doc1
.pdf10 |
IX. Динамика материальной точки |
Тогда проекции силы на оси х и п:
v
d v
V 2
Fn=m—. (26.3)
Р
Модуль силы определяется по формуле
F = 4 W + F I - |
(26.4) |
Ускорение точки может быть также определено, если задано время t движения, путь s, пройденный точкой, или конечная скорость при равнопеременном движении.
При прямолинейном движении
ат = а, |
V 2 |
V 2 |
а„= — = — =0, |
||
|
р |
оо |
а так как |
2 |
|
|
|
|
S = |
v0t+—, |
|
v = v0 + at, |
(26.5) |
|
то ускорение при условии, что начальная скорость v0 = 0, можно определить по формулам
а = |
(26.6) |
В большинстве задач движение точки является несвободным, поэтому при их решении необходимо в соответствии с принципом освобождаемое™ от связей отбросить наложенную на точку связь, заменив ее реакцией связи, и рассматривать точку как свободную.
Тогда второй закон динамики примет вид
|
(26.7) |
где |
— сумма активных сил, действующих на точку; N — реак- |
ция связи.
Записав это уравнение в проекциях на оси декартовых координат или на естественные оси, можно найти неизвестную силу N.
26. Определение сил по заданному движению |
11 |
Последовательность решения задач этого параграфа:
1.Определить объект движения, т.е. движение какого тела или точки следует рассматривать.
2.Выбрать систему осей. При этом оси (или ось) направить в сторону движения тела.
3.Показать на рисунке объект движения в промежуточном положении в выбранной системе отсчета и все силы, действующие на него, включая и реакцию связи.
4.Записать второй закон динамики в векторной форме и в проекциях на выбранные оси или одну из осей.
5.Определить ускорение движения тела (точки), если оно не задано, в соответствии с приведенными выше указаниями.
6.Найти искомые величины в общем виде, а затем подставить числовые значения.
Задачи и решения
Задача 26.1
В шахте опускается равноускоренно лифт массы 280 кг. В первые 10 с он проходит 35 м. Найти натяжение каната, на котором висит лифт.
Р е ш е н и е
Так как лифт совершает прямолинейное движение, то направим ось х в сторону движения (начало отсчета точка О). Изобразим лифт в промежуточном положении и покажем на рисунке действующие на него силы: mg — сила тяжести, N — натяжение каната. Запишем уравнение движения в проекции на ось х:
mx-mg-N. (1)
Из формулы (1) определим
о
N
mg
N = m(g-x). |
(2) |
Так как лифт движется прямолинейно и равноускоренно, то можно записать
at2 |
2s |
s = — |
=> а = —, |
где s = х, а = х.
12 |
IX. Динамика материальной точки |
|
Подставим в формулу (2) выражение Jc и найдем натяжение каната
О т в е т : 2548 Н.
Задача 26.2
Горизонтальная платформа, на которой лежит груз массы I 02 кг опускается вертикально вниз с ускорением 4 м/с2. Найти силу давления, производимого грузом на платформу во время Их совместного спуска.
Р е ш е н и е
На рис. 1 показано движение платформы с телом, на рис 2 - движущееся тело и действующие на него силы: mg - сила тяжести ~ Ре ^ЦИя опоры. Причем реакция Я опоры численно равна давлению N груза на платформу, но противоположна по направлению т.е. R — N . Для груза, принимаемого за материальную точку, в про-
екции на ось х можно записать
та = mg~ |
R. |
(1) |
|
|
|
|
о, |
|
|
я |
|
|
mg |
|
|
х |
|
Рис.1 |
Рис.2 |
|
|
|
|
Откуда |
|
|
R = m(g-a) = 1,02(9,80 - |
4,00) = 5,92 (Н). |
|
О т в е т : 5,92 Н.
26. Определение сил по заданному движению |
13 |
Задача 26.3
К телу массы 3 кг, лежащему на столе, привязали нить, другой конец которой прикреплен к точке А. Какое ускорение надо сообщить точке А, поднимая тело вверх по вертикали, чтобы нить оборвалась, если она рвется при натяжении Т = 42 Н?
Р е ш е н и е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Покажем на рисунке действующие на тело силы: mg — |
|
|
|||||||
сила тяжести, N — реакция нити. Запишем уравнение |
|
N |
|||||||
движения тела в проекции на ось х: |
|
|
|
|
|
||||
|
ma = N-mg. |
|
|
|
(1) |
|
mg |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как нить оборвется при N = Т, то из формулы (1) |
|
|
|||||||
найдем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а = |
m |
= |
3,0 |
9,8=4Д |
(м/с2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
О т в е т : 4,2 м/с2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 26.4 |
|
|
|
|
|
||
При подъеме клетки лифта график |
|
|
|
|
|
||||
скоростей имеет вид, изображенный на |
|
|
|
|
|
||||
рисунке. Масса клетки 480 кг. Опреде- |
|
|
|
|
|
||||
лить натяжения Тх, Т2, Тъ каната, к ко- |
|
|
|
|
|
||||
торому привешена клетка, в течение |
|
|
|
|
|
||||
трех промежутков времени: |
1) от / = О |
• О - Л О - Ю — О |
1 |
||||||
до / = 2 с; 2) от / = 2 до / = 8 с и 3) от / = 8 |
2 |
4 |
6 |
8 |
10 |
||||
|
|
|
|
|
|||||
до t = 10 с.
Р е ш е н и е
Покажем на рисунке силы, действующие на клеть лифта: mg — сила тяжести, Т— сила натяжения каната. Запишем уравнение движения клетки лифта в проекции на ось х:
ma = Т-mg =>Т = m(g + а).
14 |
|
|
IX. Динамика материальной точки |
|
По графику скоростей найдем: |
|
|
||
1) 0 |
< / <2 — движение равноускоренное, |
|
||
|
<*, = ^ ^ . 4 = 2 , 5 <м/с2>- |
|
||
|
/, -/„ |
2 |
|
|
Следовательно, |
|
|
|
|
|
Тх = 480(9,8 + 2,5) = 5904 (Н); |
mg |
||
2) 2 |
</ <8 — движение равномерное, |
О |
||
|
Тг =480-93 =4704 (Н); |
|
||
3) 8 |
</ <10 — движение равнозамедленное, |
|
||
|
V,у -v, |
0 - 5 |
|
|
|
_ 3 ~ "2 |
|
= -2,5 (м/с2). |
|
|
t3~t2 |
10-8 |
|
|
|
|
|
||
Тогда
Т3 =480(9,8-2,5) = 3504 (Н). О т в е т: Tt = 5904 Н; Т2 = 4704 Н; Т} = 3504 Н.
Задача 26.5
Камень массы 0,3 кг, привязанный к нити длины 1 м, описывает окружность в вертикальной плоскости. Определить наименьшую угловую скорость to камня, при которой произойдет разрыв нити, если сопротивление ее разрыву равно 9 Н.
Р е ш е н и е
Так как натяжение нити, на которой подвешен камень, будет максимальным в нижнем положении, то покажем на рисунке силы, действующие на камень в этом положении: силу тяжести mg, силу натяжения Т нити. Запишем второй закон динамики в векторной форме:
ma -mg + T
и в проекции на ось и:
V 2
т— = marl - -mg + Т.
" ' Г mgt
26. Определение сил по заданному движению |
15 |
Приняв значение Т, равное заданному допускаемому сопротивлению разрыва нити, найдем минимальную угловую скорость to вращения нити, при которой произойдет ее разрыв:
\T-mg |
19,0-03-9,8 . . . . , |
. . |
О т в е т : comin = 4,494 рад/с.
Задача 26.6
На криволинейных участках железнодорожного пути возвышают наружный рельс над внутренним для того, чтобы сила давления проходящего поезда на рельсы была направлена перпендикулярно полотну дороги. Определить величину А возвышения наружного рельса над внутренним при следующих данных: радиус закругления 400 м, скорость поезда 10 м/с, расстояние между рельсами 1,6 м.
Р е ш е н и е
Будем считать, что радиус закругления относится к осевой линии пути. Выберем естественные оси (и, т, Ь) так, что соприкасающаяся плоскость хп — горизонтальна. Покажем на рисунке силы, действующие на поезд: mg — сила тяжести, N — нормальная реакция полотна дороги, равная по абсолютной величине давлению поезда на полотно
и направленная к нему перпендикулярно. Запишем дифференциальные уравнения движения в проекциях на выбранные оси:
V 2
ma. =m—= N sin а;
R
maт = m-~— = 0 => v = const; dt
mab = 0 = Ncosa-mg => N = |
mg |
|
cosa |
16 |
IX. Динамика материальной точки |
Тогда
v2
т—-mg tga,
R
где R — радиус закрепления; tga = y.
С учетом этого |
|
Л = — = |
=0,041 (м) = 4Д (см). |
Rg |
400-9,8 |
О т в е т: h = 4,1 см. |
|
Задача 26.7
В вагоне поезда, идущего сначала по прямолинейному пути, а затем по закругленному со скоростью 20 м/с, производится взвешивание некоторого груза на пружинных весах; весы в первом случае показывают 50 Н, а на закруглении 51 Н. Определить радиус закругления пути.
Р е ш е н и е
При движении поезда по прямолинейному пути (рис. 1) для взвешиваемого груза запишем
0 = F{ -mg,
откуда
mg = Fr |
(1) |
При движении поезда по закругленному пути выберем естественные оси и спроецируем силы, действующие на груз (рис. 2), на оси п и Ь. В соответствии со вторым законом динамики получим
у2 |
(2) |
т — = issinot, |
|
R |
|
0 = F2cosa-mg. |
(3) |
26. Определение сил по заданному движению |
17 |
Из формул (1) и (3) найдем cosa.: _ т2 _ Ъ
Тогда
F2 sina = ^ V l - c o s 2 a = Ъ ^ - ^ г = J f t ^ W •
Затем из формулы (2) определим радиус R закругления пути:
|
50 |
202 |
|
|
— = 203 (м). |
i |
V512 -502 |
9,8 |
О т в е т : 203 м.
Задача 26.8
Гиря массы 0,2 кг подвешена к концу нити длины 1 м; вследствие толчка гиря получила горизонтальную скорость 5 м/с. Найти натяжение нити непосредственно после толчка.
Р е ш е н и е
На гирю действуют сила тяжести mg и сила натяжения Т нити. Запишем второй закон динамики в векторном виде:
ma -mg + T
и в проекции на ось п, получим
m- = T-mg.
Откуда найдем натяжение нити
..2Л ( 52
T = m\g + j 1 = 0,219,8+^ |=6,96 (Н).
v х
mg
О т в е т : 6,96 Н.
18 |
IX. Динамика материальной точки |
Задача 26.9
Груз М массы 0,102 кг, подвешенный на нити длины 30 см в неподвижной точке О, представляет собой конический маятник, т.е. описывает окружность в горизонтальной плоскости, причем нить составляет с вертикалью угол 60°. Определить скорость v груза и натяжение Т нити.
Р е ш е н и е
На материальную точку М действуют сила тяжести mg и сила натяжения Т нити. Составим уравнение движения точки М в проекции
на естественные оси. |
, |
v |
, |
|
|
av |
|
=0, |
|
С учетом того, что ах = —, а„ =—, аь |
||||
получим |
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
D V |
Л |
|
|
(!) |
m— = 0, |
|
|
||
dt |
|
|
|
|
m— = Г sin a, |
|
|
(2) |
|
P |
|
|
|
|
0 = T |
cosa-mg. |
|
|
(3) |
Согласно формуле (1) v = const.
Из формулы (3) найдем натяжение нити
Т = mg 0,102-9,8 = 2(Н). cosa cos60°
Подставим выражение Г и p = /sina в формулу (2) и получим
„2 |
_ mg sin a |
m/sin a |
cosa |
Откуда найдем скорость груза |
|
v = sin a J - i L = sin 60° ( H = 2,1 (м/с). |
|
Vcosa |
V cos 60° |
О т в е т : v = 2J м/с; T = 2 H.
26. Определение сил по заданному движению |
19 |
Задача 26.10
Автомобиль массы 1000 кг движется по выпуклому мосту со скоростью v = 10 м/с. Радиус кривизны в середине моста р = 50 м. Определить силу давления автомобиля на мост в момент прохождения его через середину моста.
Р е ш е н и е
Рассмотрим автомобиль как материальную точку, на которую действуют сила тяжести mg и нормальная реакция N со стороны моста (см. рисунок). Запишем второй закон динамики в проекции на ось и:
|
v1,2 |
|
|
\г |
|
т— -mg- |
N. |
||
|
Р |
|
|
|
Откуда |
|
|
|
|
2 |
= 1000 |
( |
|
102 |
N=mg~ — |
|
9 , 8 - ^ - | = 7800 (H). |
||
Р
О т в е т : 7800 Н.
Задача 26.11
В поднимающейся кабине подъемной машины производится взвешивание тела на пружинных весах. При равномерном движении кабины показание пружинных весов равно 50 Н, при ускоренном — 51 Н. Найти ускорение кабины.
Р е ш е н и е |
|
При равномерном движении кабины пружинные весы |
|
показывают вес тела, т.е. |
а |
0 = N-mg, |
|
где N — показание весов. |
|
При ускоренном движении (см. рисунок) на тело дей- |
mg |
ствует сила тяжести mg, а показание весов Nr Согласно |
|
второму закону динамики |
|
та = Nt - mg.