159
Окончательно система канонических уравнений имеет вид
2M1 + M2 = −18;
M1 + 3,33M2 + 0,67M3 = -18; M2 + 4,5M3 = -39.
Корни системы M1 |
= -8,4 кН×м; M2 |
= -1,2 кН×м; M3 |
= -8,4 кН×м. |
|||||||
Опорные реакции Vi на опорах определим как сумму реакций от |
||||||||||
заданной (пролетной) нагрузки Vio и опорных моментов |
Vi по формуле |
|||||||||
V = V |
+ DV = Vлев + Vправ + Mi−1 − Mi + Mi+1 − Mi ; |
|||||||||
i |
io |
|
io |
io |
|
li |
|
li+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
V |
= P + M2 - M1 = 8 + -1,2 + 8,4 = 4 +1,2 = 5,2 кH; |
|||||||||
1 |
2 |
l2 |
2 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
V |
= P + 0 + - 8,4 +1,2 + - 8,4 +1,2 = 4 -1,2 -1,8 = 1 кH; |
|||||||||
2 |
2 |
|
6 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
V |
= 0 + ql4 + -1,2 + 8,4 + 0 + 8,4 = 12,5 +1,8 +1,68 = 16,0 кH; |
|||||||||
3 |
|
2 |
4 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
= ql4 |
|
|
|
|
|
|
|||
V |
+ - 8,4 + 0 = 12,5 -1,68 = 10,8 кH. |
|
|
|
||||||
4 |
2 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Определение Q и M в характерных сечениях здесь не приводится, так как выполняется с помощью приемов, изложенных в п. 6.4 и примере 6.1. Эпюры Q и M приведены на рис. 6.21, в.
Кинематическую проверку выполним с помощью одной из возможных основных систем, приведенных на рис. 6.21, г. Для этого определим прогиб на опоре 2 с помощью эпюр M2 и M, который должен
быть равен нулю:
|
|
|
|
|
|
|
|
2Mds |
|
1 |
|
|
|
8,4 × 3 |
|
0,18 |
|
|
|
7,2 × 3 |
|
2 × 0,18 |
|
|
|||||||||
D2 = |
å ò |
|
M |
= |
|
[(- |
)( |
) + ( |
)( |
) + |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
EJ |
|
|
EJ |
|
2 |
|
|
3 |
|
2 |
|
3 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
+ ( |
7,2 × 3)(2 × 0,18 |
+ |
0,36) + (-1,2 × 3)( |
0,18 |
+ 2 × 0,36) + |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
||||||
+ (- |
1,2 × 4)(2 × 0,36 |
+ 0,2) + (- |
8,4 × 4)( |
0,36 + 2 × 0,2) + |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|||||
+ |
(- |
8,4 × 5 |
)( |
2 × 0,2 |
) + |
( |
5 × 53 |
)( |
0,2 |
)] = |
|
|
1 |
(9,1- 8,74) = |
0,35 |
. |
|||||||||||||||||
|
2 |
|
|
3 |
|
12 |
|
2 |
|
EJ |
EJ |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
160
Погрешность D% = 09,,350 100 % @ 3,9 % < 5 %.
Статическая проверка:
å y = 0; - V1 - V2 - V3 - V4 + P + q × 5 = 0;
- 5,2 -1,0 -16,0 -10,8 + 8 + 5 × 5 = 0; 33 - 33 = 0.
6.10. Расчет балок на упругом основании
Балка, лежащая на упругом сплошном основании, является особой статически неопределимой конструкцией. Под действием приложенной нагрузки q(z) (рис. 6.22) на поверхности контакта балки с основанием (подошве балки) возникает распределенная реакция p(z) (отпор основания), которая зависит от свойств балки, основания и характера нагрузки. Расчет подобных конструкций наиболее полно разработан в предположении о прямой пропорциональной зависимости между величиной
отпора и прогибом балки (гипотеза Винклера):
p(z) = k0 b v(z) = k v(z), |
(6.27) |
где k0 – коэффициент жесткости упругого основания (коэффициент постели), Н×м-3; b – ширина балки, м.
При использовании гипотезы Винклера решение задачи сводится к интегрированию дифференциального уравнения
d4 v |
+ 4v = |
4 q(z). |
(6.28) |
dz4 |
|
k |
|
Здесь z – безразмерная координата сечения, связанная с размерной (абсолютной) координатой z зависимостью
ζ = m z, |
(6.29) |
где m – упругая характеристика балки
m = 4
4kEJ.
161
q(z) |
|
|
q(z) |
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
v(z) |
|
p(z) |
|
|
b |
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
q(z) |
|
|
|
p(z) 
Рис. 6.22. Изгиб балки на упругом основании
Решение уравнения (6.28) методом начальных параметров (МНП) в форме, предложенной А.Н. Крыловым, приводит к интегралу уравнения
v(ζ) = C1 V1(ζ) + C2 V2 (ζ) + C3 V3(ζ) + C4 V4 (ζ) + V (ζ), |
(6.30) |
где Vi (ζ)- фундаментальные функции А.Н. Крылова, определяемые по формулам
V1(ζ) = chζ cos ζ, |
|
|
V |
(ζ) = 1 (chζ sin ζ + shζ cos ζ) , |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
V (ζ) = 1 shζ sin ζ, |
(6.31) |
|
3 |
2 |
|
|
|
|
V |
(ζ) = 1 (chζ sin ζ − shζ cos ζ) . |
|
4 |
4 |
|
|
|
|
162
Значения фундаментальных функций Vi протабулированы и приведены в справочном пособии [3]. Одно из замечательных свойств фундаментальных функций состоит в том, что производная от одной из таких функций является другой фундаментальной функцией. Действительно:
′ |
|
|
|
|
′ |
(ζ) = V1(ζ); |
|
V1(ζ) = −4V4 |
(ζ); V2 |
|
|||||
¢ |
(z) = V2 |
(z); |
¢ |
(z) = V3(z). |
(6.32) |
||
V3 |
V4 |
||||||
Частное решение уравнения (6.28) по методу начальных параметров для общего случая нагрузки q(ζ) имеет вид
ζ |
4 q(z) dt. |
|
V*(z) = ò V4 (z - t) |
(6.33) |
|
0 |
k |
|
|
|
Для конкретных и наиболее распространенных случаев загружения частные решения приведены в табл. 6.2. После нахождения интеграла v(ζ) определение функций углов поворота θ(ζ) и внутренних уси-
лий Q(ζ) и M(ζ)могут быть найдены по следующим зависимостям:
¢ |
2 |
¢¢ |
3 |
v |
¢¢¢ |
(6.34) |
q(z) = m v (z); M(z) = -EJm |
|
v (z); Q(z) = -EJm |
|
(z). |
Выражения (6.34) получаются при использовании зависимостей (6.32).После определения уравнений перемещений и внутренних усилий находят произвольные постоянные интегрирования Ci из граничных условий задачи. Последние бывают трех типов: кинематическими, статическими и смешанными. Если на концах балки заданы только пе-
ремещения v и q, то условия называют кинематическими. В случае, когда на концах балки заданы только внутренние усилия Q и M, граничные условия являются статическими. Смешанные граничные условия состоят в том, что на концах балки задаются как перемещения, так и внутренние усилия. Последний случай наиболее распространен в расчетной практике.
В силу известных свойств решения в форме МНП произвольные постоянные Ci могут быть определены через известные перемещения и внутренние усилия в начале координат (начальные параметры задачи):