Рис. 5.1. Схемы загружения стержней

116

Статическими моментами сечения относительно некоторых осей x и y (рис. 5.2) называют взятые по всей площади F суммы произведений элементарных площадок dF на их расстояния до этих осей, т.е.

где x, y - текущие координаты элемента площади сечения dF. Статические моменты фигуры могут быть найдены по формулам

(см. рис. 5.2, а)

где F – площадь фигуры; xC, yC – координаты центра тяжести (С) фигуры.

Рис. 5.2. Общий вид заданного сечения

С другой стороны, статические моменты, как и все геометрические характеристики сечения, обладают свойством аддитивности, то есть их можно находить как сумму статических моментов отдельных частей сечения в виде геометрически простых фигур. Этим свойством

117

широко пользуются на практике, заменяя интегрирование простым суммированием и вычисляя статические моменты по формулам (рис. 5.2, б)

где Fi – площади простых элементов (фигур) сечения; xi, yi – координаты центров тяжести отдельных простых элементов.

В этом случае нахождение центра тяжести сложного сечения выполняется в следующем порядке:

1.сложное сечение разбивается на простые элементы;

2. выбираются произвольные вспомогательные оси x¢ и y¢; 3.определяются площади Fi простых элементов сечения и коор-

динаты их центров тяжести xi¢ и yi¢ относительно вспомогательных осей;

4. определяются координаты центра тяжести всего сечения относительно вспомогательных осей по формулам

Простыми элементами считаются такие, для которых определение площади и положения центров тяжести можно выполнить по справочным данным. Сведения такого рода можно найти в специализированных справочниках по расчету конструкций. В дальнейшем оси x и y, проходящие через центр тяжести сечения, будем называть центральными.

5.2. Моменты инерции плоских сечений. Главные моменты инерции и главные оси

Исключительно важную роль в механике стержневых конструкций играют моменты инерции поперечных сечений стержней. Они бы-

вают трех типов: осевые Jx, Jy, центробежные Jxy и полярные Jρ, и определяются в общем случае по формулам (см. рис. 5.2, а)

118

Моменты инерции при переносе осей меняются. Так при параллельном переносе центральных осей x и y сечения в точку с координатами x1 и y1 (рис. 5.3, а) выполняются зависимости

При повороте осей на угол α (рис. 5.3, б) моменты инерции относительно новых осей будут равны

x1

Рис. 5.3. Схемы к определению моментов инерции при параллельном переносе (а) и повороте (б) осей

Заменяя интегрирование простым суммированием и используя свойство аддитивности, с помощью зависимостей (5.6) и (5.7) можно определять моменты инерции сложных сечений:

119

тров тяжести простых элементов относительно центральных осей всего сечения.

Ранее говорилось, что при повороте осей на угол a (рис. 5.3, б) новые значения моментов инерции определяются по формулам (5.7). Легко видеть, что величины моментов инерции Jx1 и Jy1 относительно повернутых осей являются периодическими функциями от угла поворота a и поэтому будут иметь экстремальные значения при некоторых

значениях a0 и a0'. Оси, определяемые этими углами, в теории геометрических характеристик называют главными. Осевые моменты инерции относительно главных осей называют главными – Jmax и Jmin . Центробежный момент инерции относительно главных осей равен нулю. Зна-

чение угла a0, определяющего положение главных осей инерции, можно найти из уравнения

а угол a0′ = a0 + 900 в соответствии с условием взаимной перпендикулярности главных осей. Величины главных моментов инерции

можно определить подстановкой найденных значений a0 и a0′ в две первые формулы (5.7) или по формуле

Если используется формула (5.10), то угол a0 определяет положение оси max (u), если Jx > Jy. В случаях, когда размеры сечения вдоль осей max (u) и min (v) существенно отличаются, может помочь свойство вытянутости сечения вдоль оси min. В самом общем случае положение главных осей можно найти из условия экстремальности Jx(a) при a = =maxa0.(u):Если выполняется условие (5.11), то угол a0 задает положение оси