Оценка типа распределения первичных интервалов

Кроме графического предоставления результатов, проводят оценку типа распределения первичных значений. Распределением признака называется закономерность встречаемости разных его значений. Точкой отсчета является нормальное распределение (мы уже сталкивались с ним при переводе результатов в шкалу стенов (с. 37)). Нормальным такое распределение называется потому, что оно очень часто встречалось в естественно-научных исследованиях и казалось «нормой» всякого массового случайного проявления признаков. Оно имеет следующие характеристики (см. рис. 13):

• двусторонняя симметричность;

• совпадение среднего арифметического, медианы, моды

• асимметрия и эксцесс равны нулю.

68,26%,

т.е 2/3 всех случаев

95,5 %, т.е.19/20 всех случаев

99,73 % всех случаев, т.е. практически все результаты

Рис. 13. Кривая Гаусса (нормальное распределение)

В тех случаях, когда какие-нибудь причины благоприятствуют более частому проявлению значений, которое выше или, наоборот, ниже среднего, образуются асимметричные распределения¹². При левосторонней, или положительной, асимметрии в распределении встречаются более низкие значения признака, а при правосторонней, или отрицательной – более высокие (рис. 14).

Для симметричных распределений As = 0.

а) левая, положительная б) правая, отрицательная

Рис. 14. Асимметрия распределений

Показатель асимметрии высчитывается по формуле:

, где

x_i – индивидуальное значение признака,

- среднее арифметическое,

n– количество испытуемых,

- стандартное отклонение.

При расчетах можно воспользоваться построением вспомогательной таблицы:

Таблица 9

№ п/п	xi		()2	()3
1
2
…
…
n
			Σ()2	Σ()3

Например, если, подсчитав асимметрию распределения отметок в классе за контрольную работу, мы получаем отрицательный показатель, это означает, что в классе больше «отличников», если положительный – в классе больше «двоечников». При As 0 мы можем сделать вывод о нормальном распределении учащихся класса по успеваемости.

Сделать вывод о достоверном отличии распределения от нормального, т.е. достоверности асимметрии, можно, сравнив As_эмпир. с ее критическим значением, которое высчитывается по формуле Е.И. Пустыльника:

, гдеn – количество наблюдений.

Если As_эмпир  As _кр - принимается решение о достоверности асимметрии.

В тех случаях, когда какие-либо причины способствуют преимущественному проявлению средних или близких к средним значений, образуется распределение с положительным эксцессом. Если же в распределении преобладают крайние значения, причем одновременно и более низкие и более высокие, то такое распределение характеризуется отрицательным эксцессом (рис. 15). Для нормального распределения Ех = 0.

а)положительный эксцесс б) отрицательный эксцесс

Рис. 15. Эксцесс

Показатель эксцесса высчитывается по формуле:

, где

x_i – индивидуальное значение признака,

- среднее арифметическое,

n– количество испытуемых,

- стандартное отклонение.

Для расчетов можно воспользоваться вспомогательной таблицей, подобной той, которую строили для расчета асимметрии, добавив к ней колонку ()⁴.

Сделать вывод о достоверном отличии распределения от нормального, т.е. достоверного эксцесса, можно, сравнив Ех _эмпир с критическим значением, которое высчитывается по формуле Е.И. Пустыльника:

, гдеn – количество наблюдений.

Если Ех _эмпир.  Ех _кр. – принимается решение о достоверности эксцесса.

Положительный эксцесс будет говорить о большой однородности группы, отрицательный, наоборот, о том, что группа неоднородна. Если вернуться к примеру про успеваемость, при Ех  0 – в классе большинство «хорошистов», при Ех  0 – класс состоит из «слабоуспевающих» и «отличников». Очевидно, что использовать одни и те же методы преподавания в таком классе нельзя, необходимо продумать специальную работу и с теми, и другими.