doc1
.pdf110 |
IX. Динамика материальной точки |
Тогда согласно формуле (3)
|
|
|
2 а |
2 |
|
|
|
т |
p |
О т в е т : /, |
р |
3 / ' \ т { { |
я |
|
|
=./— ii+— i; v, = |
|||
1 |
2 V 2 V a l |
2) |
' |
|
L | = fc
pJ
2 a
. — imp
П р и м е ч а н и е . Интеграл Jvp-* dx можно свести, к двум табличным, если
освободиться от радикала, обозначив ——=z2 |
, откуда х= |
— ,, |
dx= |
(1+ z) |
3-х |
|
1+ z2 |
|
Задача 27.37
Точка массы т начинает двигаться из состояния покоя из положения XQ = а прямолинейно под действием силы притяжения, пропорциональной расстоянию от начала координат: Fx =-c,mx и силы отталкивания, пропорциональной кубу расстояния: Qx = сумх3. При каком соотношении с,, с2, а точка достигает начала координат и остановится?
Р е ш е н и е
При движении на точку М действуют сила притяжения F и сила отталкивания Q. Направим ось х в сторону движения точки (см. рисунок). Запишем дифференциальное уравнение движения точки в проекции на ось х:
mx = Qx + Fx
или с учетом данных задачи
тх = сгтх - (\тх.
Откуда
х = с2х - q x .
.dx
Введем замену: х = х—, тогда dx
у |
|
° |
F м Q |
|
|
|
mg |
(О
27. Дифференциальные уравнения движения |
|
|
|
|
111 |
||||||
Разделим переменные в этом выражении, проинтегрируем и по- |
|||||||||||
лучим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J xdx = J(с2х3 |
+Cf x)dx, |
|
|
||||||
|
|
|
— = с2 |
— |
|
2 |
+ А. |
|
(2) |
||
|
|
|
2 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
Найдем постоянную интегрирования А из начальных условий: |
|||||||||||
t = 0 , x 0 |
= a, х0 =0. Тогда из формулы (2) найдем |
||||||||||
|
|
|
|
Лг_с1а2 |
с2а4 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
4 |
' |
|
|
Подставим значение А в уравнение (2) и получим |
|||||||||||
|
•х2 |
_ с 2 |
х * |
_ |
< \ х 2 |
_ |
с, a 2 |
с 2 |
а 4 |
. |
|
|
_ |
|
|
|
_ |
|
— |
||||
При t = /, х, =0, X) |
= 0, тогда уравнение (3) примет вид |
||||||||||
|
|
|
|
да2 |
c2fl4 |
|
|
|
|
||
Откуда |
|
|
|
|
2 |
4 |
|
|
|
|
|
с. |
|
с2 |
|
|
|
с2а2 |
|
|
|||
|
= |
|
|
|
' |
|
|||||
|
- |
|
2 |
|
И Л И |
|
|
о |
|
||
|
с, |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||
„ |
с2д2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О т в е т: с, = ——. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 27.38
При движении тела в неоднородной среде сила сопротивления
изменяется по закону F = |
2v2 |
|
|
Н, где v — скорость тела в м/с, a s — |
|
|
3 + |
5 |
пройденный путь в метрах. Определить пройденный путь как функцию времени, если начальная скорость v0 =5 м/с.
Р е ш е н и е
Рассмотрим движение тела под действием силы сопротивления F среды и силы тяжести mg. Ось Os направим в сторону движения тела
112 IX. Динамика материальной точки
(см. рисунок). Запишем дифференциальное |
0 |
р |
|||
уравнение движения тела в проекции на ось 5: |
|
|
|||
ms = - F = - — . |
|
|
(1) |
|
mg |
|
|
|
|
||
3 + S |
|
|
|
|
|
Произведем замену: |
|
|
|
|
|
~ dt ds~ |
dt dS~ dt ~ ~ds' |
|
|
||
Тогда уравнение (1) примет вид |
|
|
|
|
|
mvdv |
|
2v2 |
|
(2) |
|
ds |
|
3+s |
|
||
|
|
|
|||
где m = 1. |
|
|
|
|
|
Разделим переменные, проинтегрируем выражение (2): |
|||||
г dv _ |
г |
ds |
|
|
|
|
|
|
3+s |
|
|
и получим |
|
|
|
|
|
- In v = - ln(3+s) + InC,. |
|
|
|||
Откуда |
|
|
|
|
|
- |
i f |
- |
|
|
(3) |
|
3 + 5 |
|
|
||
Подставим начальные условия: при / = 0 s0 =0, sQ = v0, в формулу |
|||||
С2 |
|
|
=9v0 =45. Тогда выражение (3) |
||
(3) и найдем С,: v0 =-J-, отсюда С2 |
|||||
примет вид |
|
|
|
|
|
v = • |
45 |
|
|
|
|
|
(3+s)2' |
|
|
||
ds |
|
|
|
|
|
но так как v = —, то |
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
ds _ |
45 |
|
(4) |
||
dt |
(3+s)2 |
|
|||
|
|
||||
27. Дифференциальные уравнения движения |
113 |
Разделим переменные в выражении (4), проинтегрируем:
|(3+5)2 & = | 4 5 Л
и получим
3 = |
2 |
(5) |
Подставим начальные условия в формулу (5) и найдем С2: З2 = 9 = С2.
Тогда выражение (5) примет вид
2 ±3£ = 4 5 / + 9 .
Откуда найдем
5= V27-5f+27-3 = 3(^57+1-1).
От в е т : 5 = 3[^/5/ + L-L] М.
Криволинейное движение Задачи и решения
Задача 27.39 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Морское орудие выбрасывает снаряд мас- |
км |
|
|
|
|
|
|
|
|
сы 18 кг со скоростью v0 = 700 м/с, действи- |
1112 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
тельная траектория снаряда в воздухе изо- |
10 |
|
\ |
|
|
|
|||
9 |
|
У!>° |
|
|
|
||||
бражена на рисунке в двух случаях: 1) когда |
8 |
|
|
/ |
|
|
|
|
|
7 |
|
// |
t |
|
|
\ |
|
|
|
угол, составляемый осью орудия с горизон- |
5в |
|
|
|
|
|
|
||
том, равен 45° и 2) когда этот угол равен 75°. |
4 |
|
1 4ft |
|
|
S |
|
||
23 |
// / |
• |
f |
|
\ |
SV |
|||
Для каждого из указанных двух случаев оп- |
|
|
|
||||||
ределить, на сколько километров увеличи- |
1 |
/ |
|
|
|
|
\ |
|
\ |
О |
1 2 |
|
3 4 |
5 6 7 |
|
|
км |
||
|
|
8 91011121314 |
|||||||
лась бы высота и дальность полета, если бы снаряд не испытывал сопротивления воздуха.
114 |
IX. Динамика материальной точки |
|||
|
Р е ш е н и е |
|
|
|
|
Рассмотрим движение снаряда под дей- |
|
|
|
ствием силы тяжести mg без учета сил со- |
у |
|
|
|
противления. Покажем его в произвольном |
|
|
|
|
положении в системе координат Оху (см. ри- |
|
|
X |
|
сунок). Запишем основное уравнение дви- |
О |
|
||
|
|
|||
жения в проекции на выбранные оси: |
< |
L |
» |
|
|
тЗс = О, |
|
|
(1) |
|
ту = -mg. |
|
|
(2) |
Решим дифференциальное уравнение (1):
|
х = С,. |
т» |
dx |
Введем замену: х = —, разделим переменные, dt
\dx = \C,dt
(3)
проинтегрируем:
и получим
х = С,/+С2. |
(4) |
Подставим начальные условия:/=0, х0 = 0, Хо = v„ cosа„, в уравнения (3) и (4) и найдем С, и С2: х„ =С, = v„ cosa0; х0 =0 = С2.
Тогда
x = v0/cosa0, |
(5) |
x = v0cosa0. |
(6) |
Решим дифференциальное уравнение (2). Запишем его в виде
- dj>
v = — = -8е- dt
Разделим переменные, проинтегрируем:
\dy = \-gdt
и получим
y = -gt+C3. |
( J ) |
27. Дифференциальные уравнения движения |
115 |
dy
Введем замену: у = —, разделим переменные и проинтегрируем dt
выражение (7):
jdy = j(-gt+C2)dt.
Получим
y = -$!l+C,t+C4. |
(8) |
Подставим начальные условия: / = 0, j>0 = 0, у0 = v0 sin а 0 , в уравнения (7) и (8), найдем С3 и С4: j>0 = С3 = v0 sina0 ; у0 =0 = С4.
Тогда
Rt2 |
(9) |
y = - ^ - + v0t sina0 , |
|
y = - g / + v0sina0. |
(10) |
Из уравнения (9) найдем время, когда снаряд упадет на землю, т.е. у = 0:
^ 2 v 0 s ign « 0
Подставим выражение (11) в формулу (5) и определим дальность полета снаряда:
х _ 2v02 sinag0 cosa0 _ v02 sin2ag 0
Найдем максимальную высоту подъема снаряда. В этом случае согласно формуле (10)
> = 0 = -gtx +v0 sina0 ,
отсюда
/ - v o sgi n a o
Подставим значение /, в формулу (9) и получим
v |
= v ° s i n a ° |
(13) |
smax |
2g |
4 ' |
|
116 IX. Динамика материальной точки
Из формул (12) и (13) определим £ и Я |
при а, =45° и а2 = 75°: |
||||||
I |
tti |
= |
700/ w 2 • sin1 : , |
90° |
|
|
|
|
; 7 |
" - = 50000 (м), |
|||||
|
|
|
9,8 |
|
|
|
|
r . |
|
2 |
|
|
1ГЛПЛ / 4 |
||
= |
700/К1У1sin-SJUIJU150° |
||||||
Lai |
— |
= 25 000 (M), |
|||||
|
|
|
9,8 |
|
|
|
|
„ |
|
= |
7002 -sin245° |
|
|
. |
|
ff |
|
2-9,8 |
|
= 12 500 (m), |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
„ |
|
|
7002 - sin2 75° |
0 |
, a n n / |
, |
|
Я„, = |
2-9,8 |
|
= 23 300 (м). |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдем увеличение высоты, если Н * = 5000 м, Я ^ = 11300 м (взяты из графиков в условии задачи):
Д#П | = H a i - H * =12 500-5000 = 7500 (м), Д//„2 = На7 - Я * = 23 300 -11300 = 12 000 (м).
Найдем увеличение дальности полета, если П^ =13 500 м, ££ = 8300 м (взяты из графиков в условии задачи):
Д4, |
=50000-13500 = 36500 (м), |
|
=25000-8300 = 16 700 (м). |
О т в е т : увеличение высоты: 1) 7,5 км; 2) 12 км. Увеличение дальности: 1) 36,5 км; 2) 16,7 км.
Задача 27.40
Самолет А летит на высоте 4000 м над землей с горизонтальной скоростью 140 м/с. На каком расстоянии х, измеряемом по горизонтальной прямой отданной точки В, должен быть сброшен с самолета без начальной относительной скорости какойлибо груз для того, чтобы он упал в эту точку? Сопротивлением воздуха пренебречь.
Р е ш е н и е
Рассмотрим движение груза под действием силы тяжести mg. Выберем систему координат Оху. Ось у проходит через точку А, в кото-
27. Дифференциальные уравнения движения |
|
117 |
рой груз покинул самолет на высоте Я. На |
у |
|
рисунке покажем груз в произвольном по- |
|
|
ложении. Запишем уравнение движения |
|
|
точки в проекции на оси х и у: |
|
|
тХ = 0, |
|
|
ту - -mg. |
|
|
Решив уравнение (1), найдем |
|
|
х = Сг |
(3) |
|
dx
Введем замену: х = —, разделим переменные в уравнении (3) и про- dt
интегрируем:
получим |
|
|
x = |
Ct+C7. |
(4) |
Из формул (3) и (4) найдем С, и С2, используя начальные условия: |
||
/ = 0, х0 =0, Xq =140 м/с; х0 =С, =140, х0 |
=0 = С2. |
|
Тогда выражения (3) и (4) примут вид |
||
х = 140, |
(5) |
|
х = |
140/. |
(6) |
|
|
dy |
Теперь решим уравнение (2). Для этого сделаем замену: у - — , |
||
|
|
dt |
разделим переменные и проинтегрируем: |
||
jdy = |
j-gdt. |
|
Получим |
|
|
y = -gt+C,. |
(7) |
|
dy
Снова сделаем замену: у = —, разделим переменные и проинтегри- dt
руем полученное выражение:
J dy = J(~gt+C3)dt.
119
IX. Динамика материальной точки
Откуда
(В)
Подставим в выражения (7) и (8) начальные условия: / = 0, у„ = 0, j/0 = Я =4000 м, и найдем постоянные интегрирования: у0 = 0 = С3, Л = Я = С 4 .
Тогда выражения (7) и (8) примут вид |
|
|
y = |
-gt, |
(9) |
y = -i!L |
+ ff. |
(10) |
По формуле (10) определим время /,, через которое груз упал на землю, т.е. когда у = 0:
0 = |
2 + |
Подставим значение/, в формулу (6) и найдем расстояние, на котором должен быть сброшен груз:
х = 140 |
12Я |
. . „ 2 - 4 0 0 0 |
. |
|
I |
=140 I |
9,8 |
=4000 (м). |
|
i |
g |
V |
|
|
О т в е т: х = 4000 м.
Задача 27.41
Самолет Л летит над землей на высоте h с горизонтальной скоростью v,. Из орудия В произведен выстрел по самолету в тот момент, когда самолет находится на одной вертикали с орудием. Найти: I) какому условию должна удовлетворять начальная скорость vQ снаряда для того, чтобы он мог попасть в самолет, и 2) под каким углом а к горизонту должен быть сделан выстрел. Сопротивлением воздуха пренебречь.
27. Дифференциальные уравнения движения |
119 |
Р е ш е н и е
Выберем систему координат Оху. Покажем на рисунке снаряд в произвольном положении на плоскости и силу тяжести mg, действующую на него. Запишем уравнения движения в проекции на выбранные оси:
тх = 0, |
(1) |
|
ту = - mg. |
(2) |
|
Решим дифференциальное уравнение (1): |
|
|
dx |
„ |
(3) |
* = — = С.. |
||
dt |
1 |
|
Разделим переменные, проинтегрируем: |
|
|
jdx = |
jqdt |
|
и получим |
|
|
х = С/+С2 . |
(4) |
|
|
Подставим в выражения (3) и (4) начальные условия: / = 0, *о =0, |
|
х0 |
= v0 cosa0, и найдем постоянные интегрирования: хь = С, = v„ cosa0, |
|
х0 |
= 0 = С2. |
|
|
Тогда уравнения (3) и (4) примут вид |
|
|
•* = v0cos<x0, |
(5) |
|
x = v0/cosa0. |
(6) |
Решим дифференциальное уравнение (2), записав его в виде
dt |
-8- |
|
|
|
|
Разделим переменные, проинтегрируем: |
|
|
jdy = j-gdt |
|
|
dy |
|
|
и с учетом замены: у = —, получим |
|
|
dt |
|
|
dt • -gt +С3. |
(7) |
|