doc1

210 IX. Динамика материальной точки;

2) Вычислим потенциальную энергию

Рх

как работу силы — , которую обозначим

Оба способа приводят к одному результату, если

Рх2 Ру = 21

т.е. когда у = — или 2yl = х2.

Запишем выражение для у (см. рисунок):

Оба результата будут иметь одно значение, если в этой формуле можно пренебречь у2.

1Рх2

От в е т : 1) Ру\ 2) - — р . Оба ответа одинаковы, если можно пренеб-

речь у2.

Задача 29.15

Для измерения мощности двигателя на его шкив А надета лента с деревянными колодками. Правая ветвь ВС ленты удерживается пружинными весами Q, а левая ее ветвь DE натягивается грузом. Определить мощность двигателя, если, вращаясь равномерно, он делает

120 об/мин; при этом пружинные весы показывают натяжение правой ветви ленты в 39,24 Н; масса груза равна 1 кг, диаметр шкива d-63,6 см. о Разность натяжений ветвей ВС и DEленты рав-

на силе, тормозящей шкив. Определить работу этой силы в 1 с.

Р е ш е н и е

Найдем величину силы, тормозящей шкив (см. рисунок):

Fc — F—mg = 39,24-1-9,8= 29,4 (Н). Определим мощность двигателя:

N = Fcv,

где v — скорость на ободе шкива, v = со — =

2

_ жп d _ %dn

~30 2 ~ ~бГ Тогда

= 29,4-ЗД4-0,636-120 =

6060

Пр и м е ч а н и е . Полученное для N выражение можно представить также в виде

N=Mcoma,

кп

где Mc o n p =Fc ^ — момент сопротивления вращению шкива; со=:зо— — угловая скорость шкива.

О т в е т : 117,5 Вт.

Задача 29.16

Посредством ремня передается мощность 14,71 кВт. Радиус ременного шкива 0,5 м, угловая скорость шкива соответствует 150 об/мин. Предполагая, что натяжение Т ведущей ветви ремня вдвое больше натяжения t ведомой ветви, определить натяжение Tut.

Р е ш е н и е

Мощность, передаваемая ременной передачей,

где Л/Вр — вращающий момент (см. рисунок), Мвр = (T -t)R = (2t-t)R = tk, со - угло-

вая скорость шкива, со = кп 30'

Тогда

N = tRnn

30 ' Откуда натяжение ведомой ветви ремня

t = 30jV 30 14,71 Ю3 = 1873 (Н), nnR ЗД4 150 0,5

а натяжение ведущей ветви ремня

Т-2t = 2-1873 = 3746 (Н).

О т в е т : ? = 1873 Н; Г = 3746 Н.

30. Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки

Методические указания к решению задач

Кинетическая энергия материальной точки — одна из мер механического движения. Это скалярная величина, равная половине про-

изведения массы точки на квадрат скорости ее движения, т.е. mv2 .

2

Характеристикой действия силы в этом случае является работа силы.

Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки устанавливает связь между кинетической энергией точки и работой силы, действующей на нее. Различают две формы записи этой теоремы — дифференциальную и интегральную (или конечную).

Дифференциальная форма записи:

(30.1)

дифференциал от кинетической энергии материальной точки равен элементарной работе силы, действующей на нее.

Интегральная форма записи:

(30.2)

изменение кинетической энергии материальной точки на некотором перемещении равно сумме работ всех сил, приложенных к точке на том же перемещении.

При решении задач теорема в дифференциальной форме применяется, когда на точку действуют переменные силы, и в частности силы, зависящие от перемещения или скорости. В этом случае уравнение (30.1) может быть сведено к дифференциальному уравнению движения точки с разделяющимися переменными.

Если же на точку действует переменная сила, зависящая только от перемещения, то, записав выражение элементарной работы, а за-

214 IX. Динамика материальной точки;

тем проинтегрировав и определив работу силы на конечном перемещении, можно от дифференциальной формы перейти к интегральной, т.е. применить уравнение (30.2).

Вычисление работы сил рассмотрено в § 29.

Часть задач этого параграфа может быть решена с использованием закона сохранения механической энергии, который формулируется следующим образом:

в любом положении материальной точки в потенциальном силовом поле сумма кинетической и потенциальной энергий точки есть

Силовым полем называется часть пространства, в каждой точке которого на материальную точку действуют силы, зависящие от координат точки и времени. Силовое поле называется стационарным, если силы не зависят от времени.

Стационарное силовое поле называется п о т е н ц и а л ь н ы м , если работа сил, действующих на точку, не зависит от траектории точки. Такое силовое поле создают силы тяжести, силы упругости, силы тяготения (притяжения).

Потенциальная энергия материальной точки — это энергия покоя. Она представляет собой работу, совершаемую потенциальными силами, при перемещении точки из заданного положения в некоторое нулевое положение (в нулевой уровень).

Проекции силы на оси декартовой системы координат в потенциальном силовом поле определяются по формулам

где П — потенциальная энергия точки.

Последовательность решения задач этого параграфа:

1. Определить, в какой форме следует применить теорему об изменении кинетической энергии материальной точки, и записать соответствующую формулу (30.1) или (30.2).

2. Изобразить на рисунке движущуюся точку (тело) в произвольном положении и показать все действующие на нее силы, в том числе и силы реакций связи, если точка несвободна.

Вертикальная составляющая Fy силы упругости Fy„p, сила тяжести mg и нормальная реакция N перпендикулярны к направлению перемещения и их работа равна нулю.

Вычислим работу сил упругости

Подставим выражение (2) в уравнение (1) и с учетом того, что v0 = О, найдем скорость тела в момент прохождения положения равновесия:

Задача 30.2

В условиях предыдущей задачи определить скорость тела Е в момент прохождения положения равновесия О, предполагая, что плоскость шероховата и коэффициент трения скольжения равен /.

Р е ш е н и е

По теореме об изменении кинетической энергии материальной точки

Работу будут производить сила упругости Fy„p (см. решение задачи 30.1)

исила трения F^ (см. рисунок). Найдем силу трения:

FTP = fN - f(mg + Fy) = f(mg + Fynp sin cp) = fmg+fc{Jl2+x2 - /0) x

- /c/ 0 /ln(xW/ 2 + x2 J|° =-/(mg + c/)a-/c/0 /[ln/-ln(a + V/2 + a 2 ) ] =

Подставим в уравнение (1) v0 = 0, выражение (2) и значение работы силы упругости [см. формулу (2) в решении задачи 30.1] и найдем скорость тела Е с учетом трения скольжения:

Задача 30.3

Тело К находится на шероховатой наклонной плоскости в покое. Угол наклона плоскости к горизонту а и /0 > tga, где/0 — коэффициент трения покоя. В некоторый момент телу сообщена начальная скорость v0, направленная вдоль плоскости вниз. Определить путь s, прой-

денный телом до остановки, если коэффициент трения при движении равен /.

Р е ш е н и е

По теореме об изменении кинетической энергии материальной точки

mv2 mvl

(1)

Тогда уравнение (1) примет вид

=mgs( sin a - /cosa),

где а = 30°.

Откуда скорость тела

v = V2gs(sin300-/cos300) = Л/2-9,8-2 • (0,5 - ОД • 0,866) = 4,02 (м/с).

О т в е т : 4,02 м/с.

Задача 30.5

Снарад массы 24 кг вылетает из ствола орудия со скоростью 500 м/с. Длина ствола орудия 2 м. Каково среднее значение давления газов на снаряд?

Р е ш е н и е

По теореме об изменении кинетической энергии материальной точки

где v0 — скорость снаряда в стволе до выстрела, v0 = 0.

Будем считать, что работу совершает только сила давления газов на снаряд, причем среднее значение давления газа Рср остается постоянным, пока снаряд движется в стволе. Тогда

Откуда

mv1 _ 24-5002 = 1500 (кН).

21 2 - 2

О т в е т : 1500 кН.