Сопромат ИЗГИБ ПРЯМЫХ БРУСЬЕВ1

ИЗГИБ ПРЯМЫХ БРУСЬЕВ

7.1. Общие понятия о деформации изгиба

Изгиб представляет собой такую деформацию, при которой в поперечных сечениях стержня возникают изгибающие моменты, т.е. внутренние моменты, плоскость действия которых перпендикулярна плоскости поперечного сечения стержня.

Изгиб называется чистым, если изгибающий момент является единственным внутренним усилием, возникающим в поперечном сечении стержня.

В случае, когда в поперечном сечении наряду с изгибающим моментом возникает поперечная сила, изгиб называется поперечным.

Если плоскость действия сил (силовая плоскость) проходит через одну из главных центральных осей инерции поперечного сечения стержня, изгиб называется плоским или прямым.

7.2. Определение внутренних усилий при плоском изгибе

На основании метода сечений можно записать, что:

а) поперечная сила Q в любом произвольном сечении балки численно равна алгебраической сумме проекций всех внешних сил, действующих по одну сторону от сечения на нормаль к продольной оси балки (ось y):

(7.1)

б) изгибающий момент в любом произвольном сечении балки численно равен алгебраической сумме моментов всех внешних сил, действующих по одну сторону от сечения относительно центра тяжести данного сечения:

(7.2)

7.3. Правило знаков для изгибающих моментов и

поперечных сил

Поперечная сила считается положительной, если равнодействующая внешних сил слева от сечения направлена снизу вверх, а справа – сверху вниз (рис. 7.1, а), и отрицательной – в противоположном случае (рис. 7.1, б).

Изгибающий момент в сечении балки считается положительным, если нижние волокна растягиваются, а верхние сжимаются (рис. 7.2, а), и отрицательным – верхние растягиваются, а нижние сжимаются (рис. 7.2, б)

Из рис. 7.2 следует более удобное для запоминания правило знаков изгибающих моментов. Изгибающий момент считается положительным, если в рассматриваемом сечении балка изгибается выпуклостью вниз (рис. 7.2, а) и наоборот.

7.4. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих

моментов

Построение эпюр Q и М выполняют в следующем порядке.

7.4.1. Определяют опорные реакции с помощью уравнений статики, например:

(7.3)

где z – ось балки; А, В – любые точки, лежащие на оси Z.

7.4.2. Балка разбивается на n участков. Границами участков будут сечения, в которых меняется характер нагрузки. Это сечения, где приложена сосредоточенная сила, пара сил, начинается или заканчивается распределённая нагрузка.

7.4.3. Для каждого участка по формулам (7.1) и (7.2) составляют в общем виде выражения Q и М в зависимости от текущей координаты z.

7.4.4. Для характерных сечений определяют значения Q и М. Эта операция может быть выполнена без составления выражений (7.1), (7.2). В этом случае для построения эпюр Q и М используют правила контроля эпюр, основанные на дифференциальных зависимостях:

(7.4)

7.4.5. С помощью значений Q и М, полученных в п. 7.4.4, строят эпюры этих усилий.

7.5. Подбор сечения

7.5.1. На основании эпюры М определяем опасное сечение.

Опасным сечением будет сечение, где изгибающий момент достигает максимального значения по абсолютной величине │М│_макс

7.5.2. Определяют расчётный момент сопротивления сечения изгибу:

(7.5)

7.5.3. Подбирают размеры сечения из условия

(7.6)

а) для прокатных профилей – по сортаменту;

б) для непрокатных профилей – методом последовательных приближений или путём выражения W_x сечения через некоторый параметр размеров сечения по формуле

(7.7)

где I_x — момент инерции, y_макс — координата наиболее удаленной точки от нейтральной линии.

7.7. Правила контроля эпюр Q и М

(правила сформулированы для построения эпюр слева направо и на растянутом волокне)

7.7.1. Если на границе участка приложена сосредоточенная сила, то:

а) на эпюре Q в данном сечении должен быть скачок на величину данной силы в направлении её действия;

б) на эпюре М в данном сечении будет излом, остриём направленный в сторону действия силы.

а) Р =10кН

q₂ = 20кН/м 4

1 2 3

2q₃ = 4кН/м

а = 2м а = 2м а = 2м

б) Q, кН

10

42

50 172

80

20

в) М, кН^.м

7.7.2. Если на участке не действует равномерно распределённая нагрузка q = 0, то:

а) эпюра Q представляет собой прямую, параллельную базовой линии;

б) эпюра М представляет собой прямую, наклонную к базовой линии.

7.7.3. Если на участке действует равномерно распределённая нагрузка q ≠ 0, то:

а) эпюра Q представляет собой прямую, наклонную к базовой линии, причём если q направлена сверху вниз, то Q убывает и наоборот;

б) эпюра М представляет собой кривую второго порядка (парабола), выпуклостью направленную в сторону действия q.

7.7.4. Если в каком-либо сечении Q равна 0, то на эпюре М в этом сечении будет экстремум, причём если Q меняет знак с (+) на ( - ) , то это максимум и наоборот.

7.7.5. Если на границе участка приложен сосредоточенный момент, то на эпюре М в данном сечении будет скачок на величину этого момента.

7.7.6. Если на участке Q > 0, то на эпюре М положительная ордината возрастает, отрицательная убывает, если Q < 0, то на эпюре М положительная ордината убывает, отрицательная возрастает.

7.7.7. Если крайняя опора или конец консоли не загружены моментом от пары сил, то изгибающий момент в данных сечениях равен нулю.

7.7.8. Если крайняя опора или конец консоли загружены моментом от пары сил, то изгибающий момент в данных сечениях равен по величине этому моменту.