doc1
.pdf120 |
IX. Динамика материальной точки |
Еще раз разделим переменные и проинтегрируем:
|
[dy = \(-gt+C,)dt. |
|
Найдем |
|
|
|
y = -£lL+c2t+C4. |
(8) |
Подставим |
в выражения (7) и (8) начальные |
условия: t = О, |
j>0 = v0 sina0 , |
= 0, и найдем постоянные интегрирования: у„ = v0 x |
|
xsina 0 =С3 , |
= 0 = С4. Тогда выражения (7) и (8) примут вид |
|
j> = -,g/ + v0sin<x0,
gt2
_ v = ; - ^ _ + v0 /sina0 .
Запишем уравнения движения самолета:
xl =v,/„
(9)
(10)
Чтобы снаряд попал в самолет, должны выполняться условия:
х , = х , yt |
=/. |
Тогда с учетом формулы (6) запишем |
|
v0 /cosa0 = v,/. |
|
Откуда |
|
cosa0 |
V, |
= —. |
|
|
v0 |
Время полета снаряда найдем из уравнения (10), приняв у = А.
Тогда |
|
h = v0 |
zt2 |
/sina0 |
|
Откуда |
|
vQ sinag 0 + |
|VQ sin2g«20 -2hg' |
27. Дифференциальные уравнения движения |
121 |
|
Попадание снаряда в самолет возможно, когда |
||
|
v^sin2 a0 -2Ag >0, |
|
так как |
, |
v2 |
|
||
|
sin2 a„ = 1 - cos2 a0 |
= 1 — U |
|
|
v0 |
T 0 условие попадания перепишем в виде |
||
|
„2 " |
|
|
v 2 | l - .25i - | - 2 g / * > 0 . |
|
|
Vo' |
|
Откуда |
Vg - v,2 -2gh >0 или |
VQ > v,2 +2gh. |
|
||
О т в е т : 1) v02 > v2 +2gh; 2) cosa0 = v,/v,о •
Задача 27.42
Наибольшая горизонтальная дальность снаряда равна L. Определить его горизонтальную дальность / при угле бросания a = 30° и высоту h траектории в этом случае. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Р е ш е н и е
Используем уравнения (12) и (13) решения задачи 27.39:
j r = v | s i ng2 a o > |
|
|
||
_ У02 |
sin2 |
a 0 |
• |
( 2 ) |
Утах |
~ |
|
V^' |
|
|
2g |
|
|
|
Наибольшая дальность полета снаряда достигается при sin 2a0 |
= 1 |
|||
или угле бросания а 0 =45°: |
|
|
|
|
^ _ У02 • Sin 90° _ Ур |
( 3 ) |
|||
g |
|
g |
|
|
При а 0 = 30° |
|
|
|
|
v02sin6Q°_ УЗу02 |
( 4 ) |
|||
g |
|
2g |
|
|
122 |
IX. Динамика материальной точки |
Из равенства (4) с учетом равенства (3) получим
•>/3
I = 2—L.
При Оо = 30° из уравнения (2) найдем высоту h траектории снаряда
zg sin2 30°=
-Л |
i |
О т в е т : / = — I ; й = ~. |
|
2 |
8 |
Задача 27.43
При угле бросания а снаряд имеет горизонтальную дальность 1а. Определить горизонтальную дальность при угле бросания, равном а/2. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Р е ш е н и е
Используем формулу (12) из решения задачи 27.39:
х _ Ур sin2a0 g
В рассматриваемом случае х = /а, аа = а. Тогда эта формула примет вид
. _ |
02 |
sin2 а |
|
у |
(1) |
||
In — |
|
g |
|
|
|
|
При а0 = — горизонтальная дальность полета
2
. _ Ур sin а
'а/2 |
g |
• |
|
|
Разделим выражение (2) на выражение (1) и получим
4с/2 |
sing _ |
1 |
la |
sin2a |
2 cosa |
27. Дифференциальные уравнения движения |
123 |
Откуда
/„
1«,2 =2 cosa
Ответ: /а/2 |
= — . |
|
2 cosa |
Задача 27.44
Определить угол наклона ствола орудия к горизонту, если цель обнаружена на расстоянии 32 км, а начальная скорость снаряда Vo = 600 м/с. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Р е ш е н и е
Воспользуемся формулой (12) из решения задачи 27.39:
. _ у02 sin2aЧ0 g
В случае попадания снаряда в цель (см. рисунок в решении задачи 27.39)
х |
_ L |
_ Vo sin2a |
0 |
|
|
g |
|
где L = 32 ООО м. |
|
|
|
Откуда |
|
|
|
sin 2«р= i f |
= 3 2 0 0 ^ 8 |
||
|
Vo2 |
6002 |
|
Значит, |
|
|
|
2a0 l = 60°36', a01 |
= 30°18', a02 = | - a01 = 59°42 |
||
О т в е т: a01 = 30°18'; а02 = 59°42'. |
|
||
Задача 27.45
Решить предыдущую задачу в том случае, когда цель будет находиться на высоте 200 м над уровнем артиллерийских позиций.
124 |
|
IX. Динамика материальной точки; |
||||
Р е ш е н и е |
|
|
|
|
|
|
Воспользуемся формулами (5) и (9) из реше- |
у |
_ |
А |
|
||
ния задачи 27.39: |
|
|
|
|
||
|
|
Г° |
|
|
||
|
|
|
|
|
||
х= v0/cosa0, |
|
(1) |
tУ |
|
|
|
у = v0/sina0 - gt1 |
|
(2) |
о |
L |
. |
i |
|
|
|
* |
|||
Из формулы (1) найдем |
|
|
|
|
|
|
/ = -v0 cosa0 |
|
|
|
|
|
|
Подставим значение t в уравнение (2) и получим |
|
|
|
|||
|
gx |
|
|
|
|
m |
j> = x t g a 0 -2VQ cos2 a0 |
|
|
|
|||
Из формулы (3), с учетом того, что — - — = l + tg2 a0 , |
найдем |
|
||||
|
cos |
a0 |
|
|
|
|
7 = x t g a 0 - ^ — ( l + tg2a0). |
|
|
|
(4) |
||
2Vg |
|
|
|
|
|
|
Откуда |
|
|
|
|
|
|
t g 2 a o - M t g a „ + ^ |
+ l = 0. |
|
|
|
(5) |
|
gx |
gx1 |
|
|
|
|
|
Подставим численные значения: v0 = 600 м/с, x = 32 ООО м, у = 200 м, |
||||||
в уравнение (5): |
|
|
|
|
|
|
tg2 a0 -2,293tga0 |
+ 1,014 = 0. |
|
|
|
(6) |
|
Решим квадратное уравнение (6): tga, = 0,598, a, =30°51'; tga2 =
=1,6956, a2 =59°31'.
От в е т: a, = 30°51'; a2 = 59°31'.
Задача 27.46
Из орудия, находящегося в точке О, произвели выстрел под углом а к горизонту с начальной скоростью v0. Одновременно из точки А, находящейся на расстоянии / по горизонтали от точки О, про-
27. Дифференциальные уравнения движения |
125 |
и3вели выстрел вертикально вверх. Определить, с какой начальной с к о р о с т ь ю v, надо выпустить этот снаряд, чтобы он столкнулся с первым снарядом, если скорость v0 и точка А лежат в одной верти- к а л ь н ой плоскости. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Р е ш е н и е |
|
|
JV0 |
|
Воспользуемся формулой (9) из решения за- |
|
|
||
|
/ |
|
||
дачи 27.39. Для снаряда, вылетевшего из точки, |
|
/ / |
|
|
совмещенной с началом координат, |
|
|
|
|
|
|
( а \ |
|
|
я/2 |
|
о |
|
|
(1) |
|
|
||
y = -^- + v0t sina. |
|
« |
1 |
|
<|
т~е
>'А х Щ8
Запишем уравнения движения снаряда, вылетевшего вертикально вверх из точки А (см. рисунок) в проекции на ось у:
ЩУ\ =-/не-
откуда
(2)
Решим уравнение (2) с учетом замены: j>, = — . Разделим пере- |
|||
менные, проинтегрируем: |
|
|
dt |
|
|
|
|
\dy,=\-gdt |
|
|
|
и получим |
|
|
|
yx=-gt+cv |
(3) |
||
Подставим в выражение |
(3) начальные условия: / = 0, >-01 = v,, |
||
и найдем |
|
|
|
yoi= v i= c i - |
|
||
Тогда уравнение (3) примет вид |
|
|
|
J > , = - £ F + V,. |
( 4 ) |
||
Снова сделаем замену, тогда |
|
|
|
• |
dy, |
, |
|
dt
126 |
IX. Динамика материальной точки; |
Разделим переменные и проинтегрируем: |
|
\dy, = \(-gt |
+ vx)dt, |
получим |
|
— + |
(5) |
Используя начальные условия:/=0, у01 = 0, из формулы (5) получим
с2 = у01 =о.
Тогда выражение (5) примет вид gt2
+ |
(б). |
Условие столкновения снарядов, выпущенных одновременно: у = ух. Приравняем выражения (1) и (6):
gt2 |
. |
gt2 |
|
+ v0/sina = |
+ v,/. |
Откуда найдем
v, = v„sina.
При этом расстояние / должно быть меньше — sin2a.
8
/-v |
/ |
i t |
Vnsin2a. |
|
О т в е т : v, = v0 sin a |
(независимо от расстояния /, для / <— |
-). |
||
|
|
|
|
8 |
Задача 27.47
Найти геометрическое место положений в момент t материальных точек, одновременно брошенных в вертикальной плоскости из/ одной точки с одной и той же начальной скоростью v0 под всевозможными углами к горизонту.
Р е ш е н и е Воспользуемся формулами (5) и (9) из решения задачи 27.39:
х = v0/cosa0, |
(1) |
Kt2 |
(2) |
У = ~ 2 — V s i n a o - |
27. Дифференциальные уравнения движения |
127 |
|
Запишем выражения (1) и (2) в виде |
|
|
х |
= cosa„, |
(3) |
v0' |
||
V |
-sina0 . |
(4) |
|
|
|
Возведем выражения (3) и (4) в квадрат, сложим и получим
или |
V„2/„2 |
V02/2 |
|
||
х2 + |
| = v02/2 |
— это уравнение окружности. |
О т в е т : окружность радиуса v0/ с центром, лежащим на вертикали точки бросания, ниже этой точки на gt2/2.
Задача 27.48
Найти геометрическое место фокусов всех параболических траекторий, соответствующих одной и той же начальной скорости v0 и всевозможным углам бросания.
Р е ш е н и е
Выберем систему координат Оху у и запишем дифференциальные уравнения движения тела в проекции на оси х и у:
ту = -mg. |
(2) |
Дважды проинтегрируем уравнения (1) и (2) по времени и получим
* = С,, . |
(3) |
х = С,/+С2, |
(4) |
128 |
IX. Динамика материальной точки; |
|
(5) |
|
(6) |
Подставим |
начальные условия: f = 0, х0 =0, у0= 0, х0 = v0cosa, |
у0 = v0sina, в уравнения (3)—(6) и найдем постоянные интегрирования:
х„ = v0cosa = C,, х0 = 0 = С2,
j>o = v0sina = C3, Л = 0 = С4.
Тогда
x = v0cosa, |
(7) |
|||
x = v0t cosa, |
(8) |
|||
У = -gt |
+ v0 sin a, |
(9) |
||
= |
gt2 |
+ v0/sina. |
(10) |
|
2 |
||||
|
||||
Из формулы (8) найдем |
|
|
|
|
t |
= v0 cosa |
|
||
подставим это значение в уравнение (10) и запишем уравнение траектории:
— gx |
-— + xtg a — это уравнение параболы. |
(11) |
У = -Zvn cos |
a |
|
Вершина параболы — точка А. В этой точке
у = 0 = —gt + v0 sin a.
Откуда
v0 sina
=g
27. Дифференциальные уравнения движения
Подставим значение f, в формулы (8) и (10):
|
02 |
sin 2 а |
хл |
v |
|
= - |
2 g |
|
|
|
''о • 2
УA 2g
Радиус параболы находится на прямой /4Л" (см. рисунок):
|
|
|
|
р |
|
|
где Р — фокальный параметр, |
|
|
|
|
||
|
Р = |
1 |
|
v0 |
2 |
а. |
|
|
g |
• = — cos |
|||
|
|
|
g |
|
|
|
|
|
2VQ cos2 |
а |
|
|
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
v„ cos2 |
a |
v,2 |
a - cos 2 a). |
|
|
FK = yA-^ |
|
—(sin2 |
|||
|
|
2 g |
|
2g |
|
|
Согласно рисунку |
|
|
|
|
|
|
|
OF2 = OK2 + FK2 = x2 + y2, |
|
||||
|
|
OK.-_ Vp sin2a |
|
|
||
|
|
|
|
2 g |
|
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
OF - |
sin 2a } Л,2 |
(sin2 a - cos |
2 a)2 = |
|||
2 g |
|
|
||||
|
|
2 g ) K |
|
2g |
||
129
(12)
Геометрическое место фокусов параболических траекторий, соответствующих v0 = const и всевозможным а, является окружность
Vo2 радиусом —.
2g
О т в е т : х2 + у! = -Л-. 4g2