26

Окончательно уравнение совместности деформаций принимает

Решая совместно уравнения (2.8) и (2.11), получим N1 = 9 кН,

N2 = 41,6 кН. В соответствии с правилом знаков продольных сил принимается N1= -9 кН, N2 = – 41,6 кН.

4. Подбор сечений стержней.

Из условия прочности при растяжении-сжатии определяем площади сечений

Оценивая полученные напряжения в стержнях, приходим к заключению, что несущая способность материала второго стержня используется полностью, первый же стержень значительно недогружен.

27

Б. Определение напряжений в элементах статически неопределимой системы при изменении температуры

Вычислим напряжения при изменении температуры. Освобождаем конструкцию от нагрузки (рис. 2.7, а) и принимаем, что произошел нагрев ее на t . К данным предыдущего расчета добавляется следующее: изменение температуры на t = +30о; коэффициенты линейного температурного расширения материалов стержней

Требуется определить температурные напряжения в стержнях s1t, s2t.

Решение.

1. Статическая сторона задачи.

При повышении температуры стержни 1 и 2 получат температур-

ворачиваясь вокруг шарнира А, и займет положение АВ1Д1. Предположим, что стержень 2 за счет своей большей температур-

ной деформации повернет брус АВД вокруг шарнира А на больший угол, чем стержень 1. Тогда первый стержень окажется растянутым, а второй будет сжат.

Реакции стержней N1t (направленная от узла В) и N2t (направленная к узлу Д), появившиеся в связи с изменением температуры системы, показаны на рис.

2.7, б. Составляем одно уравнение равновесия

ние к виду, удобному при решении задачи определения напряжений:

29

3. Физическая сторона задачи.

Абсолютные деформации (температурные и силовые) выражаем по законам физики

Подставляя в последнее равенство числовые значения величин,

Решая совместно уравнения (2.12) и (2.14), определяем температурные напряжения σ1t = −35,4 МПа, σ2t = −23,0 МПа. Отрицатель-

ные значения напряжений означают, что сделанное выше предположение неверно. На самом деле растянут второй стержень, а первый сжат.

С учетом этого окончательно принимаем σ1t = −35,4 МПа,

σ2t = 23,0 МПа.

Если, основываясь на принципе суперпозиции, сложить напряжения от нагрузки, подсчитанные в предыдущем примере с температурными, то окажется, что, если σ2 = σ2p + σ2t = 23,0 −120 = −97 МПа,

меньше допускаемого [s]−2 , а σ1 равно [s]1− ,

s1 = s1p + s1t = -17,3 - 35,4 = 52,7 МПа > [s]1− = 42 МПа.

В.Расчет статически неопределимых систем с учетом неточности изготовления отдельных элементов

Вэтих задачах обычно требуется либо определить монтажные

σнапряжения при заданной неточности «D», либо установить вели-

чину «D», обеспечивающую требуемые напряжения σ . Решения обеих

31

Решение.

1. Статическая сторона задачи.

При монтаже системы зазор D ликвидируется, с одной стороны, за счет перемещения бруса из АВД в А1В1Д1, с другой – за счет удлинения первого стержня 1.

Но при перемещении бруса из АВД в А1В1Д1 второй стержень

и перемещений, видим, что возможные статическое и кинематическое состояния системы соответствуют друг другу.

Из DВВ1В¢ найдем ВВ1:

ВВ1 = − 1 . cos30o

Из подобия треугольников АВВ1 и АДД1 следует

Но ДД1= 2 , следовательно:

Это уравнение совместности деформаций в монтажной задаче. 3. Физическая сторона задачи.

Выражая в (2.15) абсолютные деформации по закону Гука, перепишем уравнение совместности деформаций:

32

Решив уравнение (2.16) относительно D, получим D = 1,45 ×10−4 м.

В соответствии с правилом знаков сопротивления материалов принимаем σ 1 = 12 МПа, σ2 = −7,8 МПа.

Если теперь на основании принципа суперпозиции сложить напряжения от нагрузки, температуры и монтажные, то напряжения в стержнях окажутся меньше допускаемых.

σст.1 = −17,3 − 35,4 +12 = − 40,7 МПа,

sст.2 = -120 + 23 - 7,8 = - 104,8 МПа.

Таким образом, за счет монтажных напряжений удалось улучшить работу первого стержня.

33

3. Напряженное состояние в точке тела. Критерии пластичности и разрушения

Для описания напряженного состояния (НС) в точке нагруженного тела около нее выделяется бесконечно малый прямоугольный параллелепипед, грани которого называются площадками.

Если площадки перпендикулярны осям координат x, y, z, то их называют площадками x, y, z. В общем случае на площадках имеют место полные напряжения px , py, pz , линии действия которых произвольно

расположены по отношению к площадкам. Полные напряжения целесообразно разложить на три составляющие: нормальное и два касательных напряжения. Касательные напряжения действуют на площадках х, у, z, линии действия их параллельны осям координат. Всего получается 9 напряжений – sx ,sy ,sz ,txy ,tyx ,tzx ,txz ,tzy ,tyz (первый индекс у касательных напряжений показывает, что линия действия параллельна соответствующей оси координат, второй – напряжение расположено на площадке x, y или z).

В любой точке тела имеются три площадки, на которых касательные напряжения равны нулю. Это главные площадки. Нормальные напряжения, действующие на главных площадках, называются главными напряжениями. Они обозначаются s1 ,s2 ,s3 и подчиняются условию

s1 ³ s2 ³ s3.

Заметим, что главные площадки и главные напряжения взаимно перпендикулярны.

Если сохраняются все три главных напряжения, то в точке тела имеет место объемное напряженное состояние (ОНС). Если одно из трех главных напряжений равно нулю, а остаются два, то это – плоское напряженное состояние (ПНС).

Если два главных напряжения равны нулю, а сохраняется только одно, то это – линейное напряженное состояние (ЛНС). ЛНС возникает, в частности, при растяжении и сжатии стержня. При растяжении в точках действуют s1 > 0, s2 = s3 = 0, при сжатии – s3 < 0, s1 = s2 = 0.

34

3.1. Линейное напряженное состояние

Рассмотрим осевое растяжение силой P прямолинейного стержня, площадь поперечного сечения которого F. Известно, что в поперечном

сечении этого стержня имеют место нормальные напряжения σ = PF ,

касательные же напряжения равны нулю. Следовательно, в соответствии со сказанным выше нормальное напряжение в поперечном сечении

есть первое главное напряжение σ1 = РF (при сжатии σ3 = − PF ). Напряжения в наклонном сечении F2 определяются по формулам

τα = рαsinα = σ2 sin2α,

где р , , – полное, нормальное и касательное напряжения, на

рис. 3.1 все напряжения показаны положительными; α – угол между осью стержня и внешней нормалью n, к плоскости сечения принимается

положительным при отсчете против хода часовой стрелки; σ – главное напряжение, σ = σ1 при растяжении, σ = σ3 при сжатии

Решения, получаемые с помощью формул (3.1), называют аналитическими, однако решения могут быть получены и графически с помощью круга напряжений – круга Мора.

В задачах ЛНС обычно требуется определить либо положение наклонных площадок, либо напряжения, действующие на этих площадках, либо силу Р, растягивающую стержень, и др.

Пример 3.1.

Дано: схема стержня с нагрузкой (рис. 3.1): Р = 75кН, F = 15см2 , τα = 16 МПа. Требуется определить: площадки, соответствующие исходным данным, нормальное напряжение на этих площадках σα ; полное напряжение рα .

Рис. 3.1. Напряжения в поперечном и наклонном сечениях растянутого стержня

I.Аналитическое решение задачи

1.Определим главное напряжение σ1

2. Определим угол a

a = 12 arcsin0,64 = 39о50¢

Одному и тому же значению синуса соответствуют значения двух углов, отличающихся на 180о .