После подстановки получим

56

9. Вычисление главных напряжений:

11. Для контроля правильности найденных корней уравнения (3.16) используем инвариантность коэффициентов J1, J2, J3

Результаты уравнений (3.17) и (3.29) должны совпадать. В данном случае они примерно совпадают.

12. По найденным главным напряжениям производим проверку прочности в точке тела с помощью IV теории прочности

=134,60 МПа < [σ] = 160 МПа

Условие прочности выполняется.

57

II. Определение положений главных площадок (направлений действия главных напряжений).

1. Определение положений главных площадок сводится к вычислению направляющих косинусов для каждого из главных напряжений:

2.Определим направляющие косинусы для s1. Для этого используем систему однородных уравнений

tzx 1 + tzy m1 + (sz - s1) n1 = 0

делим ее на n1 и преобразуем к виду

Произведем подстановку значений напряжений в уравнения (3.32). После подстановки они будут выглядеть:

откуда n1 = ± 0,819.

59

6. После чего определяем

7. Аналогично находим 2 , m2 , n2 , подставляя в уравнение (3.31) s2 = –11,88 МПа вместо s1, и 3 , m3 , n3, подставляя в уравнение (3.31)

s3 = – 48,62 МПа вместо s1. Они будут равны

8. Для проверки полученных ответов используем равенства, приведенные ниже. Произведем проверку, используя только верхние знаки направляющих косинусов

(0,841) (0,0815) + (0,224) (–0,95) + (0,491) (0,302) = + 0,0037 » 0;

3 1 + m3 m 1 + n3 n1 = 0,

(0,0815) (–0,535) + (–0,95) (0,21) + (0,302) (0,819) = 0,0042 » 0.

9. Построение нормалей к главной площадке произведем на примере s1.

Учитывая, что направляющие косинусы s1 равны ℓ1 = – 0,535; m1 = +0,21; n1 = +0,819,

покажем направление действия s1 в координатах x, y, z (рис. 3.9).

60

z

ℓ1= – 0,535

m1=+0,21 x

y

Рис. 3.9. Напряжение σ1 как нормаль к главной площадке элементарного параллелепипеда

Направление действия остальных главных напряжений определяем аналогично.

3.5. Расчет тонкостенных оболочек

Тонкостенные оболочки относят к большому классу листовых конструкций, предназначенных для хранения или транспортирования жидкостей, газов и сыпучих веществ.

К тонкостенным оболочкам относят элементы конструкций: цистерн, резервуаров, газгольдеров, кожухов теплообменников, аппаратов химического машиностроения, трубопроводы и так далее.

Оболочка является тонкостенной, если толщина ее стенки меньше 1/30 ее радиуса кривизны.

При изучении поведения оболочки обычно рассматривают ее срединную поверхность, которая делит толщину оболочки δ пополам. При значительном многообразии форм срединных поверхностей наибольшее распространение в различных областях техники получили оболочки вращения, срединные поверхности которых образованы вращением плоской кривой (меридиана) вокруг оси. По форме меридиана оболочки бывают сферическими, цилиндрическими, конусообразными, эллиптическими и т.д.

Самый простой вариант теории оболочек вращения возникает при следующих допущениях:

61

1.напряжения по толщине оболочки не меняются (так называемая безмоментная теория),

2.нагрузки и связи осесимметричны относительно оси вращения. Практика показывает, что такая теория достаточно точна при сле-

дующих условиях:

1. δ < ρmin / 30 , где ρmin – минимальный радиус кривизны срединной поверхности;

2.толщина оболочки меняется плавно, без скачков;

3.линия меридиана является гладкой кривой, без изломов.

При изучении условий равновесия элементов оболочки обычно используют меридиональные и широтные сечения, в которых действуют меридиональное σm и широтное (тангенциальное) σt напряжения

Основными расчетными формулами осесимметричных оболочек являются уравнение Лапласа, увязывающее все параметры оболочки, и дополнительное уравнение равновесия зоны или просто уравнение зоны, которое используют для описания состояния равновесия нижних или верхних отсеченных частей оболочек.

Для частного случая, когда радиус кривизны срединной поверхности оболочки в меридиональном направлении равен бесконечности (ρm=

∞), т.е. срединная поверхность является цилиндрической или конусообразной, уравнение Лапласа выглядит следующим образом

Оt

ρt

σt

Рис. 3.10. Срединная поверхность оболочки (а) и ее меридиональное (б) и широтное (в) сечения

В общем случае, обычно, бывают заданы радиусы кривизны ρm , ρt , толщина стенки сосуда δ и внутреннее давление q. При опре-

делении напряжений σm и σt уравнения Лапласа (3.43) недостаточно.

Поэтому дополнительно используют уравнение равновесия зоны, отсеченной кольцевым сечением (рис. 3.11). Сосуд рассекается на две части, верхнюю и нижнюю, одну из частей отбрасывают и из условия равновесия оставшейся части сосуда находятся меридиональные напряжения при помощи уравнения зоны. Уравнение равновесия зоны выглядит

где q − давление жидкости в расчетной точке оболочки; Qж − вес жидкости, находящейся в пределах отсеченной части оболочки; Qp – вес

63

отсеченной части оболочки: стенок и днища емкости; D – диаметр емкости в рассматриваемом сечении; δ – толщина стенки емкости в рассматриваемом сечении; α – угол наклона стенки емкости к вертикали в

расчетной точке; угол α отличен от нуля, если емкость имеет коническую, шарообразную или эллиптическую форму и т.д.; для цилиндри-

ческого резервуара угол α равен нулю.

В связи с тем, что стенки оболочек находятся в плоском напряженном состоянии, расчеты прочности производят по теориям прочности – для металлических конструкций обычно по третьей или четвертой.

Qж

δ

Qp

Рис. 3.11. Схема нагружения отсеченной части оболочки

имеющие цилиндрическую форму.

Пример 3.6.

Дан цилиндрический сосуд, (рис. 3.12) заполненный жидкостью с объемным весом γж = 10 кН/м3. Геометрические параметры сосуда: H = 5 м, D = 10 м, толщина стенки сосуда δ = 0,01 м. Материал сосуда − сталь Ст.3 с объемным весом γст = 78 кН/м3, допускаемое напряжение для стали [σ] = 160 МПа. Необходимо проверить прочность сосуда.

у

q

H

z

Рис. 3.12. Расчетная схема цилиндрического сосуда (а), эпюра давления q (б), эпюры σm (в) и σt (г)

Решение.

1. Построение эпюры нагрузки q, действующей на стенки сосуда. Так как гидростатическое давление (нагрузка) q линейно зависит

от уровня погружения z, то эпюра нагрузки будет иметь треугольную форму. Наибольшее значение давления жидкости на стенку сосуда бу-

Отсюда: при z = 0, q = 0; при z = H, q = qmax = γ H.

2. Определение напряжения в стенке сосуда.

а) Тангенциальные напряжения σt могут быть найдены с помощью уравнения Лапласа (3.43). В данном случае радиус кривизны сосуда в

меридиональном направлении равен бесконечности (ρm = ∞), а радиус в тангенциальном направлении равен D/2, поэтому уравнение Лапласа приобретает вид

Напряжения в характерных точках: при z = 0, σt = 0; при z = H,