doc1
.pdf380 |
IX. Динамика материальной точки |
||
Откуда частота свободных колебаний груза |
|
||
|
57 |
|
|
|
к = .\та(1-а) |
|
|
Ответ: к = |
I——— рад/с. |
|
|
|
J та(1 - а) |
|
|
|
Задача 32.41 |
|
|
Груз веса 490,5 Н лежит посередине бал- |
А |
||
ки АВ. Момент инерции поперечного сече- |
|||
|
|||
ния балки / = 80 см4. Определить длину бал- |
|
||
ки / из условия, чтобы период свободных |
|
||
колебаний груза на балке был равен Т = 1 с. |
|
||
П р и м е ч а н и е . Статический прогиб балки определяется формулой / = Pi |
|||
где модуль упругости £=2,05 10" Н/м2. |
|
||
Р е ш е н и е
Зная период свободных колебаний, найдем частоту собственных колебаний груза
2к 2-314
* = ^ = |
= |
рад/с). |
(1) |
Так как в положении статического равновесия с/ = mg, то
mf
Сучетом значения /запишем
ИР
48£7 Откуда рассчитаем длину балки
/ s |
= 48-9,8-2,05-Ю".8-Ю-2 = |
|
Л' к2 Р |
V |
6,28 -490,5 |
О т в е т : / = 15,9 м.
32. Колебательное движение |
381 |
Задача 32.42
Груз Q массы т зажат между двумя вертикальными пружинами с коэффициентами жесткости с, и с2. Верхний конец первой пружины закреплен неподвижно, а нижний конец второй пружины прикреплен к середине балки. Определить длину балки / так, чтобы период колебаний груза был равен Т. Момент инерции поперечного сечения балки /, модуль упругости Е.
Р е ш е н и е
Жесткость балки с6 определим по формуле
с* |
4 Ш |
|
Р ' |
Тогда эквивалентная жесткость с' пружины с2 и балки, которые составляют последовательно соединенные элементы,
с,24с, _ 48с,Е1
Су +Сс с,/3 +4Ш'
Следовательно, коэффициент жесткости сэкв всей системы
, = |
48с2EI |
_ 48с2Е1 + с,(с/ +48£У) |
Сэкв <\+с |
е>+Сгр+48Е1 |
с2/3 +48EI |
Частота собственных колебаний груза
|
к = ЛГКВ |
|
т |
_ >кв |
48C.EI + с,(с2/3 +48EI) |
т |
(с3/3 +48Е1)т |
Откуда
р _ 48 £ /(c 2 +q -mk2 ) c2(mk2-c\)
где
,2 _ 4тс2
384 |
|
IX. Динамика материальной точки |
Определим период колебаний груза |
||
|
т = 2 п = 2 п |
Не,/3 +48EI) |
|
Л ' |
48EIc, |
lm(c.P +48Е1) . |
I 4 8 Ж |
|
О т в е т : х = v„ —^ |
- sin |
-—^ |
11 |
48EIcx |
^m(clP+48E7) |
Т = 2к w(q/3 +48 £ 7) |
|
|
V |
48£7c, |
|
Задача 32.44 |
|
Груз веса Q зажат между двумя вертикаль- |
|
ными пружинами, коэффициенты жесткости |
|
которых равны с, и с2. Верхний конец первой |
|
пружины закреплен неподвижно. Нижний ко- |
|
нец второй пружины прикреплен к свободно- |
|
му концу балки, заделанной другим концом |
|
в стене. Зная, что свободный конец заделан- |
|
ной балки под действием силы Р, приложен- |
|
ной к свободному концу балки, дает прогиб |
|
/ = РР |
ш |
|
|
3 El' |
|
где EI — заданная жесткость балки при изгибе, определить длину балки I, при которой груз будет колебаться с данным периодом Т. Найти уравнение движения груза, если в начальный момент он был подвешен к концам нерастянутых пружин и отпущен без начальной скорости.
Р е ш е н и е
Начало системы координат Оху поместим в положение статического равновесия груза, где
mg = сэк„/ст,
где сэкв — коэффициент жесткости упругой связи, эквива- mg лентной всем другим связям.
32. Колебательное движение |
385 |
Сместим груз в сторону положительного направления оси х. Покажем на рисунке действующие на него силы: силу тяжести mg, силу
упругости Fynp.
Запишем дифференциальное уравнение движения груза в проекции на ось х:
mx = mg-Fyttp,
где Fynp = сжв(/„ +х).
Тогда
mx = mg- c3KBf„ - сжвх
или
5c+k2x = Q, |
(1) |
где к2 |
= с |
т |
Q |
Найдем сэкв, учитывая, что упругая балка и пружина с коэффициентом жесткости с2 соединены последовательно, а груз зажат между ними и пружиной с коэффициентом жесткости с,:
|
|
|
Сэкв = С, + С, |
(2) |
с2с6 |
3EI |
|
|
|
С2+Сб |
Р |
|
|
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
с = c2l +3EI . |
(3) |
|
Подставим выражение (3) в формулу (2) и получим |
||||
|
|
|
3с2Е1 |
|
|
|
С™~С{+с2Р+Ш' |
|
|
Учтем, что |
|
|
|
|
(21tV |
_ c^g |
_g( |
3c2EI >) |
glc^P +3ЕНд + c2)] |
\ T ) |
Q |
О Г |
c2P+3EI) |
Q{C213+3EI) |
386 |
|
|
IX. Динамика материальной точки |
|
Откуда определим длину балки |
|
|
|
|
/ = |
12 |
1 |
т г ^ |
|
[4л |
2 Q |
|
|
|
|
|
|
||
Решение дифференциального уравнения (1) имеет вид |
|
|||
х = С, cosfa +С2 |
smkt. |
(4) |
||
Продифференцируем выражение (4) по времени: |
|
|||
х = -С,. к sin kt+С, |
к cos kt. |
(5) |
||
Подставим начальные условия: t = 0, х0 = - / с т , х0 = v0 = 0, в формулы (4) и (5) и найдем постоянные интегрирования: х = х0 = - f „ = С,,
х = х0 = 0 = С2к => С2 = 0.
Подставим значения С, и С2 в формулу (4) и получим уравнение движения груза
|
|
|
х = -/ст coskt, |
||
где |
f - |
|
к= |
f[qC /+3(q +c2)EI}g t |
|
|
с^/3+3 ЕЩ+cj' |
у |
(с2/3 +3EI)Q |
||
|
|
/ |
4л2д"1 |
|
|
|
3El |
|
|||
|
|
|
|
||
О т в е т: I = |
(4к2 |
Q |
) |
|
|
|
|
|
|||
|
|
Cl •pi |
„ |
|
|
|
х = — |
Q(C7P+3EI) |
cos |
[c,c1l3+3(c]+c2)EI}g { |
|
|
|
|
Q(cгР + 3EI) |
||
|
с,с2/3 +3(с, +с2)Е1 |
||||
Задача 32.45
Стержень OA длины /, на конце которого помещен груз массы т , может поворачиваться вокруг оси О. На расстоянии а от оси О к стержню прикреплена пружина с коэффициентом жесткости с. Определить собственную частоту коле-
32. Колебательное движение |
387 |
б а н и й груза, если стержень OA в положении равновесия занимает горизонтальное положение. Массой стержня пренебречь.
Р е ш е н и е
Собственная частота колебаний груза
(1)
где сжв — жесткость эквивалентной пружины, закрепленной в точке А.
Из подобия ДОАВ и ДОА'Е (см. рисунок) следует, что
/а 1'
В положении статического равновесия
|
fy"va=mgl |
= FynpJ. |
|
С учетом того, что |
|
|
|
|
F" |
=cf |
|
|
1 упр |
Ч/ст » |
|
получим |
^упр^ ~ сЖВ/А> |
||
|
Cfcr<* = C3KJJ. |
||
Откуда найдем |
|
|
|
|
cf„a _ |
са2 |
|
|
Va |
I2 ' |
|
Тогда согласно формуле (1)
_ а Гс
Ответ: к = —J— рад/с.
/ Vm
388 |
IX. Динамика материальной точки |
Задача 32.46
Груз Р массы т подвешен на пружине к концу стержня длины I, который может поворачиваться вокруг оси О. Коэф-
фициент жесткости пружины с,. Пружи- о на, поддерживающая стержень, установ- t лена на расстоянии b от точки О и имеет коэффициент жесткости с2. Определить собственную частоту колебаний груза Р. Массой стержня пренебречь.
Р е ш е н и е
Перенесем пружину с коэффициентом жесткости с2 в точку А и определим коэффициент жесткости спр приведенной пружины исходя из условия
F" Ь= Fnp I |
(1) |
|
л УПР " |
1 у п р * I |
|
где F"p = c2f„ — сила упругости пружины 2 в положении статического равновесия; F ^ = сп р /' — сила упругости пружины 2, приведенная в точку А.
Тогда условие (1) запишем в виде
С2/стb = c„pf'l,
откуда
fcrb |
(2) |
с п р - с2 Г I |
Из подобия ДОАВ и ДOA'В' (см. рисунок) получим
к.Л г ~ г
тогда выражение (2) примет вид