131

6.5. Нормальные напряжения при изгибе. Расчеты на прочность

В сопротивлении материалов важную роль играют напряжения, действующие в поперечных сечениях стержня и связанные с внутренними усилиями. При изгибе рассматриваются две системы напряже-

ний: нормальных σ и касательных τ (рис. 6.6).

Рис. 6.6. Распределение напряжений по высоте сечения балки

Распределение напряжений обычно описывают формулами

где M, Q – значения изгибающего момента и поперечной силы в расчетном сечении; J – момент инерции расчетного сечения относительно нейтральной оси (н.о. – см. рис. 6.6), которая совпадает с главной осью xc поперечного сечения; y – координата расчетной точки сечения, м; b(y) – ширина сечения на уровне расчетной точки; Sотс – статический момент отсеченной части сечения относительно нейтральной оси.

Отсеченной площадью Fотс (рис. 6.6) называется часть сечения, расположенная ниже расчетной точки. Определение статического момента Sотс производится по правилам, изложенным ранее в главе 5 (см. формулы 5.4).

Условие прочности при изгибе в самом простом виде записывают через ограничения, накладываемые на величины наибольших нормаль-

ных напряжений. Наибольшие растягивающие σI и сжимающие σII нормальные напряжения возникают в точках I и II поперечного сечения

132

балки, наиболее удаленных от нейтральной оси, и могут быть определены по формулам

где yI, yII – координаты точек I и II относительно н.о. (рис. 6.6); WIx, WxII – моменты сопротивления сечения балки при изгибе относительно растянутого и сжатого волокон, которые определяются по формулам

Если материал балки имеет разную прочность при растяжении и сжатии, определяемую соответственно допускаемыми напряжениями [σ]+ и [σ]-, то условия прочности для точек I и II будут иметь вид

где MI, MII – наибольшие по модулю изгибающие моменты в опасных сечениях для растянутых и сжатых точек сечения. В общем случае эти сечения могут не совпадать.

Если материал балки одинаково сопротивляется растяжению и

сжатию ( [σ]+ = [σ]– = [σ] ), то условия прочности (6.7) упрощаются и представляются в виде

а момент сопротивления при изгибе определяется по формуле

Подбор сечения при изгибе производится из условий

133

Для простых сечений из прокатных профилей подбор сечений выполняется по сортаментам прокатных профилей, в которых указаны численные значения Wx. Если форма сечения задана через некоторые параметры, то надо Wx выразить через эти параметры по формулам (6.6) с помощью методов главы 5 и затем решить неравенства (6.9) относительно этих параметров. Когда сечение задается непараметрическим способом (например, конструируется из набора стандартных прокатных профилей), то надо использовать метод последовательных приближений.

Пример 6.1.

Задана балка на двух опорах с консолью (рис. 6.7, а), изготовленная из материала Ст.3. Требуется подобрать размеры сечения из двух прокатных профилей: двутавра и швеллера (рис. 6.7, б).

Опорные реакции определяем через уравнение статики в виде сумм моментов относительно опор А и В, из которых следует

Рис. 6.7. Схемы балки (а) и ее поперечного сечения (б)

Внутренние усилия Q и M найдем в характерных сечениях:

а = 1,35 м − расстояние от этого сечения до левого конца участка, которое можно определить через значение поперечной силы на левом конце этого участка Qлев = 27 кН по формуле

Считается, что мягкая углеродистая сталь Ст.3 одинаково сопротивляется растяжению и сжатию при изгибе. В этом случае

135

Опасное сечение Справ с наибольшим изгибающим моментом М = 22 кН×м. Условие для подбора сечения имеет вид

Подбор сечения выполним по схеме последовательных приближений. В качестве первого приближения примем двутавр I №18 и швеллер №18 (рис. 6.8, г).

Рис. 6.8. Эпюры внутренних усилий (а) и схема для определения геометрических характеристик сечения (б)

136

Таблица 6.1

Геометрические характеристики отдельных элементов сечения

Найдем необходимые геометрические характеристики, используя сведения из главы 5.

Как видно, полученное значение Wx равно минимальному требуемому значению в соответствии с условием подбора.

Подбор сечения балки на этом заканчивается. Если значение Wx для заданных размеров элементов отличается от минимально возможного значения, то процедуру надо повторить с новыми размерами элементов. Желательно добиваться отличий фактических от минималь-

137

но допустимых значений в пределах стандартной точности инженерных расчетов, равной 5% (0,05 относительных величин).

6.6. Определение перемещений при изгибе. Интегрирование дифференциального уравнения изогнутой оси балки

При изгибе балка деформируется, а ее точки и основные элементы получают перемещения. Обычно деформированное состояние балки описывают с помощью двух перемещений сечения - прогиба v и угла

поворота q. В общем случае они являются функциями от координаты

сечения – v(z) и q(z) (рис. 6.9).

Большинство реальных балок должно удовлетворять условию жесткости, которое обычно заключается в ограничениях на величину максимального прогиба

Здесь [f] – допускаемый прогиб, величина которого задается нор-

мами проектирования и обычно не превышает 1 ¤ 200 длины балки. Такие ограничения позволяют определить прогибы и углы поворота сечений с помощью дифференциального уравнения изогнутой оси балки

где M(z) – функция изгибающих моментов; EJ – жесткость поперечного сечения балки при изгибе.

Функция углов поворота связана с прогибами дифференциальной зависимостью

В этих условиях функция прогибов v(z) становится основной (разрешающей) функцией задачи. Ее можно найти как интеграл дифференциального уравнения (6.11). Для балок с постоянным сечением (EJ = const) интегрирование по методу начальных параметров может быть сведено к использованию правил Клебша.