doc1
.pdf260 |
|
|
IX. Динамика материальной точки; |
Подставим эти данные в формулу (1) и рассчитаем силу сопротив- |
|||
ления |
|
|
|
F= |
1 .in6 |
-I?2 |
|
2-500 |
—гО-Ю'-ЫОМЛМ-ИГ3 =84,8 (кН). |
||
|
|
||
О т в е т : 84,8 кН.
Задача 31.9
Тяжелая отливка массы т прикреплена к стержню, который может вращаться без трения вокруг неподвижной оси О и отклонен от вертикали на угол <р0- Из этого начального положения отливке сообщают начальную скорость % (см. рисунок). Определить усилие в стержне как функцию угла отклонения стержня от вертикали, пренебрегая массой стержня. Длина стержня /.
Р е ш е н и е
Запишем уравнение Эйлера в проекции на
нормаль (см. рисунок) |
" |
||
«V' |
= |
-mgcosip+N. |
(1) |
Т |
|
|
|
Согласно теореме об изменении кинетиче- |
|||
ской энергии |
|
|
|
|
mv |
mvо = -mgl( cosq>0 - cos<p), |
|
|
~Y |
|
|
откуда
v2 = у, -2g/(cos<p0 -cos<p).
Подставим это выражение в уравнение (1):
mv' |
-2mg(cos<po _ cos<p) = - mgcos<p+ N. |
~Т |
|
31. Смешанные задачи |
|
261 |
Откуда найдем |
|
|
N = mgcosq>+-2mg(cos<p0 |
- cosф) = 3mgcosф - |
cosф0 |
При N > 0 стержень растянут, при N<0 — сжат. |
||
О т в е т : N =3mgcosty-2mgcos<$0 |
Если N>0, |
стержень растя- |
нут; если N < 0, стержень сжат.
Задача 31.10
Сферический маятник состоит из ни- |
|
|
ти ОМ длины /, прикрепленной одним |
|
|
концом к неподвижной точке О, и тяже- |
|
|
лой точки М веса Р, прикрепленной к дру- |
|
|
гому концу нити. Точку М отклонили из |
|
|
положения равновесия так, что ее коор- |
|
|
динаты стали: при t = 0 х = х0, у = 0, и со- |
\х,у,г) |
|
общили ей начальную скорость: jq, =0, |
||
|
Уо = v0. to =0. Определить, при каком соотношении начальных условий точка М
будет описывать окружность в горизонтальной плоскости и каково будет время обращения точки М по этой окружности.
Р е ш е н и е |
|
|
Точка М движется по сфериче- |
|
|
ской поверхности под действием си- |
|
|
лы тяжести Р |
и натяжения S нити |
|
(см. рисунок). Чтобы точка описала |
|
|
окружность в горизонтальной плос- |
M0(*0,o,z0) |
|
кости, ее движение должно подчи- |
|
|
няться уравнениям в проекциях на |
|
|
естественные оси координат: |
|
|
ma„ = ]£\F*„ ~ S совф, |
|
|
maz ~y £,Fln = 0, |
|
|
та, = |
= P—S БШф, |
|
где а„ = 0,М' |
аь= 0. |
|
262 |
|
IX. Динамика материальной точки; |
Тогда |
|
|
т V2 |
= 5cos<p, |
(1) |
|
ах =0, |
(2) |
0 = jP-Ssin<p. |
(3) |
|
Из уравнения (2) следует, что v = const = v0. Согласно уравнению (3) P = S sin <р.
Так как точка Мдвижется в горизонтальной плоскости, то ф = const, sin ф = const и coscp = const.
Тогда из уравнения (1) при совф = const и v = const получим, что О, Л/ = const = х0.
Из ДООхМ определим |
|
|
|
|
|
|
|
0.0 |
, |
0.0 |
|
|
= |
zo |
|
sinm = —!— = |
|
' |
но,М)2 |
, Л"„ |
|||
ом |
J(00ty |
|
|
|
|||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
О.М |
= |
Xq |
|
|
||
COS ф = - J |
|
, |
• |
|
|
||
|
ОМ |
|
ЖТх! |
|
|||
С учетом этих значений уравнения (1) и (3) примут вид |
|||||||
|
•*о |
-JZo+XQ |
|
( 4 ) |
|||
S = p M l |
A . |
|
|
(5) |
|||
|
|
|
Zo |
|
|
|
|
Подставим выражение (5) в формулу (4): |
|
|
|||||
m v o _ pyZo+ x o |
|
Xq |
|
- |
р х 0 |
||
|
Zo |
|
|
|
|
|
Zo' |
Откуда получим
264 |
|
IX. Динамика материальной точки; |
Тогда |
|
|
|
mV |
• =mgh(h-2f cosa), |
|
2 |
|
v2 = -J2gh(]-2f |
cosa) = V2 • 9,8• 9(1 - 2 0,08• 0,87) = 1233 (м/с). |
|
Рассмотрим полет лыжника по траектории СЕ, который происходит под действием только силы тяжести G. Запишем дифференциальные уравнения движения в проекциях на оси х и у:
т* = |
= 0 > |
или
jc = 0,
У = S-
Проинтегрируем эти уравнения и получим
jc = C,, |
х = С,/+С2; |
|
y = -gt+C}, |
y = |
-gj+C3t+C4. |
Определим постоянные интегрирования с учетом начальных условий: Г =0, Xq =0, Уо =0, Хо = vx, у0 = vy, найдем: С, = vx, С2 =0,С, = v,, С4 = 0. Подставим эти значения в выражения для х и у:
X = Vxt, |
(1) |
|
y = ~ Hi |
+ vyt. |
(2) |
2 |
|
|
|
х |
|
|
|
Из формулы (1) «айдем t = —. Подставим это выражение в фор- |
||||
мулу (2) и получим уравнение траектории |
|
|||
y = ~ |
g х2 |
х |
(3) |
|
2 |
— + Vy—. |
|||
|
v2 |
vx |
|
|
В момент приземления лыжника х = d, y = -d, |
так как Р = 45°. |
|||
266 |
IX. Динамика материальной точки; |
Проинтегрируем это выражение дважды: |
|
x = gt, |
X = g—. |
i yi
Откуда найдем время падения Тп фуза
Тп = Ш g
и скорость
v = j2gH.
Рассмотрим движение груза М с плитой под действием силы тяжести Р и силы уп-
ругости Fynp пружины (рис. 2). Запишем дифференциальное уравнение движения в проекции на ось х:
|
"vc = J^Fla = P-Fynp, |
(1) |
где Fynp - сх, с — жесткость пружины; Р = mg. |
|
|
Тогда уравнение (1) примет вид |
|
|
|
х-g-cx |
|
или |
|
|
|
х+к2х- g, |
(2) |
I 2 |
с |
|
где к2 = —. |
|
|
|
m |
|
Решение уравнения (2) ищем в виде |
|
|
|
х = х + х*, |
|
|
mg |
|
где х = С, coskt+C2 coskt; x* - A = •с |
|
|
Тогда |
|
|
|
x = С, coskt +C-, sinkt +mg |
(3) |
|
x = -kCx sin kt + kC2 coskt. |
(4) |
31. Смешанные задачи |
267 |
Из формул (3) и (4) определим постоянные интегрирования, исходя из начальных условий: / = 0, х0 = v = -j2gH, х0 =0;
г - т8 г --P-gti
ск
Подставим значения С, и С2 в формулу (3) и получим
x--—coskt |
+ |
sin |
kt+—, |
(5) |
с |
|
к |
с |
|
где к — круговая частота свободных колебаний груза.
Уравнение (5) можно записать в виде
|
|
|
x = asin(kt + a)+—, |
|
(6) |
|
|
|
|
|
с |
|
|
fmg} |
2gH |
. |
mg к |
. |
mg\ |
|
J1 |
— |
к2 |
tga = — - - r = = = ; |
sma = |
— |
|
с ) |
|
с ЛШ |
|
с а |
||
Жесткость пружины определим по теореме об изменении кинетической энергии точки на перемещении от момента касания груза плиты до его остановки при максимальном сжатии пружины:
_ |
|
|
_ |
|
|
|
|
rh2 |
|
|
|
где А(Р) = Р(Н + A); A(Fynp) = |
|
v2 = 0; v, = 0. |
|
||||||||
Тогда |
|
|
|
0 = P(H + |
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
h)ch-=y. |
|
||||||
Откуда |
|
|
|
|
|
|
_ 2Р(Н + h) |
|
|
||
|
|
|
|
|
с |
, |
|
||||
|
|
|
|
|
|
_ |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
\т |
|
И |
|
|
|
tga = -- |
mgk |
- |
gk |
|
|
- |
|
|
hg |
|
|
6 |
6 |
|
|
|
|
|
6 |
2jH(H + h)' |
|||
' cJZgW |
|
к2 ЩИ |
|
|
-j2g(h + H)42gH |
||||||
268 |
IX. Динамика материальной точки; |
Согласно уравнению (6) сжатие пружины будет максимальным при хт ш , т.е. когда
sin(£/,+ а) = 1, kt + а =
Откуда найдем время Т сжатия пружины
- Й Н
Для определения импульса S силы упругости пружины применим теорему об изменении количества движения груза за все время его движения:
|
™2Х -mvix = |
|
= Sx(P)-Sx(Fynp), |
|
где SX(P) = Р(Т„ + Т). |
|
|
|
|
Так как v2 = 0, v, = 0, то |
|
|
|
|
|
S = P(Tn + T) = P" |
ЩГ•+т |
||
|
|
|
|
g |
О т в е т : = |
S = РU |
g |
+ Т |
, где tga = -2у/ЩН + h)' |
к = ШН+Ю |
|
|
|
|
Задача 31.13
При разрыве маховика одна из его частей, наиболее удаленная от места катастрофы, оказалась на расстоянии s =280 м от первоначального положения. Пренебрегая сопротивлением воздуха при движении указанной части из первоначального положения в конечное, лежащее в той же горизонтальной плоскости, найти наименьшее возможное значение угловой скорости маховика в момент катастрофы, если радиус маховика R = l,75 м.
Р е ш е н и е
Известно, что дальность полета тела наибольшая, если оно брошено под углом 45° к горизонту. Это условие обеспечивает требуе-