doc1
.pdf70 |
IX. Динамика материальной точки |
Р е ш е н и е
Приняв тело за материальную точку, рассмотрим его движение под действием силы тяжести mg и силы сопротивления R воздуха. Направим ось х в сторону движения тела, т.е. вертикально вверх (см. рисунок). Запишем дифференциальное уравнение движения в проекции на осьх:
тх |
|
mg |
|
dv |
|
R |
|
m^j- = -mg-k2mgv2, |
(1) |
О |
|
dt |
|||
|
|
где — = -g(l + fcV). dt
Разделим переменные в уравнении (1):
dv |
- -gdt, |
1 + k2v2 |
проинтегрируем и получим
1
— arctgfcv--gt +C,. (2) fc
Постоянную интегрирования С, определим из начальных условий:
при/=0 v = v0. Тогда из формулы (2) получим, что С, =— arctg£v„.
к
При v = 0 точка находится в наивысшем положении и время подъема
f _ |
g |
_ a r c t g fy |
|
kg |
Подставим значение С, в уравнение (2):
—arctg kv = -gt +—arctg kva. |
|
к |
к |
Откуда
arctg kv = -kgt + arctg kv0, tg(arctg kv) = tg(-kgt + arctg £v0).
27. Дифференциальные уравнения движения |
|
71 |
|
Тогда |
|
|
|
/су = к d s |
- |
+ a r c t g *"<»> |
|
dt |
cos(-kgt + arctg Av0) |
|
|
Разделим переменные, проинтегрируем и найдем |
|
||
ks = — In cos(-kgt |
+ arctg kv0)+C2. |
(3) |
|
kg |
|
|
|
Постоянную интегрирования С, найдем из формулы (3), подста-
вив начальные условия: при t = 0s = 0;C2 = —— In cos(arctg kv0). kg
Подставим значение C2 в выражение (3), откуда получим
_ 1 |
l n cos(-kgt + arctg kv0) |
|||
k2g |
|
cos(arctg kv0) |
||
где cos(arctg kv0) = |
1 |
= |
, 1 |
. |
-y/l + tg |
(arctg |
fcv0) |
Vl + |
^ 4 |
При t = Г |
|
|
|
|
kg |
|
|
2 k2g |
|
З а м е ч а н и е . Для определения высоты подъема можно было сделать под-
становку, как в задаче 27.15: |
|
|
dv dx |
vdv |
, 2 |
dt dx |
= dx |
=-e(l-A:V). |
О T D e T. H _ InQ •+ ^2VQ). г ^ |
aretg fcv0 |
|
2gA:2 ' |
Ag |
|
Задача 27.17
Тело массы 2 кг, брошенное вертикально вверх со скоростью 20 м/с, испытывает сопротивление воздуха, которое при скорости 1, v м/с равно 0,4v Н. Найти, через сколько секунд тело достигнет наивысшего положения.
72 |
IX. Динамика материальной точки |
Р е ш е н и е
Приняв тело за материальную точку, рассмотрим его движение под действием силы тяжести mg и силы сопротивления Ж воздуха. Направим ось х в сторону движения тела, т.е. вертикально вверх (см. рисунок). Составим дифференциальное уравнение движения тела в проекции на ось х:
или
mx--mg- R,
тх = -ОдГ— + 10,4 /
т 4.0,4 |
) |
Сделаем замену: х = —, разделим переменные и получим dt
0,4
R mg
О
Проинтегрируем это уравнение, учитывая, что в наивысшем положении скорость тела равна нулю:
ing |
• |
т J |
|
I — + X |
о |
|
|
0,4 |
|
|
|
откуда |
|
|
|
0,4 |
\Д4 |
) |
т |
mg |
|
|
|
mg |
\ |
mg ) |
m |
0,4
27. Дифференциальные уравнения движения |
|
|
73 |
|||
Откуда найдем |
|
|
|
|
|
|
Г |
т |
|
2 , |
(. 0,4-20', |
. . . . , |
|
+ mg |
:—In |
1 + - |
|
=1,71 (с). |
||
|
0,4 |
0,4 |
2-9,8 |
1 |
|
|
О т в е т : 1,71 |
с. |
|
|
|
|
|
Задача 27.18
Подводная лодка, не имевшая хода, получив небольшую отрицательную плавучесть р, погружается на глубину, двигаясь поступа- тельно. Сопротивление воды при небольшой отрицательной плавучести можно принять пропорциональным первой степени скорости погружения и равным kSv, где к — коэффициент пропорциональности; S — площадь горизонтальной проекции лодки; v — величина скорости погружения. Масса лодки равна М. Определить скорость погружения v, если при t = 0 скорость v0 =0.
Р е ш е н и е
Рассмотрим движение подводной лодки. При погружении на нее действуют силы: сила тяжести mg, сила сопротивления воды Fc, архимедова сила Fa. Направим ось z в сторону движения подлодки (см. рисунок). Составим дифференциальное уравнение поступательного движения лодки в проекции на ось z
Fa
К
1 1
О
I-v-I" mg -_-
г
mz = |
mg-FA-Fe, |
где mg - Fa = p — отрицательная плавучесть лодки.
Тогда
mz = р- Fz = р- kSv = р - kSz.
После преобразования
kSi
Z = —т kS+t
74 |
|
IX. Динамика материальной точки |
|
Сделаем замену: Z = —, и разделим |
переменные: |
|
|
dt |
|
|
|
dt |
kS |
dt. |
|
t - kS |
m |
|
|
|
|
|
|
Проинтегрируем это выражение и получим |
|
||
Ш - |
kS t+Cv |
(1) |
|
kS |
m |
|
|
Найдем постоянную интегрирования С,, учитывая начальные условия: при t = 0 v0 = to =0, согласно формуле (1)
Подставим значение С, в формулу (1):
Р ) |
kS, |
t + |
, ( р |
In г - г I |
т |
Щ-— |
|
kS |
|
kS |
или
_Р_ |
\ р ) т |
kS |
|
Потенцируем это выражение:
kS
l - i — = е
Р
откуда
( НЛ= V,
где т ~ М.
kSf\
О т в е т : v = -kS \ - е м
27. Дифференциальные уравнения движения |
75 |
Задача 27.19
При условиях предыдущей задачи определить путь z, ный погружающейся лодкой за время Т.
Р е ш е н и е При решении задачи 27.18 получили
. м л
Z = кS 1 - е
. dz
Сделаем замену z - — и разделим переменные, тогда dt
Проинтегрировав это выражение, найдем
|
/ |
т |
И Л |
|
|
|
— I |
+С. |
|
kS |
|
t+—е |
т |
|
|
kS |
|
|
пройден-
(1)
Определим постоянную С из начальных условий: при / = 0 Za = 0. Тогда согласно формуле (1):
|
|
|
|
O = JL(O+J!LVC, |
|
|
|
|
|
|
|
kS\ |
kS) |
|
|
откуда |
|
|
|
|
рт |
|
|
|
|
|
|
С = |
|
|
|
|
|
|
|
" Р 5 1 |
|
|
|
После подстановки значения С при t = Г получим |
|||||||
г = |
|
АьУ |
|
J £2S2 JbS Г - |
/я |
1-е |
|
|
|
kS |
|||||
где т = Л/. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м_ |
/ |
Ю , . Y] |
|
|
|
О т в е т: z - • |
Т- |
|
1-е м |
|
|
|
|
kS. |
|
kS |
|
|
|
|
|
76 |
IX. Динамика материальной точки |
Задача 27.20
Какова должна быть постоянная тяга винта Т при горизонтальном полете самолета, чтобы, пролетев s метров, самолет увеличил свою скорость с v0 м/с до v, м/с. Тяга винта направлена по скорости полета. Сила лобового сопротивления, направленная в сторону, противоположную скорости, пропорциональна квадрату скорости и равна а Н при скорости в 1 м/с. Масса самолета М кг.
Р е ш е н и е |
|
|
|
Рассмотрим движение самолета при |
|
К |
|
горизонтальном полете под действием |
|
|
|
V r V - O : |
|
||
силы тяги Т винта, силы лобового сопро- |
|
||
тивления Fc, СИЛЫ тяжести mg и подъем- |
^ |
LJ f s i |
f |
ной F„ силы. Направим ось л в сторону движения. Начало координат совместим
с начальным положением самолета (см. рисунок). Запишем дифференциальное уравнение движения самолета в проекции на ось х:
mx=T-Fc
или
mx = T-av2 = Т -ах2.
Откуда
т\ а)
Сделаем замену:
„_dxds_^dx |
|
dt ds |
ds' |
разделим переменные и получим
xdx _ а
X 2 - L ~ |
Т |
а
Проинтегрируем это выражение:
и получим
Л |
а |
|
|
|
2 |
т |
|
1 |
V| ~ п |
а |
|
2 |
г |
' |
m |
L |
Vo |
а |
|
или |
|
|
|
1 |
2 |
Т |
а |
v» |
~Z |
||
—In- |
& = |
|
|
2 |
г |
1 |
m |
i |
vr |
— |
|
|
|
а |
|
Потенцируем полученное выражение:
Vo2 -- |
2<» |
|
° |
ОС = g m |
|
- |
— , Vo |
|
|
T " |
|
vi |
— |
|
|
a |
|
Откуда найдем
где m = M .
/
Т |
= v \ e m |
г 2 ^ |
a. |
• |
« |
|
/ |
2ai |
|
a |
v02-v2e m |
|
Г = • |
2aT |
|
2ш |
|
a |
VQ - v2e M |
|
О т в е т : Г |
яз |
H ' |
|
1 - е л/ |
|
78 |
IX. Динамика материальной точки |
Задача 27.21
Корабль массы 107 кг движется со скоростью 16 м/с. Сопротивление воды пропорционально квадрату скорости корабля и равно 3-10s Н при скорости 1 м/с. Какое расстояние пройдет корабль, прежде чем скорость его станет равной 4 м/с? За какое время корабль пройдет это расстояние?
Р е ш е н и е |
|
|
|
|
|
Рассмотрим движение корабля под дей- |
|
||||
ствием силы сопротивления FQ, силы тяже- |
|
||||
сти mg, выталкивающей силы FA. Направим |
j |
||||
ось х в сторону движения коробля (см. ри- |
|
||||
сунок). |
|
|
|
|
|
Запишем дифференциальное уравнение |
|
||||
движения корабля в проекции на ось х: |
|
||||
|
|
|
|
|
(1) |
m5t = -Fe=- 3-10V |
|
|
^З-IO5*2. |
||
Сделаем замену: jE = —, тогда уравнение (1) примет вид |
|||||
dt |
|
|
|
|
|
! |
dx |
5 |
jc |
2 |
|
w — = -3-10 |
|
|
|
||
|
dt |
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
JT |
MO7 |
|
|
|
|
Проинтегрируем это выражение и получим |
|
||||
- i |
= - 3 10-2/+C,. |
(2) |
|||
Постоянную интегрирования С, найдем из формулы (2) по на-
чальным условиям: при t = 0 я,, = v0 = 16, тогда |
= О+С,, С, = |
Подставим значение С, в уравнение (2): |
|
J_ |
|
16
27. Дифференциальные уравнения движения |
|
|
|
|
|
79 |
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
X |
16 |
|
16 |
|
|
|
|
Преобразуем это выражение и найдем |
|
|
|
|
|||
Ц |
. |
|
1 |
. |
|
|
(3) |
48-10-2/+1 |
3-10_2(/+2,08) |
|
|
|
|||
. dx |
|
|
|
|
|
|
|
Сделаем замену: х = —, разделим переменные и получим |
|
||||||
dt |
|
|
|
|
|
|
|
я |
|
d t |
|
|
|
|
|
dx —3• 10~2(/+2,08) |
|
|
|
|
|||
Проинтегрируем это выражение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
1п(/+2,08) |
|
|
|
|
|
|
x |
— |
J |
T |
o |
( |
4 |
) |
Определим постоянную интегрирования С2: при 1 =0 х0 =0 (так как начало оси х совместили с начальным положением корабля), тогда из формулы (4) получим
о=ьЩ+с2, |
с2=-1Щ. |
3-Ю"2 . |
3-Ю-2 |
Подставим значение С2 в формулу (4) и найдем
|
|
|
|
m f - U i l |
_ ln(f+2,08) |
1п2,08 _ |
1 |
)n?+2,Q8 _ |
U,08 J, |
X ~ 3-10"2 |
3 10-2 ~ 3 |
10-2 |
" 2,08 " |
3-10-2 |
Определим время движения корабля до достижения vK = 4 м/с. При f = Г * = vK, тогда согласно формуле (3)
4 = 3 10~2(Г+2,08)! .
Откуда
Г = 4 1 ^ " 2 ' 0 8 = 6 , 2 5 (С)-