191
тельном исправлении оси стержня сжимающие силы начнут изгибать стержень и, с увеличением прогибов будут увеличиваться изгибающие моменты. Такой быстрый процесс нарастания прогибов и будет определять потерю устойчивости прямолинейной формы упругого равновесия стержня. Это приводит либо к внезапному разрушению стержня при сравнительно небольших значениях напряжений, либо к образованию новой искривленной формы устойчивого равновесия. Потеря устойчивости происходит в направлении минимальной жесткости сечения, т.е. в направлении, перпендикулярном к главной центральной оси сечения стержня, относительно которой момент инерции минимальный.
P |
P |
P |
P |
μ = 2 |
μ = 1 |
μ = 0,7 |
μ = 0,5 |
ℓ |
ℓ |
ℓ |
ℓ |
Рис. 8.2. Влияние способа закрепления стержня на величину m
Величина критической сжимающей силы при потере устойчивости прямолинейной формы равновесия определяется по формуле Эйлера
R = |
p2EJmin |
, |
(8.1) |
|
|||
кр |
(m )2 |
|
|
|
|
||
где m – коэффициент, учитывающий способ закрепления концов стержня (рис. 8.2); – длина стержня; Jmin – минимальный осевой
момент инерции поперечного сечения стержня. Произведение μ = 0 называется приведенной длиной.
Условие устойчивости прямолинейной формы равновесия стержня
n y = |
Ρкр |
³ [n y ], |
(8.2) |
|
R |
||||
|
|
|
193
где а = 776 МПа, в = 12 МПа, с = 0,052 МПа.
Расчет центрально сжатых стержней может производиться из условия устойчивости, имеющего вид
s = |
Ρ |
£ [s], |
(8.7) |
|
jF |
||||
|
|
|
где j – коэффициент уменьшения основного допускаемого напряжения (коэффициент продольного изгиба), который зависит от материала и гибкости стержня (см. прил. 2).
Условие устойчивости (8.7) позволяет решать три типа задач:
1. Определение напряжений при заданных нагрузках и размерах сечения стержня и сравнение их с допускаемыми значениями;
2. Определение допускаемой нагрузки при заданном материале и размерах сечения стержня
[Ρ]≤ ϕF[σ] ; |
(8.8) |
3. Определение площади поперечного сечения стержня при заданном материале и нагрузке
[Ρ] |
|
F ³ j [s], |
(8.9) |
где j [s] = [sу] – допускаемое значение напряжений по условию устойчивости.
8.2. Примеры расчета сжатых стержней на устойчивость
Пример 8.1.
Определить допускаемую нагрузку для колонны с кольцевым поперечным сечением из стали Ст. 3, если
[n y ]= 3, D = 120 мм, d = 100 мм, Е = 2 ×105 МПа, = 7 м.
Решение. При заданном значении коэффициента запаса на устойчивость допускаемая величина силы [Ρ] определится
194
[R]= [Ρкр].
n y
a) |
|
P |
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
μ =0,7
ℓ
d
D
Рис. 8.3. Схема загружения стержня (а) и эскиз поперечного сечения (б)
Для определения Ρкр необходимо вычислить гибкость стержня
l = |
μ |
, где imin – минимальный радиус инерции. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
imin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pD4 |
|
|
|
|
pD2 |
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
Jmin |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
imin |
= |
|
= |
|
(1- C |
) |
|
(1- C |
) = |
1 |
+ C |
2 |
, |
||||||||||||||
|
F |
|
|
64 |
|
|
|
4 |
|
|
4 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
l = |
|
|
m |
= |
|
|
0,7 × 7 ×103 |
|
= 126, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
imin |
120 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ 0,8332 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где С = Dd = 100120 = 0,833.
Полученное значение λ > λпред = 100 для стали Ст. 3, следовательно,
величина критической силы может быть определена по формуле Эйлера:
P=200 кН
196
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
|
|
|
bh |
3 |
|
|
|
|
|
ö |
|
|
J |
|
|
= å J |
|
|
|
+ å F a 2 = 2 |
çJ |
шв |
+ |
|
|
|
+ a |
2 bh ÷ |
= |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
xi |
|
|
|
|
i |
|
|
|
i |
ç |
x 1 |
12 |
|
|
|
1 |
÷ |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
æ |
|
|
|
7 × 0,6 |
3 |
|
|
|
|
|
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
= 2 |
ç22,8 + |
|
|
|
+ 2,82 |
× 7 × 0,6÷ |
|
= 112 |
|
см 4 . |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
hb3 |
|
|
|
|
|||
J = å J + å F b2 |
æ |
шв |
+ F b2 |
|
+ |
|
ö |
= |
|
||||||||||||||||||||||
= 2çJ |
|
12 |
|
|
÷ |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
y |
|
|
|
|
yi |
|
|
|
|
i i |
|
|
ç |
y |
|
|
|
шв 1 |
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
æ |
|
+ 6,16 ×1,462 + 0,6 × 7 |
3 ö |
= 72 |
см4 . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
= 2ç5,6 |
|
÷ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Площадь поперечного сечения стержня |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
F = å F |
|
= 2 (6,16 + 7 × 0,6) = 20,72 см2 . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Минимальный радиус инерции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
72 ×104 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
imin = iy = |
|
|
J y |
= |
|
|
|
|
= 18,6 мм. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
F |
|
|
20,72 ×102 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Тогда гибкость стержня удовлетворяет условию |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
l = |
|
m |
|
|
= |
2 ×800 = 86 < lпред = 100, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
imin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
18,6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
следовательно, формула Эйлера неприменима и критическую силу вычислим по формуле Ясинского
Rкр = sкр F = (310 -1,14l)F = (310 -1,14 ×86)20,72 ×102 =
= 440 ×103 Н = 440 кН.
Коэффициент запаса устойчивости
n y = RRкр = 440200 = 2,2 < [n y ]= 2,5.
Устойчивость стержня не обеспечена на
d = 2,5 - 2,2 100 % = 12 %. 2,5
197
Вычислим коэффициент запаса устойчивости стержня при втором варианте расположении швеллеров (рис. 8.4, в).
Момент инерции относительно оси х будет таким же, как и в первом варианте конструкции сечения:
Jx |
= 112 см4 ; |
|
|
|
|
0,6 × 73 |
|
|
||||||
J y |
æ |
+ 2,342 |
× 6,16 + |
ö |
= 114 см4 . |
|||||||||
= 2ç5,6 |
|
12 |
|
÷ |
||||||||||
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|||
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
Из полученных значений Jx, Jy видно, что стержень практически |
||||||||||||||
равноустойчив во всех плоскостях (Jx |
≈ Jy ). |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
112 ×10 |
4 |
|
|
|
|
|
|
imin = ix = |
|
Jx |
= |
= 23,2 мм; |
||||||||||
|
F |
20,72 ×102 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
l = 223,2×800 = 69.
Тогда
Rкр = sкр = F(310 -1,14 × 69) 20,72 ×102 = 480 ×103 Н = 480 кН; n y = RRкр = 480200 = 2,4 < [n y ]= 2,5.
Необеспеченность устойчивости снижается до
d = 2,5 − 2,4100 % = 4 %, что вполне приемлемо.
2,5
Таким образом, стойка должна быть выполнена по второму вари-
анту.
Пример 8.3.
Определить допускаемую нагрузку [Р] и вычислить допускаемый коэффициент запаса устойчивости [n y ] для деревянной стойки круглого
сечения. |
Длина |
стойки |
= 6 м; d = 200 мм; [s]= 10 Н/мм2 ; |
Е = 1×104 Н
мм2 .
P = [P]
мм
200
приращения в интервале – λ = 10, ϕ = −0,08.
Следовательно, при
l = 107, j(107) = jлев + Dj × 0,7 = 0,60 - 0,08 × 0,7 = 0,544.
Так как полученное значение j не намного отличается от принятого, возьмем меньший профиль двутавра и проверим его. Возьмем дву-
тавр №30а , F = 49,9 см2 , imin = 2,95 см.
l = |
m |
= |
2 ×1,5 ×103 |
= 102 . |
|
imin |
2,95 ×10 |
||||
|
|
|
Такому значению l соответствует j = 0,584. Рабочее напряжение
s = |
R |
= |
400 ×103 |
= 80,2 Н мм2 . |
|
F |
|
49,9 ×102 |
|
Допускаемое напряжение
[sу ]= j[s]= 0,584 ×160 = 93,3 Н
мм2 .
Недогруз составляет
d = 99,3 − 80,2100 % = 14 %. 93,3
При дальнейшем уменьшении профиля (двутавр № 30) перегрузка составит 6,2 %, что нежелательно, поэтому принимаем двутавр № 30.
Пример 8.5.
Подобрать сечение стойки из двух равнобоких уголков. Длина стойки = 2,8 м, Р = 240 кН, материал сталь Ст.3, [s]= 160 Н
мм2 .