doc1
.pdf32. Колебательное движение |
|
|
|
|
431 |
Общее решение дифференциального уравнения (1) имеет вид |
|||||
|
х = С / ' Ч С 2 е Ч |
|
|
(2) |
|
|
х^СХ^'+С^2'. |
|
|
|
(3) |
^ |
- , л |
г |
"48 |
3-980 |
_ , , . |
С учетом начальных условии: / = 0, х0 |
= / „ 2 |
= —с^ = |
392 |
= 7,5 (см); |
|
лг0 =0, из формул (2) и (3) найдем постоянные С, и С2:
7,5 = 0,+С2 ,
откуда
|
7,5 (-44,6) = |
1 X7 -Xi |
-44,6-(-4,4) |
0 = С,\+СгХг,
откуда
Х7 - А., |
-44,6-(-4,4) |
Подставим значения постоянных интегрирования С, и С2 в формулу (2) и в результате получим
О т в е т: х = ^ l e ^ ' -ОДг^44-6' см.
Задача 32.70
Статическое удлинение пружины под действием груза веса Р равно / . На колеблющийся груз действует сила сопротивления среды, пропорциональная скорости. Определить наименьшее значение коэффициента сопротивления ос, при котором процесс движения будет апериодическим. Найти период затухающих колебаний, если коэффициент сопротивления меньше найденного значения.
32. Колебательное движение |
433 |
|
a |
fg |
2Р |
При — < |
—, т.е. при |
а < - р = , движение груза будет колеба- |
2т |
V/ |
Jgf |
тельным. |
|
|
Тогда |
|
|
а период колебаний |
|
V |
/ |
4 т 2 |
j _ 2к |
2% |
|
|
|
|
|
|
||
|
Ь |
g |
а 2 |
|
|
|
i f |
4т2 |
|
2Р |
2Р |
движение будет колебательным |
||
О т в е т : а = - == . При а < - Т = |
||||
Jgf |
-Jgf |
|
|
|
rr2л
спериодом Т =
gсх2
/4т2
Задача 32.71
Груз массы 100 г, подвешенный к концу пружины, движется в жидкости. Коэффициент жесткости пружины с-19,6 Н/м. Сила сопротивления движению пропорциональна первой степени скорости груза: R = av, где а = 3,5 Н • с/м.
Найти уравнение движения груза, если в начальный момент груз был смещен из положения равновесия на х0 = 1 см и отпущен без начальной скорости.
Р е ш е н и е
Начало системы координат Оху выберем в положении статического равновесия груза, направим ось х в сторону смещения груза из этого положения (см. рисунок на с. 434).
Запишем дифференциальное уравнение движения груза (см. задачу 32.69) в проекции на ось х:
mx-mg- /^пр - R,
mg
где Fynp = c(f„ + •*)> /ст = —I R = o.v = ax.
434 |
|
IX. Динамика материальной точки |
Тогда |
|
|
или |
тх = —сх — ах |
|
|
|
|
|
х+2пх + к2х = 0, |
(1) |
^ п = ^ |
= 3 L = 173 (рад/с); к2 |
= |
2т |
2 ОД |
т |
к = |
= 14 (рад/с). |
|
Так как п > к, то движение носит апериодиче- |
|
||
ский характер и решение уравнения (1) имеет вид |
|
||
x = CteXl' +С2еХг', |
(2) |
||
x = |
qXiex,'+C2X2ex", |
(3) |
|
где X,, ^ — корни характеристического уравнения X2 + 2пХ + к2 |
=0, |
||
\ 2 = - п ± л / п 2 - к 2 |
=-17,5±л/1732-142 = -173±103- |
|
|
Откуда |
|
|
|
X, =-173+103 = -7 (рад/с); |
|
||
А.2 = -173-103 = -28 (рад/с). |
|
||
Используя начальные условия: / = 0, х0 = 1 см, л:0 =0, из формул |
|||
(2) и (3) определим постоянные С, и С2: |
|
||
|
И " 2 8 ) |
=133 (см), |
|
А.2 —Я., -28-(-7) |
|
|
|
С, = |
1 (-7) |
= -033 (см). |
|
|
-28-(-7) |
|
|
Подставим значения постоянных С, и С2 в формулу (2) и запишем |
|||
уравнение движения груза |
|
|
|
x = 133e-7'-0,33e-38'. |
|
||
О т в е т: х = 1,33<?"7' -0,33е'ш |
см. |
|
|
32. Колебательное движение |
435 |
Задача 32.72
Вусловиях предыдущей задачи найти уравнение движения груза
ипостроить график зависимости перемещения от времени, если в начальный момент груз смещен из положения статического равно-
весия на расстояние х0 =1 см и ему сообщена начальная скорость 50 см/с в направлении, противоположном смещению.
Р е ш е н и е
Согласно решению задачи 32.71 дифференциальное уравнение движения груза
х+2пх + к2х = 0, |
|
имеет решение вида |
|
x = Cte^' +С2е^2', |
(1) |
х = С1Х1ех''+С2Х2ек}', |
(2) |
где X, = - 7 рад/с; Х2 = -28 рад/с. |
|
Подставим начальные условия: ? = 0, х0 = 1 см, х0 = -50 см/с, в формулы (1) и (2) и получим систему уравнений
[1 = С,+С2, —50 = С, Л., +С2Я,2.
Откуда найдем значения постоянных С, и С2:
с |
_ ЬХ^+50 _ Н-28)+50 _ |
|
1 |
Х2-Х, |
-28 - (-7) |
С 2 |
, - 1 А ± 5 0 = - 1 ± ^ 0 = 2 ( С М ) . |
|
|
Х2-Х, |
-28-(-7) |
Подставим эти значения в формулу (1) и запишем уравнение движения груза
х = -е~7' +2е~28'. |
(3) |
Для построения графика зависимости перемещения х от времени t вычислим значения функции (3) в характерных точках:
1) t0 =0, х = 1 см;
2) х = 0 => е'2" = 0,5 => е2и = 2"1 =>/.= — = 0,033 (с); |
|
1 |
21 |
436 |
|
IX. Динамика материальной точки |
||
3) точка минимума |
|
|
|
|
х = 1еъ -56е 28' = 0=эе~2"=2~3 =>f2 |
= 0,099 (с), |
|||
так как |
|
|
|
|
jfl = —49е-7'2 +56-28е"28'2 |
= -49<Г1п2 +1568е4'"2 = |
+ |
= 73,5 >0, |
|
то |
|
|
2 |
16 |
|
|
|
|
|
Xmin = * Ц = |
2 +2<г41п 2 = - I |
+ 2 - 1 = -0,375 (см). |
||
|
2 |
16 |
|
|
При возрастании t перемешение х стремится к нулю [график функ- |
||||
ции (3) см. в ответе]. |
|
|
|
|
О т в е т : х = -е'1' +2е'т |
см. |
|
|
|
Задача 32.73
В условиях задачи 32.71 в начальный момент груз смещен из положения рановесия на расстояние л^ = 5 см и ему сообщена скорость v0 = 100 см/с в том же направлении. Найти уравнение движения груза и построить график зависимости перемещения от времени.
Р е ш е н и е
Запишем дифференциальное уравнение движения груза, полученное в задаче 32.71:
x+2nx + fc2x=0.
32. Колебательное движение |
|
|
437 |
|
Его решение имеет вид |
|
|
|
|
|
х = С1еХ|' +С2еХг', |
(1) |
||
|
x = C,A,,eV +С2Х2еХ2', |
(2) |
||
где X, = -7 рад/с; |
= -28 рад/с. |
|
|
|
Используя начальные условия: t = 0, х0 |
= 5 см, х0 |
= 100 см/с, полу- |
||
чим систему уравнений |
|
|
|
|
|
15 = С,+С2, |
|
|
|
|
[100 = С, А., +С2А.2. |
|
||
Откуда найдем значения постоянных С, и С2: |
|
|||
|
5Х2-100 = 5(-28)-100 |
= } |
|
|
1 |
А*-Я., |
-28 - (-7) |
|
|
С2 |
5 А,, -100 |
5(—7) —100 |
. |
|
= —! |
= —— |
= -6,4 (см). |
||
|
A..-A.J |
- 7 - (-28) |
|
|
Подставим эти значения в.формулу (2) и в результате получим |
||||
|
х = 11,4<г7'-6,4<г28'. |
(3) |
||
Для построения графика зависимости перемещениях от времени / вычислим значения функции в характерных точках:
/0 =0, х = 11,4-6,4 = 5 (см). Найдем экстремальные точки:
х = -11,4 • Те1' + 6,4 • 28е~28' = 0,
откуда |
|
|
|
|
с _2 „_ 11,4 |
_ f l 2 8 ^ ' |
|
|
|
|
4-6,4 |
V 57 |
|
|
1 |
190 |
|
|
|
t = t. = — I n — = 0,0385 (с), |
|
|||
' 21 |
57 |
|
|
|
х| = 11,4-72е~7'' -6,4-28V28" = |
4 |
- |
М ^ Щ з <0. |
|
|
|
|
4-128 |
|
438 |
|
IX. Динамика материальной точки |
|
Следовательно, в точке t =/, имеется максимум |
|||
х, |
11,43^— 6,4-57 |
(11,4 6,4-784^ |
055= 633 (см); |
|
|
||
х = 11,4- 7V 7 ' -6,4-28V 2 8 ' = 0,
откуда
|
6,4-16 |
V 57 у |
|
, , |
1 1 |
5 1 2 |
щ |
t = t2 |
=—in |
57 |
= 0,1 |
|
21 |
|
|
— точка перегиба, в которой |
|
|
|
х2 = 11,4е"°'7 -6,4е~2,8 |
= 53 (см). |
||
При t = /3 =0,2 |
|
|
|
х3 = 11,4Г'-4 -6,4е"5'6 =2,8 (см).
При возрастании t функция х{{) стремится к нулю [график функции (3) см. в ответе].
О т в е т : х = 11,4<г7' - 6,4е-28' см.
X, см, |
|
|
|
|
7 |
6,53 |
|
|
|
6 |
|
^ 5 , 3 |
|
|
5 о |
1 |
|
|
|
4 |
|
t1 |
|
|
3 |
|
1 |
|
|
|
1 |
1 |
|
|
2 |
|
|
||
|
1 |
• |
1 |
|
1 |
0,0365 |
» |
1 |
— |
! |
' |
1 |
||
0 |
Н |
1 |
1 |
|
|
0 , 0 5 |
0 , 1 |
0,2 |
0 , 3 f , c |