Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1264 вуза, 4635 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Белорусский национальный технический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

doc1

.pdf
Скачиваний:
525
Добавлен:
31.05.2015
Размер:
11.39 Mб
Скачать
☆

400

IX. Динамика материальной точки

 

Исходя из начальных условий: t =0, >>0

>0, yQ >0, из формул (7)

и (8) найдем постоянные интегрирования:

=С3; j>0 = С4а, следова-

тельно, С4 = — = ^jUlI-.

а Ш

Тогда выражения (7) и (8) примут вид

у = уй cos

/2АГ

.

fin .

Ilk

 

— t + уд

— sin I— t,

 

V т

 

\2к

V т

 

12к .

12k, .

ЙГ

t.

У = -y0J—

 

Sin

— t + у0 COS

 

V /и

 

V /и

 

V m

Найдем период колебаний точки вдоль оси у:

_

2 я

[т~

7

= — = я.

Ш

 

а

(9)

(10)

Запишем дифференциальное уравнение движения точки в про екции на ось z'

или

mi - -5kz

 

 

 

 

?+у2 г = 0,

(11)

где у2

5к

 

= —, у =

 

 

т

 

Решение дифференциального уравнения (11) имеет вид

 

 

z = Cs cosy/+С6 siny/.

(12)

Продифференцируем выражение (12) по времени и получим

 

 

Z = -уС5 sin у/ + уС6 cosy/.

(13)

Исходя из начальных условий: / = 0, гь >0, to >0, из формул (12) и (13) найдем постоянные интегрирования: Zo=C5; to =С6у, следова-

„ A, Ъ,4т

тельно, С6 = — = - у л/5Л"

Тогда выражения (12) и (13) примут вид

z = za cos

15к

. fin

. [5~к

 

— t+ZoJ—

sin J— t,

 

 

\ m

V 5k

\ m

 

l5k .

[5к t .

[5k ,

t.

z = -ZoJ— sm J— / + Zo cos J—

\ m

V m

V m

 

(14)

(15)

32. Колебательное движение

401

Период колебаний точки вдоль оси z

Так как Ту и Тг не являются кратными Тх, то нельзя указать момент времени, когда все три координаты примут исходные значения.

О т в е т : нельзя указать момент времени, когда все три координаты примут исходные значения. Точка в процессе сложения трех колебательных движений не вернется в исходное положение.

Влияние сопротивления на свободные колебания

Задачи и решения

Задача 32.53

 

Пластина D массы 100 г, подвешенная на пружине

 

АВ в неподвижной точке А, движется между полюса-

 

ми магнита. Вследствие вихревых токов движение

 

тормозится силой, пропорциональной скорости. Си-

 

ла сопротивления движению равна ЛуФ2 Н, где к -

 

= 0,001, v — скорость в м/с, Ф — магнитный поток

 

между полюсами N и S. В начальный момент ско-

ъ.-:- у?

рость пластинки равна нулю и пружина не растяну-

 

та. Удлинение ее на 1 м получается при статическом

 

действии силы в 19,6 Н, приложенной в точке В.

 

Определить движение пластинки в том случае, ког-

 

да Ф = Юл/5 Вб (вебер — единица магнитного потока

 

в СИ).

 

Р е ш е н и е

Выберем начало системы координат Оху в положении статического равновесия пластины. Сместим пластину в сторону положительного направления оси х. Покажем на рисунке действующие на пластину силы: силу тяжести trig, силу упругости Fynp, силу сопротивления R.

402

IX. Динамика материальной точки

Запишем дифференциальное уравнение движения пластины в проекции на ось х:

 

mx = mg-R-Fynp,

 

где R = ах, а = кФ2 = 0,001(1 (W5)2 = 0,5; Fynp = c{f„

+ х).

В положении статического равновесия mg = с£т. Тогда

или

mx = mg-cf„

-сх-ах

 

х+2пх + к2х = 0,

 

 

 

 

(1)

л, а .2

с

 

 

где 2и = —; к1

= —.

 

 

т

т

 

 

упр

R mg

х

Найдем &= VrnЦ = VДмo.i = 14 (рад/с), л = 2,5 (рад/с). Получили, что

кь>п — случай малого сопротивления.

Тогда решение дифференциального уравнения (1) запишем в сле-

дующем виде:

 

 

 

 

 

 

х = е""'(С, cos -Jk2 -п2

t+Cj sin-Jk2-n2 /).

(2)

Продифференцируем выражение (2) по времени:

 

 

х = -ne-"'(ct

cos -Jk2 - и 2 t+С2

sinVA:2 - п2 /) +

 

+е""(- С, -Jk2 - п2 sin VA2 -п2

t+C2y! к2-п2

cos л/А:2 - «2 /).

(3)

Подставим в выражения (2) и (3) начальные условия движения:

/ = 0, х0 =

, х„ = 0, и получим: х0 = С, = - / „ =

с = -0,05 (м); х0

=

= 0 = -яС, + -Jк2 -пгС2,

откуда С2 =

«С,

= -0,00907 (м).

 

j

 

 

 

 

V F - 7 ?

 

 

Подставив значения постоянных интегрирования С, и С2 в формулу (2), окончательно получим

х= - е-^'СО,05 cos 13,77/+0,00907 sin 13,77/).

От в е т: х = -<TW'(0,05 cos 13,77/+0,00907 sin 13,77/) м, где ось д: направлена вниз из положения статического равновесия центра тяжести пластинки.

32. Колебательное движение

403

Задача 32.54

Определить движение пластинки D при условиях предыдущей задачи в том случае, когда магнитный поток Ф=100 Вб.

Р е ш е н и е

Воспользуемся дифференциальным уравнением движения пластины, полученным при решении задачи 32.53:

 

x+2nx+k2x = Q,

(1)

где 2п = - , а = 0,001-102

= 10; к2 =

 

т

т

 

Определим к =

= 14 (рад/с), п ~

- 50 (рад/с).

Получили к <п — случай большого сопротивления. В этом случае решение дифференциального уравнения (1) имеет вид

 

х = С,е~2' +С2е~93'.

(2)

Продифференцируем выражение (2) по времени:

 

 

х = -2С,е-2,-Ж2е-ш.

(3)

Подставим в формулы (2) и (3) начальные условия движения:

t = 0, х0

= - f „ = - — = -0,05 (м), х0 =0, и получим: х0

= - / „ = С, +С2;

 

с

 

ха = 0 =-2С, -98С2, откуда С, = -0,051 м, С2 = -0,001 м.

Подставим значения С, и С2 в формулу (2) и окончательно запишем

х= -0,05 кг2 '+ 0,00 кг*8'.

От в е т: х = -0,051<Г2' +0,001е"98'.

Задача 32.55

Цилиндр веса Р, радиуса г и высоты h подвешен на пружине АВ, верхний конец которой В закреплен; цилиндр погружен в воду. В положении равновесия цилиндр погружается в воду на половину своей

404

IX. Динамика материальной точки

высоты. В начальный момент времени цилиндр был погружен в воду на 2/3 своей высоты и затем без начальной скорости пришел в движение по вертикальной прямой. Считая жесткость пружины равной с и предполагая, что действие воды сводится к добавочной архимедовой силе, определить движение цилиндра относительно Положения равновесия. Принять удельный вес воды равным у.

Р е ш е н и е

Введем систему координат Оху с началом в положении статического равновесия цилиндра. Покажем на рисунке силы, действующие на цилиндр: силу тяжести mg, силу упругости Fyпр пружины, выталкивающую FB силу Архимеда.

Запишем дифференциальное уравнение движения цилиндра в проекции на ось х:

7 ~ - Z ~ С .

 

 

 

Г . - . - . - . * . - .

 

Sг.Г

г .

г.-.-.-.".-:

т

г -г г - . - г :

S S

- - -

: г - ; .г г

~ ~

- -.-.т.

ш

-г jr S

- jt

mx = -Fy„p-FB+mg,

(1)

где Fy„p = c(J„ + х); FB = улг2| i/г + х

^h + x j — высота погруженной в воду час-

ти цилиндра.

В положении статического равновесия х = 0,

Fwp(Q) + FJ0)=mg

или

cf„ + ynr2 — = mg.

Определим величину / „ :

 

 

,

if

2h

/ст

= - m g - y w 2 -

Тогда

Fynp = mg -ynr2 + ex.

32. Колебательное движение

405

Подставим значения Fynр и / „ в уравнение (1) и после преобразований получим

тх--сх-у%гх

 

или

 

х+кг х~0,

(2)

т

 

Решение уравнения (2) имеет вид

 

х = С, coskt +С2 sin kt,

(3)

х = -С, & sin kt+C-,fccos k.

(4)

Для нахождения С, и С2 используем начальные условия: при t = 0

= р . / г - - / г

}=-/?,

х0

=0. Из формул (3) и (4) получим: С, =7/1,

чЗ

2

/ 6

 

6

С2 =0.

Подставим значения постоянных интегрирования в формулу (3),

изапишем уравнение движения цилиндра:

х= 6~hcoskt.

О т в е т : x = ^hcoskt, где к2 =^(с+упг2 ).

Задача 32.56

В предыдущей задаче определить колебательное движение цилиндра, если сопротивление воды пропорционально первой степени скорости и равно av.

Р е ш е н и е

Считая, что сила сопротивления Fc воды направлена в сторону, противоположную

406 IX. Динамика материальной точки

скорости (см. рисунок), составим дифференциальное уравнение движения цилиндра в проекции на ось х:

mx = mg-Fynfl-Fb-Fc,

(1)

гДе -Fy„p = c(f„ + х) — сила упругости; Ft = ynr2^ +

выталкиваю

щая сила Архимеда; FQ = ах — сила сопротивления воды.

Для определения величины f „ запишем уравнение статического равновесия:

 

cf„ +укr2-

= mg=>f„

=

 

-\mg-ynr2-J,

тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

fynp =mg-ynr2^

+ cx.

 

Подставим значения Fc, FynphF.bуравнение

(1) и после преобра-

зований получим

 

 

 

 

 

 

 

 

тх = -сх - упг2х

- (хх

 

или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тх+2пх + к2х = 0,

 

(2)

а ,2

с

пг2

 

 

 

 

 

где и = —; к2

= — +

у—.

 

 

 

 

 

2т

m

m

 

 

 

 

 

При условии к >п или

 

 

 

 

 

 

к?=к2-п2

- t + r

^

l -

М

>о

 

 

 

\т

т )

\2т)

 

движение цилиндра будет колебательным. Тогда решение уравнения (2) имеет вид

х = Ае~"'smikj+ $),

(3)

где к, =л/к2-п2; А, р — произвольные постоянные.

 

Продифференцируем выражение (3) по времени:

 

х = -Апе~ sin(fc,/ + (}) + /16, е-"' cos (fc,t+fj).

(4)

32. Колебательное движение

 

 

407

Используя начальные условия: t = 0, х0 =

- y j =

х0 =0, из

формул (3) и (4) получим

 

 

 

h

= /lsinp,

 

(5)

6

 

 

 

" Л =Лсо8р .

 

(6)

6Л,

 

 

 

Разделим выражение (5) на (6) и найдем

г 2

пп

Возведем выражения (5) и (6) в квадрат, сложим и получим

. h \. п2 h к2+п2

h

к2

Подставим выражение (7) в формулу (3) и запишем уравнение колебательных движений цилиндра:

6 \ к 2 - п 2

О т в е т : движение цилиндра будет колебательным,

 

 

с

пг2\

 

( а V

„

 

 

 

 

-

+ Y —

- Ь -

>0-

 

 

 

 

т

т )

 

\2т/

 

 

 

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h

— е~"' sin( А 2 - и 2

Г + р),

 

х = —

 

 

6 VA:

 

 

 

 

 

 

, ,

с

„2

а

,

0

 

2

-п

яг*

 

 

-Jk

где fc2

= — + у — ; п = — ;

tgP = -3- =

п

 

т

т

2т

 

 

п

 

если

Р

; т = —. g

408

IX. Динамика материальной точки

Задача 32.57

 

Тело А массы 0,5 кг лежит на неглад-

 

кой горизонтальной плоскости и соеди-

Щ

нено с неподвижной точкой В пружиной,

 

ось которой ВС горизонтальна. Коэффи-

 

циент трения тела о плоскость 0,2; пру-

 

жина такова, что для удлинения ее на 1 см требуется сила 2,45 Н. Тело А отодвинуто от точки В так, что пружина вытянулась на 3 см, и затем отпущено без начальной скорости. Найти: 1) число размахов, которые совершит тело А, 2) величины размахов и 3) продолжительность Т каждого из них.

Тело остановится, когда в положении, где скорость его равна нулю, сила упругости пружины будет равна силе трения или меньше ее.

Р е ш е н и е При движении тела в горизонтальном

направлении вдоль оси х (см. рисунок)

i

 

 

N

к нему будут приложены сила упруго-

В

 

F

 

сти Fynp и сила трения F^, перпендику-

 

 

jtop |

лярные к оси х, силы N и mg взаимно

 

'О

R,

уравновешены. Сила трения всегда про-

f' /

/ / / / / / / / / / / / / / / / /

/ / / / / / / / v/ш/у/ / / / / ;.

тивоположна направлению скорости.

 

 

 

mg

 

 

 

 

Рассмотрим последовательные этапы колебаний тела А, начиная

с момента t = 0, когда

 

 

 

 

х0 >0, х0 =0.

 

 

 

(1)

Движение начнется, если с|х0| > fmg.

Запишем дифференциальное уравнение движения тела в проек-

ции на ось х:

 

mx — Fynр Ftp,

 

где Fynp = сх; FJp =/N= fmg.

 

Тогда

 

mx + cx — fmg

 

или

 

x+k2x = fg,

(15)

где к2 =

32. Колебательное движение

409

Решение уравнения (2) имеет вид

X = х + х*

fa

 

 

где х = С, coskt+C-i sxnkt, х* = А = к1

 

 

Тогда

 

 

x = C.coskt+C2sinkt

fs

(3)

+ ^,

 

к

 

х = —C}ksinkt +С2к coskt.

(4)

Используя начальные условия (1), из формул (3) и (4) получим

А

— 0.

 

С, — Xq — — , С2

 

к1

 

 

Подставим значения постоянных интегрирования в формулу (3),

окончательно запишем:

 

 

 

 

 

x = §

+ (x»-jj)cos/ct>

<5>

 

 

Л =

 

ijsin/tA

 

Если х<0, то sin kt >0,

 

Я

К

поэтому 0</<—.

При / = /,=—: х, =0,

 

 

 

 

к

к

Движение продолжается, пока выполняется неравенство

 

 

 

c\xx\>fmg

 

или

 

 

 

 

 

 

 

- х + 2 —

 

 

 

 

к2

к2'

 

mg'

=

g

 

 

 

так как —

к2

 

 

 

с

 

 

 

 

В этом случае х, < 0 и уравнение движения тела имеет вид

тх = -сх - fmg

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности