ .

(32.18)

2. При п>к корни характеристического уравнения (32.12) являются разными и вещественными:

^ =-л+л/л2 -к2, z2 -~п-л1п2 -к2.

Тогда решение уравнения (32.10) в общем виде

x = C,e^'+C2 e^ = e-n '\Cl eJ 7 r 7 p '+C2 e-J"2 -k 2 '\

(32.19)

3. При п~ к корни характеристического уравнения (32.12) вещественные и одинаковые:

Z) — Z2 — —п.

Тогда решение уравнения (32.10) имеет вид

х =

+С2Г).

(32.20)

318 IX. Динамика материальной точки

Уравнения (32.19) и (32.20) описывают некоторое затухающее апериодическое, т.е. неколебательное, движение.

Постоянные интегрирования С, и С2 определяют с учетом начальных условий: t = 0, х = х0, х = х„.

При действии на точку силы сухого трения дифференциальное уравнение движения точки (груза) по шероховатой поверхности

имеет вид

 

mx+cx = ±/N.

(32.21)

Вынужденные колебания. Такие колебания возникают при движении точки под действием восстанавливающей и возмущающей сил, а также некоторой постоянной силы и силы сопротивления среды. Возможны также случаи кинематического возбуждения.

Если возмущающая сила гармоническая, а сила сопротивления среды пропорциональна первой степени скорости, то дифференциальное уравнение движения точки в проекции на ось х имеет вид

 

mx = -cx-ax+Q0 sin(/tf+ 8).

(32.22)

С

сс

О

 

Обозначив — = к2, — = 2п, — = h, уравнение (32.21) можно пред-

яг

wi

/я

 

ставить в виде неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Z+2nx + k2x = h sin(p/ + 8),

(32.23)

которое является уравнением вынужденных колебаний материальной

точки с учетом сопротивления.

Решение уравнения (32.23)

х = х + х *

представляет собой сумму общего решения однородного уравнения (32.10) — х, и частного решения уравнения (32.23) — х*.

Общее решение х в зависимости от соотношения пик может быть дано в виде выражений (32.13) или (32.14) при и < А: либо (32.19) при п > к и (32.20) при п = к. Наличие в этих выражениях множителя е~"' указывает на то, что движение быстро затухает. Поэтому колебания будут описываться частным решением х*, которое по существу при больших значениях t является полным решением дифференциального уравнения (32.23).

32. Колебательное движение

319

Частное решение х* зависит от вида правой части неоднородного

уравнения (32.23), т.е.

 

х* = Acsin(p/ + d-e),

(32.24)

где Ас — амплитуда вынужденных колебаний с учетом сопротивле-

ния,

.

h

(32.25)

е — величина сдвига фазы возмущающей силы и вынужденных колебаний,

1 ё£ = т т ^ т >

я.

(32.26)

к-р1

 

 

Следует заметить, что в случае резонанса, когда к = р,

амплитуда

вынужденных колебаний имеет конечное значение

 

2пр

=

(32.27)

Ink

 

а е = —, что следует из формулы (32.26).

2

Однако резонансная амплитуда не является максимальной. Существует такая частотар возмущающей силы, при которой амплитуда имеет максимальное значение. Для определения этой частоты нужно исследовать на экстремум выражение (32.25), откуда найдем

р = ^1к2-2п2.

(32.28)

Тогда формула (32.25) примет вид

Лт =

=

,Н

(32.29)

 

2

 

 

Сравнив выражения (32.27) и (32.29), получим

A m a x = n J l S L T .

(32.30)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности