Алгоритм расчета критерия 2

1. Занести в таблицу наименования разрядов и соответствующие им эмпирические частоты (первый столбец).

2. Рядом с каждой эмпирической частотой записать теоретическую частоту (второй столбец).

3. Подсчитать разности между эмпирической и теоретической частотой по каждому разряду (строке) и записать их в третий столбец.

4. Определить число степеней свободы по формуле:

- сопоставление эмпирического и теоретического распределения

, где k - количество разрядов признака

- сопоставление двух эмпирических распределений:

, гдеk - количество разрядов признака,

с – количество сравниваемых распределений

Если , внести поправку на «непрерывность».

5. Возвести в квадрат полученные разности и занести их в четвертый столбец.

6. Разделить полученные квадраты разностей на теоретическую часто­ту и записать результаты в пятый столбец.

7. Просуммировать значения пятого столбца. Полученную сумму обо­значить как ²_эмп.

8. Определить по Табл. 7 Приложения 3 критические значения для данного числа степеней свободы ν.

Если ²_эмп меньше критического значения, расхождения между рас­пределениями статистически недостоверны.

Если ²_эмп равно критическому значению или превышает его, рас­хождения между распределениями статистически достоверны.

Пример 1. Сопоставление эмпирического распределения с теоретическим

Учительница 1 б класса, рассказывая студентам – практикантам о классе, сказала: «Весь класс сильный, дети готовы к школе, но Севка – на голову выше всех остальных. У него уже сформирована учебная позиция». Студенты - практиканты в случайном порядке выделили четырех детей, среди которых был и Сева. Используя карту наблюдения, студенты в течение 4 уроков наблюдали за этими детьми, регистрируя поведенческие реакции, сообщающие об активности и самостоятельности детей (см. Приложение 1). Можно ли считать, что по показателю активность упомянутый Сева действительно отличается от остальных детей?

Таблица 21.1.

Распределение реакций по показателям активность и самостоятельность

Дети	Сева	Леша	Вика	Оля	Всего
Активность	14	5	8	5	32
Самостоятельность	15	6	9	6	36

Действуем по алгоритму.

Шаг 2. Определим теоретическую частоту реакций, показывающих активность при равномерном распределении.

, где

n– количество наблюдений,

k– количество разрядов признака.

В нашем случае признак – показатели активности, разряды – дети.

.

Таблица 21.2.

Расчет критерия ²

Дети			Эмпирическая частота (fэ)		Теоретическая частота (fт)		(fэ - fт)		(fэ - fт)2		(fэ - fт)2/ fт
1	Сева	14		8		6		36		4,500
2	Леша	5		8		-3		9		1,125
3	Вика	8		8		0		0		0
4	Оля	5		8		-3		9		1,125
Суммы			32		32		0				6,750

Шаг 3. Подсчитаем разности между эмпирической и теоретической частотой. Все занесем в таблицу. Обратите внимание, сумма разностей между эмпирическими и теоретическими частотами обязательно должна быть равна нулю!

Шаг 4. Определим число степеней свободы

Шаг 5. Возведем полученные разности в квадрат.

Шаг 6. Разделим полученные квадраты разностей на теоретическую частоту.

Шаг 7. Просуммируем значения пятого столбца – получим ²_эмп. В нашем примере ²_эмп= 6,750.

Шаг 8. Определим критические значения ²_кр по Таблице 7 Приложения 3 для числа степеней свободы ν = 3.

Ответ: Н₀ принимается. Распределение не отличается от равномерного и то, что Сева «на голову выше остальных» - всего лишь субъективное мнение учителя!

Пример 2. Сопоставление двух эмпирических распределений

Продолжая предыдущий пример, проверим, различаются ли между собой распределения поведенческих реакций по показателям активность и самостоятельность.

Для подсчета теоретических частот нам придется составить специальную таблицу (Таблица 21.3). Ячейки в двух столбцах слева обозначены буквами. Для каждой из них теперь будет подсчитана особая, только к данной ячейке относящаяся, теоретическая частота.

Теоретическая частота для каждой ячейки определяется по формуле:

Таблица 21.3.

Эмпирические и теоретические частоты

Разряды - дети		Эмпирические частоты					Суммы		Теоретические частоты
		Активность		Самост-ность		Активность				Самост-ность
1	Сева	14	а	15	Б	29		13,65		а	15,35		Б
2	Леша	5	В	6	Г	11		5,18		В	5,82		Г
3	Вика	8	Д	9	Е	17		8,00		Д	9,00		Е
4	Оля	5	Ж	6	З	11		5,18		Ж	5,82		З
Суммы		32		36		68		32				36

Для дальнейших расчетов нам удобнее сделать развертку таблицы 21.3 и действовать по алгоритму.

Таблица 21.4.

Расчет критерия ²

Ячейки таблицы частот			Эмпирическая частота (fэ)		Теоретическая частота (fт)		(fэ - fт)		(fэ - fт)2		(fэ - fт)2/ fт
1	А	14		13,65		0,35		0,1225		0,009
2	Б	15		15,35		-0,35		0,1225		0,008
3	В	5		5,18		-0,18		0,0324		0,006
4	Г	6		5,82		0,18		0,0324		0,006
5	Д	8		8,00		0,00		0,00		0,00
6	Е	9		9,00		0,00		0,00		0,00
7	Ж	5		5,18		-0,18		0,0324		0,006
8	З	6		5,82		0,18		0,0324		0,006
Суммы			68		68		0				0,041

Число степеней свободы

Определяем критические значения по Таблице 7 Приложения 3.

Ответ: Н₀ принимается. Распределения активности и самостоятельности у данных детей не различаются между собой.

 - критерий Колмогорова – Смирнова

Если в методе ²мы сопоставляли частоты двух распределений отдельно по каждому разряду, то здесь мы сопоставляем сначала частоты по первому разряду, потом по сумме первого и второго разрядов, потом по сумме первого, второго и третьего разрядов и т.д. Если различия между двумя распределениями существенны, то в какой-то момент разности накопленных частот достигнут критического значения, и мы сможем признать различия статистически достоверными.

Гипотезы:

Н₀: Различия между двумя распределениями недостоверны.

Н₁: Различия между двумя распределениями достоверны.

Важное ограничениеданного критерия: разряды должны быть упорядочены по нарастанию или убыванию какого-либо признака. Они обязательно должны отражать какое-то однонаправленное его изменение. Например, дни недели, месяцы после начала учебы в данном классе, отметки и т.д.

Данный критерий также можно использовать в двух случаях:

1. для сопоставления эмпирического распределения с теоретическим,

2. для сопоставления двух эмпирических распределений.

Покажу оба примера.

Пример 1.Сопоставление эмпирического распределения с теоретическим

При проведении социально-психологического исследования студентка К. прохожим в возрасте от 25 до 55 лет задавала вопрос: «В какой из будних дней недели Ваша работоспособность самая высокая?». Полученные результаты представлены в таблице 22.1. Можно ли считать работоспособность в начале недели достоверно более высокой, чем в конце недели?

Таблица 22.1.

	пн	вт	ср	чт	пт	сумма
Работоспособность	20	24	19	8	10	81