doc1
.pdf60 |
IX. Динамика материальной точки |
|
или |
|
|
|
mg sin а - fmg cosа = О, |
(1) |
так как по условию задачи х, = 0. Из уравнения (1) найдем
, sina , cosa
Далее составим дифференциальное уравнение движения материальной точки под действием силы тяжести mg, силы трения Ртр и нормальной реакции N опоры на участке ВС в проекции на ось х:
тх = 1 ^
или
х = g(sinp - / c o s Р),
dv |
|
|
— = g(sinP-/cos3). |
(2) |
|
dt |
|
|
Согласно формуле (2) |
|
|
a = ^(sinp - tgacos P) = ^sinpcosa-sinacosp = |
g sin(P - a) |
|
|
cosa |
cosa |
= 9 , 8 ^ |
= 9 , 8 - ^ = 0,867 (м/с2). |
|
cos 10° |
0£848 |
|
Разделим переменные в уравнении (2), проинтегрируем в соответствующих пределах: v0 = 0, t = 20 с,
v |
t |
jdv = £(sinp - / cosp)J dt,
27. Дифференциальные уравнения движения |
61 |
и получим
v = g(sin|3 - tg ex cos P)/ = g S i n ( P ~ a ) / = 0,867-20 = 17,35 (м/с). c o s a
n
Для определения пройденного пути введем замену v = —, тогда dt
dx
— = g(sin р - tg a cos P)t. dt
Разделим переменные и проинтегрируем:
s |
I |
jdx = g(sinP - tga cos p )jtdt.
о |
о |
Откуда найдем
5 = g(sinp - tga cos P ) - = g S m ( P ~ a ) - |
= 0,867-— = 1733 (м). |
|
2 |
cosa 2 |
2 |
О т в e т: a = g S i n ( P " a ) = 0,867 м/с2; v =ь 17,35 м/с; s = 173,5 м. cosa
Задача 27.9
Найти наибольшую скорость падения шара массы 10 кг и радиуса г = 8 см, принимая, что сопротивление воздуха равно R = kav2, где v — скорость движения, а — площадь проекции тела на плоскость, перпендикулярную направлению его движения, и к — численный коэффициент, зависящий от формы тела и имеющий для шара значение 0,24 Н - с2/м4.
Р е ш е н и е |
|
Приняв шар за материальную точку, рассмотрим его |
|
движение под действием силы тяжести mg и силы сопро- |
|
тивления R (см. рисунок). Направив ось х в сторону дви- |
|
жения точки, т.е. вертикально вниз, составим дифферен- |
|
циальное уравнение ее движения в проекции на ось х: |
mg |
mx-mg- R = mgkav2
6?
IX. Динамика материальной точки
или с учетом замены х = — dt
d v |
, 2 |
dt |
|
При — = 0 (условие экстремума для скорости) получим
itng |
1 10 • 9 8 |
VmaX = fc |
= У0Д4-3,14-0,082 = 1 4 2 , 5 ( М / С ) - |
О т в е т : vmax = 142,5 м/с.
Задача 27.10
Два геометрически равных и однородных шара сделаны из различных материалов. Плотности материала шаров соответственно равны у, и у2. Оба шара надают в воздухе. Считая сопротивление среды пропорциональным квадрату скорости, определить отношение максимальных скоростей шаров.
Р е ш е н и е
Приняв шары за материальные точки, рассмотрим движение каждого под действием сил тяжести щ g и m2g, сил со-
противления Л, = av,2 и R2 = осv| (см. ри- RK сунок). Направим ось х вертикально вниз. OTi*-Ф Запишем дифференциальные уравнения движения шаров в проекции на ось х:
для первого шара
dv, dt
4ft |
Rl = «V,2; |
где/я^ = ylg—r\ |
для второго шара
dv-, ™i~=m2g~R2,
я,о m2g
( 2 )
2 |
2 |
4л3 |
, |
R |
2 |
= avf. |
где m |
g = у g—r |
|
||||
27. Дифференциальные уравнения движения |
63 |
|||
При dv, |
= 0 и |
= О (условие экстремума для скорости) уравне- |
||
dt |
|
dt |
|
|
ния (1) и (2) принимают вид |
|
|||
|
|
п |
47С з |
, |
|
|
0 = Yl£ — r |
-0tVlmax> |
|
|
|
0 = У2Я-Т-/',-ОУ2пшх- |
||
Откуда |
|
|
|
|
|
|
|
шах _ |
|Yl_ |
|
|
|
^2 max |
VY2 |
О т в е т : V| |
= Ш-, |
|
|
|
Ъпвк |
V Yz |
|
|
|
Задача 27.11
При скоростном спуске лыжник массы 90 кг скользил по склону в 45°, не отталкиваясь палками. Коэффициент трения лыж о снег/= = 0,1- Сопротивление воздуха движению лыжника пропорционально квадрату скорости лыжника и при скорости в 1 м/с равно 0,635 Н. Какую наибольшую скорость мог развить лыжник? Насколько увеличится максимальная скорость, если, подобрав лучшую мазь, лыжник уменьшит коэффициент трения до 0,05?
Р е ш е н и е
Приняв лыжника за материальную точку, рассмотрим его движениепод действием силы тяжести mg, силы трения FTp, силы сопротивления R воздуха и нормальной реакции N. Направим ось* в сторону движения лыжника, т.е. по склону вниз (см. рисунок). Дифференциальное уравнение движения лыжника в проекции на ось*:
dv |
(1) |
т— = wgsin 45°-R- F^, |
|
где J? = 0,635v2; |
|
FTP=/W. |
(2) |
64 |
IX. Динамика материальной точки |
Запишем дифференциальное уравнение движения лыжника в проекции на ось j:
ту - N-mgcosa.
Так как у = 0, то получим
0 = N -mgcosa, N = mgcosa,
тогда согласно формуле (2)
= fmg cosa. |
(3) |
Сучетом выражения (3) уравнение (1) примет вид
т^ - = mgsin45°-0,635v2 - /mgcos45°.
dv
Откуда при — = 0 (условие экстремума для скорости) dt
= |
Щl-/)cos45° |
= |
|
190 9,8(1 -0J) 0/7071 = ^ |
= |
|
1тах |
У |
0,635 |
|
\ |
0,635 |
|
v т = |
jmg(]-f2) cos 45° = |
J90-9,8(1-0,05)-0,7071 = ^ |
= |
|||
|
i |
0,635 |
|
i |
0,635 |
|
О т в е т: v, ^ = 29,73 м/с; скорость увеличится до v2max = 30,55 м/с.
Задача 27.12
Корабль движется, преодолевая сопротивление воды, пропорциональное квадрату скорости и равное 1200 Н при скорости в 1 м/с. Сила упора винтов направлена по скорости движения и изменяется по закону Т = 12 lO^l - v / 33) Н, где v — скорость корабля, выраженная в м/с. Определить наибольшую скорость, которую может развить корабль.
Р е ш е н и е
Приняв корабль за материальную точку, рассмотрим его движение под действием силы тяжести mg, силы сопротивления R воды, силы упора Т винтов и выталкивающей силы F (см. рисунок).
27. Дифференциальные уравнения движения |
65 |
||
Направим ось х в сторону движения ко- |
у |
||
рабля и запишем дифференциальное урав- |
|
||
нение его движения в проекции на эту ось: |
R |
||
тх |
|
кх |
|
|
|
||
или |
|
|
mg |
d v |
-г |
D |
|
m— = Т |
-R, |
|
|
dt |
|
|
|
где R = \iv2, ц = 1200 Н • с2/м2. |
|
||
Тогда |
|
|
|
|
#я—= 12ltffl -— | - 1200v 2 . |
||
|
dt |
33 |
|
dv
Откуда при — = 0 (условие экстремума для скорости) получим dt
vLx + 303Vmax -1000 = 0,
:-154 5 + V229,57+1000 = 20 (м/с).
От в е т : vmax = 20 м/с.
Задача 27.13
Самолет летит горизонтально. Сопротивление воздуха пропорционально квадрату скорости и равно 0,5 Н при скорости в 1 м/с. Сила тяги постоянна, равна 30 760 Н и составляет угол в 10° с направлением полета. Определить наибольшую скорость самолета.
Р е ш е н и е |
|
|
|
Приняв самолет за материальную |
|
|
|
точку, рассмотрим его движение под |
я |
А |
|
действием силы тяжести mg, силы со- |
X |
||
противления R воздуха и силы тяги Т |
|
' |
|
|
mg |
|
|
(см. рисунок). |
|
|
|
|
|
|
Направим ось* в сторону движения самолета. Запишем дифференциальное уравнение движения в проекции на ось х:
mx = Y,Fkx
66 |
IX. Динамика материальной точки |
или
m— = Tcos]0°-R, dt
где Л = цу\ |i = 0,5 Н- с2 /м2 . |
|
Тогда |
|
dv |
2 . |
/я— = 30 760 cos 10° - 0> |
|
dt |
|
dv |
|
Откуда при — = 0 (условие экстремума для скорости) получим |
|
dt |
|
0 = 30 760cosl0°-0Xax, |
|
30 760-0,9848 = 246 (м/с). |
|
V |
0,5 |
О т в е т : vma„ = 246 м/с.
Задача 27.14
Самолет массы 10" кг приземляется на горизонтальное поле на лыжах. Летчик подводит самолет к поверхности без вертикальной скорости и вертикального ускорения в момент приземления. Сила лобового сопротивления пропорциональна квадрату скорости и равна 10 Н при скорости в 1 м/с. Подъемная сила пропорциональна квадрату скорости и равна 30 Н при скорости в 1 м/с. Определить длину и время пробега самолета до остановки, приняв коэффициент трения / = 0 , 1 .
Р е ш е н и е
Приняв самолет за материальную точку, рассмотрим его движение под действием силы тяжести mg, силы сопротивления R, силы трения FTр, подъемной силы Q и нормальной реакции N (см. рисунок). В этом случае
FnR,
mg
где ц = 10 Н • с2/м2 |
••/N; Q = 8v2, где 8 = 30 Н - с2/м2 |
27. Дифференциальные уравнения движения |
67 |
|
Запишем дифференциальные уравнения движения самолета в про- |
||
екциях на ось х н у : |
|
|
mX = -R-Ftp, |
(I) |
|
my=N |
+ Q~mg. |
(2) |
Из уравнения (2) получим |
|
|
0 = N+Q-mg, |
|
|
N =mg-Q |
-mg-30vJ. |
|
Тогда |
|
|
Frp = fN = |
f(mg-30v2) |
|
и уравнение (1) примет вид |
|
|
от— = -10v2 |
- f(mg - 30v2). |
(3) |
dt |
|
|
Скорость приземления найдем из условия N = О, тогда mg = 30vq ,
Для нахождения длины пробега самолета до остановки выполним замену в левой части уравнения (3):
dv dx |
vdv |
,n |
J, |
|
2ч |
m dt dx |
= m dx |
= -I0v |
|
- |
f(mg-30v ), |
проинтегрируем полученное выражение в соответствующих пределах:
°r vdv
J 7у2
HI т +0,lg
и получим
5 = L l L i n ^ l + | 1 = 860 (м).
Время пробега самолета определим, проинтегрировав уравнение (3):
°r dv = -)dt, v0 —m + 0 4 g
68 |
|
IX. Динамика материальной точки |
|
откуда |
|
|
|
Т = . m |
arctg Vq I——— = ' I ^ l a r c t g V- = 37,8 (c). |
||
mg |
6 |
10,1 mg 7-Л400 |
\ 3 |
О т в е т : J = 860 м; Г = 37,8 с.
Задача 27.15
Самолет начинает пикировать без начальной вертикальной скорости. Сила сопротивления воздуха пропорциональна квадрату скорости. Найти зависимость между вертикальной скоростью в данный момент, пройденным путем и максимальной скоростью пикирования.
Р е ш е н и е |
|
|
|
|
|
|
|
Приняв самолет за материальную точку, рассмотрим |
о |
||||||
его движение под действием силы тяжести mg и силы со- |
|
||||||
противления R. Направив ось х в сторону пикирования |
|
||||||
(см. рисунок), запишем дифференциальное уравнение |
|
||||||
движения самолета в проекции на эту ось: |
|
|
|||||
|
тх |
|
|
|
|
|
mg |
|
dv |
|
„ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
т—~mg-R, |
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
где R = |
av2. |
|
|
|
|
|
|
|
dv |
|
|
|
|
|
|
При — = 0 (условие экстремума для скорости) |
|
||||||
|
dt |
|
|
|
|
|
|
отсюда |
vKmax |
а > |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г, |
„ dv |
dv dx |
= |
vdx |
и получим |
|
|
Воспользуемся подстановкой — = |
dt dx |
dx |
|
||||
|
dt |
|
|
|
|||
mvdv |
|
j |
dx |
= |
mg-av. |
27. Дифференциальные уравнения движения |
|
69 |
разделим переменные |
|
|
mvdv |
• dx |
|
mg~av2 |
|
|
|
|
|
и проинтегрируем: |
|
|
-— ln(mg - av 2 ) = x+C. |
(1) |
|
2a |
|
|
Постоянную интегрирования С найдем из начальных условий:
при / = 0 JC = 0, v = 0. Тогда С |
т |
Inmg и уравнение (1) примет вид |
|||||
|
|
|
2а |
|
|
|
|
х = |
т . . |
|
зч"1, |
|
т . mg-av' |
, |
|
lnyng - aV)+ — mmg |
In— |
mg |
|||||
|
2a |
|
2a |
|
2a |
|
|
|
In |
mg-av2 __2ax |
__2gx |
|
|
||
|
mg |
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
2 |
2ax |
|
|
|
|
|
|
mg |
= e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При X = 5 из формулы (2) получим av' = wg( ] — e
I |
J£L |
v = v„ *"VI |
> « > |
где vmM = mga
I Г5Г
О т в е т : v = v„ Д 1 - е "4-.
Задача 27.16
На какую высоту Н и за какое время Г поднимется тело веса Р, брошенное вертикально вверх со скоростью v0, если сопротивление воздуха может быть выражено формулой k2Pv2, где v — величина скорости тела?