doc1
.pdf460 |
|
IX. Динамика материальной точки |
|
или |
х+к2х |
= hsinpt, |
|
|
(2) |
||
где к1 = 4900, к = 70 рад/с; А = 100 м/с2; /> = 50 рад/с. |
|
||
Уравнение (2) — это дифференциальное уравнение вынужденных |
|||
колебаний без учета сопротивления. |
|
||
Амплитуда вынужденных колебаний |
|
||
0 = 71 |
100 |
|
|
Г = ^ г |
^ х = 4,17 (см). |
|
|
к2-р2 |
4900-2500 |
|
|
Общее решение уравнения (2) запишем в виде |
|
||
х = С, COS70/+C2 |
sin70?+4Д7sin50/, |
(3) |
|
ус = 70(-С, sin70/+C2 cos700+4Д7 • 50cos 50f. |
(4) |
||
Подставив начальные условия: / = 0, х0 =2 см, х0 =10 см/с, из формул (3), (4) найдем С, =2 см; С2 = -2,83 см.
Полученные значения постоянных интегрирования подставим в формулу (3) и получим
X= 2 cos70/-2,83sin70/+4Д7эт50/.
От в е т : х = 2со570/-2,83зт70/+4Д78т50/ см.
Задача 32.90
В условиях предыдущей задачи изменилась частота возмущающей силы, получив значение р = 70 рад/с. Определить уравнение движения груза.
Р е ш е н и е
При частоте возмущающей силы р = 70 рад/с возникает резонанс. В случае резонанса, когда р = к, уравнение вынужденных колебаний принимает вид
х + к2х = hsinkt. |
(1) |
Решение этого уравнения ищем в виде
х=х+х*
где х* — частное решение.
32. Колебательное движение |
465 |
_ |
(Alma? -7с) cosJ— t |
, |
2cos3co/ - |
|
- |
и п _ + |
5cosco/ |
||
О т в е т: х = |
- + |
-. Резонанс насту- |
||
|
(с-/ясо )(c-9mor) |
с-тог |
с-9/исо2 |
|
пит в двух случаях: с ^ |
= I J Z и со^ = J I . |
|||
Влияние сопротивления на вынужденные колебания
Задачи и решения
Задача 32.94 |
|
На пружине, коэффициент жесткости которой с = |
|
= 19,6 Н/м, подвешены магнитный стержень массы 50 г, |
|
проходящий через соленоид, и медная пластинка массы |
|
50 г, проходящая между полюсами магнита. По соленои- |
N |
ду течет ток i = 20sin8ША, который развивает силу взаи- |
|
модействия с магнитным стержнем 0,016л/ Н. Сила тор- |
|
можения медной пластинки вследствие вихревых токов |
|
равна АуФ2, где к = 0,001, Ф = 1СК/5 Вб и v — скорость пла- |
|
стинки в м/с. Определить вынужденные колебания пла- |
|
стинки. |
S N |
Р е ш е н и е
Выберем систему координат Оху, начало которой совместим с положением статического равновесия пластины.
Примем магнитный стержень и медную пластинку за материальную точку. Покажем на рисунке (см. с. 466) приложенные к ней силы: силу тяжести mg, силу упругости FynfS, возмущающую силу Q, силу торможения R.
32. Колебательное движение |
467 |
Угол р лежит в третьей четверти, а потому
Р =-л+0,089л = 1 п .
Следовательно, уравнение вынужденных колебаний имеет вид
х= 0,022 sin(8n/-0,91л).
От в е т : х = 0,022 sin(8n/-0,91л) м.
Задача 32.95
В условиях предыдущей задачи найти уравнение движения пластинки, если ее подвесили вместе с магнитным стержнем к концу нерастянутой пружины и сообщили им начальную скорость 5 см/с, направленную вниз.
Р е ш е н и е Запишем общее решение уравнения вынужденных колебаний,
полученного в задаче 32.94 в виде |
|
|
х = е-"'(Сх cos fy +С2 sin А/) + Д. sin(8n/ -0,91л), |
(1) |
|
х = А, е""'(-С, sinfy+C2 cosА,Г) - пе~"'(Сх cos fy+С2 |
sin fy) + |
|
+Д. • 8л cos (8л/ - 0,91л), |
|
|
где A, = 4 к 2 - п 2 = л/196-2^2 = 13,77 (рад/с). |
|
|
Исходя из начальных условий: / = 0, х0 = - — |
= |
= -0,05 (м) - |
с |
19,6 |
|
= - 5 см, х0 =5 см/с, найдем постоянные интегрирования: С, = - 5 +
+ 2,2 -0,28 = - 4 ^ 9 (см), С2 = 3,42.
Подставим значения С, и С2 в формулу (1) и запишем уравнение движения пластины:
х= e"2'5'(-4r39 cos 13,77/+3,42 sin 13,771)+2,2 sin(8л/ - 0,9 1л).
От в е т: х = е"2-5'(-439cos 13,77/ + 3,42sin 13,77/)+2,2sin(8n/-0,9bt) см.
468 |
IX. Динамика материальной точки |
Задача 32.96
Материальная точка массы т - 2 кг подвешена к пружине, коэффициент жесткости которой 4 кН/м. На точку действует возмущающая сила S »120sin(/>/ + 8) Н и сила сопротивления движению, пропорциональная первой степени скорости и равная R = 0$Jmcv Н. Чему равно наибольшее значение Атп амплитуды вынужденных колебаний? При какой частоте р амплитуда вынужденных колебаний достигнет наибольшего значения?
Р е ш е н и е
Максимальной амплитуда вынужденных колебаний будет при р = VA:2 -2И2. Тогда
'••ma*А - |
h |
^ |
2 |
Рассчитаем по данным задачи
*. £тв ± ! °21 в 2 . 1 0 » ,
л = —2т |
|
0.5V2-4-103 |
||
= |
" 2 |
2 |
= 11Д8 (рад/с), |
|
|
Й |
= Н £ |
= |
60 (м/с2) |
и найдем |
|
|
ДпИ = |
. 60] |
, =0,062 (м) = 6,2 (см). |
|
211Д8-л/2Т03 |
— (11J 8>2 |
Определим частоту р, при которой достигается это значение амплитуды:
р= V2 103 - 250 = 41,83 (рад/с).
От в е т : Лтах = 6,2 см; р = 41,83 рад/с.
32. Колебательное движение |
469 |
Задача 32.97
В условиях предыдущей задачи найти уравнение движения точки, если в начальный момент времени ее положение и скорость были равны: Хо = 2 см, v„ = 3 см/с. Частота возмущающей силы р = 30 рад/с, начальная фаза возмущающей силы 5 = 0. Начало координат выбрано в положении статического равновесия.
Р е ш е н и е
Запишем общее решение уравнения вынужденных колебаний
сучетом сопротивления среды в общем виде
х= е'" '(С, cosfy+С2 sin fy)+Д. sin(pf + (J),
где Д. = |
^ |
= , |
^ |
|
= 466 ( с м ) |
|
|
J(p2-k2)2+4n2p2 |
V(2000-9007+4 125-900 |
|
|
||
|
|
р2 |
- к 2 |
|
|
|
|
|
р = -31,4°= -ОД 74л; |
|
|
||
|
к, = ~Jk2-n2 |
= V2 -I03-(11Д8)2 |
= 433 (рад/с). |
|
||
Итак, |
|
|
|
|
|
|
|
х = е~,т% cos 433/+С2 sin 4330 +4,66sin (30/ - ОД 74л), |
(1) |
||||
|
х- = -1Ц8^111,8'(С, cos433/+С2sin433/) + |
|
||||
+ 433^"'|8'(-С, sin 433/+С2 cos 4330+4,66-30 cos (30 / -0Д74л).
При / = 0 х0 = 2 см, х0 = 3 см/с найдем постоянные интегрирования: С, =4,422 см; С2 = -1,547 см.
Тогда уравнение (1) примет вид
х= е-П18'(4,422 cos 43,3/ -1,547 sin 433 0 +4,66 sin(30/ - 0,174л).
От в е т. х = <ru-,8'(4,422 cos433/ -1,547sin 43,3/)+4,66sin(30/ -0,174л) см.