doc1
.pdf100 |
IX. Динамика материальной точки |
Задача 27.32
Частица массы т, несущая заряд электричества е, находится в однородном электрическом поле с переменным напряжением Е = Asinkt (А и к — заданные постоянные). Определить движение частицы, если известно, что в электрическом поле на частицу действует сила F = еЁ, направленная в сторону напряжения £ . Влиянием силы тяжести пренебречь. Начальное положение частицы принять за начало координат; начальная скорость частицы равна нулю.
Р е ш е н и е
Рассмотрим прямолинейное движение элек трической частицы в однородном электриче ском поле под действием силы F. Ось х на правим вдоль силовых линий напряжения Запишем дифференциальное уравнение дви жения в проекции на ось х:
mx = ^Fkx=F
или с учетом данных задачи
тх = еЕ - еА sin kt.
Откуда
~ |
е А |
• ы |
х = —s |
mkt. |
|
|
т |
|
Сделаем замену: х = —, разделим переменные и получим dt
dx = —sin ktdt. m
Проинтегрируем это выражение и найдем
х = cos kt+C,
тк 1
Снова сделаем замену: х = —, разделим переменные: dt
dx = (-—coskt+C. |
V/. |
V тк |
'J |
27. Дифференциальные уравнения движения |
101 |
Проинтегрируем это выражение и найдем
еА
х = —-t-rsinkt +С,/+С2. (1) тк
Для определения постоянных интегрирования С, и С2 подставим в полученные уравнения скорости и движения начальные условия: при / = 0 х0 = 0, v0 = 0, тогда
0 |
= -— cosO° + C, =>С, = — , |
|
||
|
тк |
|
тк |
|
0 |
РЛ |
|
=>С = 0. |
|
= - - ^ - s i n 0 ° + C . 0 + C2 |
||||
1 |
тк2 |
> |
2 |
2 |
Подставим значения С, и С2 в формулу (1) и запишем уравнение движения
|
х = |
еА |
|
. , еА ' |
еА Л |
sin kt Л |
|
-sinkt + —t-—/ |
тк\ |
. |
|||
|
|
тк |
|
тк |
к J |
|
„ |
еА Л |
втЛЛ |
. |
|
|
|
О т в е т : х = — \ t |
к |
|
|
|
||
|
ткК |
) |
|
|
||
Задача 27.33
Определить движение тяжелого шарика вдоль воображаемого прямолинейного канала, проходящего через центр Земли, если принять, что сила притяжения внутри земного шара пропорциональна расстоянию движущейся точки от центра Земли и направлена к этому центру; шарик опущен в канал с поверхности Земли без начальной скорости. Указать также скорость шарика при прохождении через центр Земли и время движения до этого центра. Радиус Земли равен Л = 637-106 м, ускорение силы притяжения на поверхности Земли принять равным g = 9,8 м/с2.
Р е ш е н и е
При движении на шарик действует сила притяже ния F, которая на поверхности Земли равна
mg F - <xR - mg => а =R—.
Направим ось х вдоль воображаемого прямоли нейного канала, совместив начало координат с цен тром Земли (см. рисунок).
102 |
|
|
|
|
|
IX.Динамика материальной точки |
|
Запишем уравнение движения точки в проекции на ось х: |
|||||||
mx = -F |
- |
-ах |
|
|
|||
Или с учетом значения а |
|
|
|
|
|
|
|
|
тх = -^-х. |
|
(1) |
||||
Отсюда |
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х+—х |
= 0. |
|
(2) |
|||
|
|
R |
|
|
|
|
|
Введем обозначение: — = к2, тогда уравнени (2) примет вид. |
|||||||
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
х+к2х |
= 0. |
|
|
|||
Решим это дифференциальное уравнение и получим |
|||||||
x-Cs |
coskt+С2 sin kt. |
(3) |
|||||
Продифференцируем выражение (3) по времени: |
|
||||||
х = - С,к sinkt+С2к coskt. |
(4) |
||||||
Из начальных условий: |
t = 0, х0 = R, |
= 0, найдем |
постоянные |
||||
Интегрирования: |
|
|
|
|
|
|
|
из формулы (3): x = x0 = R = Cl; |
|
|
|
|
|||
из формулы (4): х0 = 0 = С2к =* С2 = 0. |
|
|
|||||
Тогда формулы (3) и (4) примут вид |
|
|
|||||
x = Rcoskt, |
х = -Rk sin kt, |
|
|||||
"Ли |
|
|
|
|
|
|
|
x=RcosJ^t, |
|
|
(5) |
||||
x = -R/c sin Jj^t. |
|
(6) |
|||||
Найдем время T прохождения шарика через центр, когда х - 0: |
|||||||
x = 0 = cosfit; |
|
fer |
= ~; |
|
|||
|
|
V R |
|
VR |
2 |
|
|
Г = * 11 = ^ |
/ |
^ |
= |
1 |
2 6 |
6 , 4 (с). |
|
2 |
2 |
V |
|
9,8 |
|
|
|
27. Дифференциальные уравнения движения |
103 |
|
Подставим значение Т в формулу (6) и получим |
|
|
v = х = -JgRsm^- = |
= |—л/9,8 -637-1061 = 7,9103 |
(м/с). |
О т в е т : расстояние |
шарика от центра Земли меняется по закону |
|
x = RcosMt; |
v = 7,9 103 |
м/с; Т = 1266,4 с =21,1 мин. |
V Л |
|
|
Задача 27.34
Тело падает на Землю с высоты h без начальной скорости. Сопротивлением воздуха пренебречь, а силу притяжения Земли считать обратно пропорциональной квадрату расстояния тела от центра Земли. Найти время Т, по истечении которого тело достигает поверхности Земли. Какую скорость v оно приобретет за это время? Радиус Земли равен R; ускорение силы тяжести у поверхности Земли равно g.
Р е ш е н и е
При падении на тело Мдействует сила притяжения F.
Направим ось х из точки О, (с высоты h над Землей) в сторону движения тела, совместив начало координат (точку О) с центром Земли (см. рисунок). Запишем дифференциальное уравнение движения в проекции на ось х:
тх = к
(R+h-x)2
где к — коэффициент пропорциональности, который находим из условия равенства силы тяготения
Ml
F
О
на поверхности Земли силе тяжести точки, т.е. — = mg, откуда
R
к =mgR2.
Тогда
х = |
gl? |
(R+h-x)2 |
104 IX. Динамика материальной точки
Введем замену: х = dx разделим переменные, проинтегрируем
и получим |
|
. dx |
gK |
х—dx = |
(Л+й-х)2' |
х2 |
gR2 |
2 |
R+h-x + С . |
Найдем постоянную интегрирования из начальных условий: при
X = 0 X = 0, С. a s — ^ L .
' R+h
Тогда
*2. = gR>( |
1 |
1 |
"l- |
|
sR1* |
|
2 |
\R+h-x |
R + h) |
|
(R+h-x)(R+h) |
||
Откуда найдем скорость |
|
|
|
|
|
|
|
V = |
dt |
g |
f |
- |
п ) |
|
|
iR+hi |
\R+h\R+h-x' |
|||
При x = h
Pg^ I h _ ШЙ ~\R+h\R+h-h 4R+h'
Для определения времени падения тела разделим переменные в выражении (I):
хV R+h
Проинтегрируем и получим |
|
|
|
|
|||
Г \ R + h ~ x |
d x ir f JR+h-x jR+h-x |
dx |
_ г (R+h-x)dx |
_ |
|||
H |
x |
X~J |
VxVA+A-x |
|
~ ^(R+h)x-x2 |
~ |
|
|
c[2(R+h)-2x]dx |
(R+h-2x)dx |
|
r |
(R+h)dx |
|
|
|
J 2yj(R+h)x- x2 |
' 2J(R + h)x - x2 +' |
2j(R |
+ h)x - |
x2 ' |
||
27. Дифференциальные уравнения движения |
105 |
Введем новую переменную: -J(R+h)x- х2 = и, тогда
d |
(R+h-2x)dx |
|
" |
2j(R+ |
h)x-х1' |
Вычислим первый интеграл в выражении (2): |
||
г (K+n(R+h-zxjax2x)dx |
= (du |
= J(R + h)x-x2. |
hj(R+h)x-x2 |
J |
|
Второй интеграл в выражении (2) можно записать в виде
|
R+h |
г |
dx |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
* |
J(R+h)x-x2 |
|
|
||
_ |
|
r |
, |
axdx |
|
.. |
x-a |
, где a |
это табличный интеграл |
|
|
= arcsm |
a |
||||
|
|
J |
ы2ax-x2 |
|
|
|
||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
• = arcsin- |
Ш |
' |
|
|
|
J*J(R+h)x~x2 |
|
(R+h)/2 |
|
||||
R+h
2
Таким образом,
|
|
|
|
|
|
|
|
R+h\ |
|
f lR+h-x |
, |
/.„ |
2 R+h |
• |
X |
s |
{ |
2 |
J |
J V x |
dx |
= J(R+h)x~x |
|
a r |
c |
|
i n |
— = |
|
|
|
= \ |
R+h№Lt+C2. |
|
|
|
|
|
(3) |
Постоянную интегрирования найдем из начальных условий: при t = 0 х0 - 0, тогда согласно формуле (3)
|
_ |
= |
R+h |
. , п |
(R+h) |
к |
|
||
|
С2 |
2 |
arcsin(-l) = - - |
2 |
-—. |
|
|||
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|||
Подставим значение С2 |
в формулу (3), откуда найдем |
||||||||
R+h |
J(R+h)x-x2+{R+h) |
|
x-\ (R+h\ |
|
|||||
arCS1" |
R + h |
2 |
|||||||
2gR2 |
|
|
|
|
|||||
106 |
|
|
|
|
|
|
|
|
IX. Динамика материальной точки |
|||
Так как arcsinx + arccosx = —, a arcsin(-x) = -arcsinx, то |
||||||||||||
|
|
|
R+ЬЛ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7t |
. |
I |
2 |
J |
К |
|
|
|
|
|
|
|
— + a r c s m — = — ^ = — +arcsin |
|
R+h |
|
|||||||||
2 |
|
R+h |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
= — arcsin |
-x + |
|
|
= arccos -R+h-2x |
|
||||||
|
|
R+h |
|
|
||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
/?+A |
|
||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
//n |
|
|
г |
|
Я+А |
|
|
R+h-2x |
||
f = |
\2gR2 |
^{R+h)x-x |
|
+ |
|
|
arccos |
R+h |
|
|||
Откуда при x = А получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
R+h |
arccos |
|
R-h\. |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
R+h) |
|
~ |
flghR |
_ |
1 |
\R+h( |
V/Уг + |
Л + ^ |
arccos- |
. |
||||
О т в е т : v = J — — ; |
Т = — / |
{ |
2 |
|||||||||
|
\R+h |
|
R\ |
2g |
|
|
|
|
|
R+h) |
||
Задача 27.35
Материальная точка массы m отталкивается от центра силой, пропорциональной расстоянию (коэффициент пропорциональности mk2). Сопротивление среды пропорционально скорости движения (коэффициент пропорциональности 2mkx). В начальный момент точка находилась на расстоянии а от центра, и ее скорость в этот момент равнялась нулю. Найти закон движения точки.
Р е ш е н и е
Точка М движется под действием силы отталкивания F и силы сопротивления R среды. Направим осьх в сторону движения материальной точки (см. рисунок). Запишем уравнение движения в проекции на ось х:
r м F
mg
mx= F - R
27. Дифференциальные уравнения движения |
107 |
или с учетом данных задачи
тх = ткг x-lmk^x.
Откуда
x+ll^x-kjx^d. (1)
Решим дифференциальное уравнение (1). Для этого составим характеристическое уравнение
Я.2+2*, А . - ^ О . |
(2) |
Корни характеристического уравнения (2) — действительные и разные:
А.1>2 = tyjk^ + к2.
Введем обозначения: X, = - а =-к, - J к? л-к2\ Х2 = Р = -jk? + к2 - . Тогда общее решение дифференциального уравнения (1) запишем
в виде |
|
х = Схе'ш+С2^. |
(3) |
Продифференцируем выражение (3) по времени: |
|
х = -аСхе~ш +рс2ер'. |
(4) |
Подставим начальные условия движения: при t = 0 х0 = a, |
v0 = 0, |
в формулы (3) и (4) и найдем постоянные интегрирования: из фор-
мулы (3) х = х» = а =С, + С2; из формулы (4) х0 |
= v0 =0 = -аС, |
+РС2. |
||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
С, = а—С2, С, =—а С2, |
|
|
||||
откуда |
|
|
|
|
|
|
г |
- ш |
|
г |
- |
|
|
L2 |
|
|
Г> Ч |
~ " |
|
|
|
а + р ' |
а + р |
|
|
||
Подставим значения С, и С2 в выражение (3) и получим |
|
|||||
X = а р ^ ^ аа |
|
! ^, = |
Г* J. Я V |
+ а е рлt |
|
|
а + р |
а + р |
|
а + р |
|
|
|
О т в е т: х = -^-(ае1 *+Р<ГШ ), |
где а = кх +J/c?+k2, р = -Jk?+k2 |
— /с,. |
||||
а + В у |
' |
|
|
|
|
|
108 |
IX. Динамика материальной точки |
Задача 27.36
Точка массы т начинает двигаться без начальной скорости из положения х = Р прямолинейно (вдоль оси х) под действием силы притяжения к началу координат, изменяющейся по закону R = а/х2. Найти момент времени, когда точка окажется в положении jc, = р/2. Определить скорость точки в этом положении.
Р е ш е н и е |
|
|
Выберем систему координат Оху. Точка М |
R ЛА |
|
движется под действием силы притяжения R 0 |
||
(см. рисунок). Запишем уравнение движения |
X |
|
точки в проекции на ось х: |
|
mg |
о |
а |
(1) |
mx = -R = |
—-. |
|
|
х2 |
|
xdx
Введем замену: х = —г~, подставим в формулу (1) и получим dx
mxdx _ -а.
dx х'
Разделим переменные и проинтегрируем: J/ИХйбс = - J•-adx
V-1
т — = | (2) 2 х
Найдем постоянную интегрирования С, из начальных условий:
(X
( - 0 , х0 = Р, х0 =0. Тогда согласно формуле (2) С. = — . Подставим
Р
значение С, в формулу (2) и получим
/их2 |
а |
а |
|
Откуда |
х |
т |
|
|
|
|
|
А ? = ± |
т{х |
р У |
|
|
|
||
• |
M l |
- Г |
( 3 ) |
где х — проекция скорости на ось х, при этом х <0.
27. Дифференциальные уравнения движения |
109 |
|
„ |
. dx |
переменные: |
Введем замену: х = —, разделим |
||
|
dt |
|
dx |
dt. |
|
1 |
||
|
||
х р |
|
Проинтегрируем это выражение; вычислим интеграл в левой части равенства путем приведения его к табличным (подробное объяснение см. в решении задачи 27.34):
dx |
|
|
xdx _ $ |
f (p - 2x - p)<& |
|
l - |
l |
|
|
2 J |
Jfrc^x* |
|
|
|
|
||
Ix |
Р |
|
|
|
|
|
$ |
-2x)dx |
|
dx |
|
|
- f 2j J V F 3 ^ " + |
2 |
PL |
|
|
|
|
|
|
|
|
В результате получим
+C2=-tM |
(4) |
P |
V m |
Постоянную интегрирования C2 найдем из начальных условий:
при t = 0 х = р, тогда согласно формуле (4) С2 =
Подставим значение С, в формулу (4) и найдем
t = . |
VPVP+3?+р- |
л |
. 2 х - Р |
— |
arcsm |
||
|
|
2 |
Р . |
При х, = Р