doc1

250 IX. Динамика материальной точки;

Например, при движении точки по поверхности, заданной уравнением

f(x,y,z) = О,

х, у и z — координаты точки, дифференциальные уравнения движения в декартовой системе координат имеют вид

В уравнениях (31.2) X — неопределенный множитель Лагранжа,

Х= -N

А/ '

где Д / =

Уравнения (31.2) называют дифференциальными уравнениями Ла-

гранжа первого рода для несвободной материальной точки.

Из уравнений (31.2) и уравнения связи /(х, у, г) = 0 можно найти четыре неизвестных — координаты точек: х, у, z, и неопределенный множитель Лагранжа X — как функции времени и произвольных постоянных интегрирования. При известном значении X нормальная реакция связей

N = Х&/.

При движении точки ее траектория задается как линия пересечения двух поверхностей ft(x, у, z) = 0 и /2(х, у, z) = 0. Нормальная реакция в этом случае

N = N,+N2,

где N\, N2 нормальные реакции поверхностей.

, Тогда в уравнения (31.2) входят два множителя Лагранжа: X, = -HL

n2

К2 = — и л и , вернее, два слагаемых, содержащих эти множители.

4£>

При движении точки по шероховатой поверхности или линии необходимо учитывать максимальную силу трения, направление которой противоположно направлению вектора скорости, что при составлении дифференциальных уравнений в форме Лагранжа приводит к весьма громоздким уравнениям, аналитическое решение которых практически невозможно.

Поэтому при решении задач этого параграфа более целесообразно применение дифференциальных уравнений движения несвободной материальной точки в форме Эйлера, которые представляют собой проекции векторного равенства (31.1) на естественные оси — касательную, главную нормаль и бинормаль. Например, при движении точки по гладкой кривой эти уравнения примут вид

При решении уравнений (31.3) уравнение движения по оси т можно не интегрировать, а лучше применить теорему об изменении кинетической энергии материальной точки в интегральной форме при условии, что на точку действуют постоянные силы.

Последовательность решения задач этого параграфа:

1.Выбрать систему отсчета (систему осей).

2.Изобразить движущуюся точку (тело) в произвольном положении.

3.Показать все действующие на точку силы, включая реакции связей.

4.Составить необходимые дифференциальные уравнения движения в проекциях на выбранные оси. В случае криволинейного движения воспользоваться уравнениями в форме Эйлера. Для определения скорости движения по кривой вместо уравнения движения по касательной применить теорему об изменении кинетической энергии точки в интегральной форме, а для определения нормальной реакции — уравнение в проекции на главную нормаль.

5.Проинтегрировать полученные дифференциальные уравнения

иопределить постоянные интегрирования по начальным условиям движения.

6.Найти искомую величину в обшем виде и убедиться в правильности результата, проверив размерности входящих в это выражение величин. Провести вычисления.

Задачи и решения

Задача 31.1

Груз массы 1 кг подвешен на нити длины 0,5 м в неподвижной точке О. В начальный момент груз отклонен от вертикали на угол 60°, и ему сообщена скорость v0 в вертикальной плоскости по перпендикуляру к нити вниз, равная 2,1 м/с. Определить натяжение нити в наинизшем положении и отсчитываемую по вертикали высоту, на которую груз поднимается над этим положением.

Р е ш е н и е

Запишем второй закон динамики для несвободной материальной точки:

та

где N — натяжение нити, т.е. N = Т (см. рисунок).

Квадрат скорости найдем, используя теорему об изменении кинетической энергии:

™„2 „,,,2

= mgh,

где h =1 -/cos60° = 0,5/.

Тогда

v2 =v02+2gA = v02+#/.

Подставим значение v2 в формулу (1) и рассчитаем натяжение нити:

Высоту Я, на которую поднимается груз, вычислим из условия равенства нулю кинетической энергии в верхнем положении, когда

Задача 31.2

Сохраняя условия предыдущей задачи, кроме величины скорости v0, найти, при какой величине скорости v0 груз будет проходить всю окружность.

Р е ш е н и е

Используя решение задачи 31.1, запишем

Я = Vo +gl 2g

где Я =21. Откуда найдем

Vo = 3gl, v0 = Jlgl,

где v0 — скорость, имея которую, груз поднимется до верхней точки окружности, но не опишет полной окружности.

Чтобы груз описал полную окружность, натяжение нити в ее верхней точке должно быть равно нулю, т.е. согласно формуле (1) реше-

.. , mv2

ния задачи 31.1

На основании теоремы об изменении кинетической энергии запишем

О т в е т ; v0 > 4,43 м/с.

Задача 31.3

По рельсам, положенным по пути АВ и образующим затем петлю в виде кругового кольца ВС радиуса а, скатывается вагонетка массы т. С какой высоты h нужно пустить вагонетку без начальной скорости, чтобы она могла пройти всю окружность кольца, не отделяясь от него? Определить давление N вагонетки на кольцо в точке М, для которой ZMOB = ф.

Р е ш е н и е

В верхней точке окружности С реакция должна быть больше или равна нулю, т.е. должно выполняться условие

На основании теоремы об изменении кинетической энергии материальной точки при перемещении вагонетки из положения А в С запишем

где v0 = 0; v2 -ag.

Тогда уравнение (1) примет вид

2

Откуда

h >24а.

Для определения давления N при произвольном угле ф запишем уравнение Эйлера и теорему об изменении кинетической энергии в виде

Задача 31.4

Путь, по которому движется вагонетка, скатываясь из точки А, образует разомкнутую петлю радиуса г, как показано на рисунке; ZBOC = ZBOD = а. Найти, с какой высоты h должна скатываться ва-

гонетка без начальной скорости, чтобы она могла пройти всю петлю,

атакже то значение угла а, при котором эта высота h наименьшая.

Ук а з а н и е ! На участке DC центр тяжести вагонетки совершает параболическое движение.

Р е ш е н и е

В верхней точке С разомкнутой окружности должно выполняться равенство

mvг 2 cosa = mg

(равенство нулю вертикальной составляющей реакции). Поэтому на основе теоремы об изменении кинетической энергии материальной точки запишем

Исследуем изменение h как функции от а на экстремум и найдем h,mm •

Задача 31.6

Какой угол с вертикалью составляет вращающийся стержень (в предыдущей задаче) в тот момент, когда давление на ось равно нулю?

Уравнение (1) с учетом выражения (2) примет вид

-N+mg cosф = 2mg(\ - cosф).

О т в е т : ф = arccos(2/3).

Задача 31.7

Парашютист массы 70 кг выбросился из самолета и, пролетев 100 м, раскрыл парашют. Найти силу натяжения стропов, на которых человек был подвешен к парашюту, если в течение первых пяти секунд с момента раскрытия парашюта, при постоянной силе сопротивления движению, скорость парашютиста уменьшилась до 4,3 м/с. Сопротивлением воздуха движению человека пренебречь.

Р е ш е н и е Определим замедление при падении парашютиста:

так как v0 = JTgh = J200g = 444 (м/с). Натяжение стропов

N= mg +та = 70(9,8+8,0) = 1246 (Н).

От в е т : 1246 Н.

Задача 31.8

За 500 м до станции, стоящей на пригорке высоты 2 м, машинист поезда, идущего со скоростью 12 м/с, закрыл пар и начал тормозить. Как велико должно быть сопротивление от торможения, считаемое постоянным, чтобы поезд остановился у станции, если масса поезда равна 1000 т, а сопротивление трения 20 кН?

Р е ш е н и е

Покажем на рисунке силы, действующие на поезд в произвольном положении: силу тяжести mg, силу сопротивления F при торможении, силу трения F.|р, нормальную реакцию N поверхности.

Воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии и запишем