67 |
|
|
|
|
σt = σmax = |
H γж D |
. |
||
δ |
2 |
|||
|
|
|||
Минимальные напряжения σt = 0 возникают вверху.
3. Меридиональные напряжения σm будут складываться из напряжений от веса жидкости, напряжений от веса стенок и днища емкости, напряжений от давления жидкости на исследуемом уровне и от давления газа выше жидкости, если таковое имеется (рис. 3.11). В данном случае для определений меридиональных напряжений в произвольном горизонтальном сечении емкости можно воспользоваться уравнением равновесия зоны. Используем уравнение равновесия зоны (3.45).
Угол наклона стенок емкости α = 0, cos |
. После упроще- |
|||||
ния уравнение будет иметь вид |
|
|
|
|
|
|
σm = |
q D |
+ |
Qж + Qp |
. |
|
|
|
|
|
|
|||
4 |
δ |
πD δ |
|
|||
|
|
|
|
|||
Для нахождения по этой формуле меридиональных напряжений необходимо знать вес жидкости Qж и вес отсеченной части емкости, то есть вес ее стенок и вес днища Qp.
|
|
q |
|
σm |
||
σm |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
H - z |
|
|
Qж |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Qp 
z
Рис. 3.15. Схема отсеченной части емкости
4. Вес жидкости будет определен при помощи следующего выражения
Qж = γж πD4 2 (H − z) .
68
5. Вес части емкости ниже рассматриваемого сечения
Q |
|
= g |
æ p D2 |
ö |
|
[p D (H - z)]d . |
|
р |
ç |
4 |
÷d + g |
ст |
|||
|
|
ст ç |
÷ |
|
|||
|
|
|
è |
|
ø |
|
|
6. Таким образом, уравнение зоны в развернутом виде будет выглядеть
|
|
|
g |
|
p D2 |
(H - z) + g |
æ p D2 |
ö |
|
[p D (H - z)]d |
||
|
|
|
ж |
|
ç |
|
÷d + g |
ст |
||||
|
(gж z) D |
|
|
4 |
|
ст ç |
4 |
÷ |
|
|
||
sm = |
+ |
|
|
|
è |
ø |
|
|
. |
|||
4d |
|
|
|
|
|
p D d |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
7. С помощью полученной формулы можно рассчитать меридиональные напряжения sm в любой точке стенок емкости в зависимости от вертикальной координаты z. Проводя расчеты, легко убедиться, что
максимальные напряжения sm будут возникать вверху емкости, а минимальные, но все же не равные нулю, – внизу.
8. В связи с тем, что тангенциальные и меридиональные напряжения имеют максимальные значения в разных зонах емкости, необходимо просчитать и те, и другие напряжения в достаточно большом количестве точек по высоте. В каждой из точек необходимо находить эквивалентные напряжения по соответствующей теории прочности с целью определения максимального значения этих напряжений и сравнения с допускаемой величиной.
9. Для примера рассчитаем напряжения в одной из точек на глубине z = 2 м:
st = |
q D |
= |
z γж |
|
d 2 |
d |
|||
|
|
sm = (gж z) D + 4d
D |
= |
2 ×10 10 |
= 10000 кПа = 10 МПа. |
|
2 |
|
0,01 |
2 |
|
g |
|
p D2 |
(H - z) + g |
æ p D2 |
ö |
|
[p D (H - z)]d |
||
ж |
4 |
ç |
4 |
÷ d + g |
ст |
||||
|
|
ст ç |
÷ |
|
|
||||
|
|
|
|
è |
|
ø |
|
|
= |
|
|
|
|
|
p D d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
69 |
|
|
|
|
= |
(10 × 2)10 |
+ {10 |
3,14 ×102 |
(5 - 2) + 78 |
æ |
3,14 ×102 |
ö |
0,01+ |
|
4 |
× 0,01 |
4 |
ç |
4 |
÷ |
||||
|
|
|
ç |
÷ |
|
||||
|
|
|
|
|
|
è |
|
ø |
|
+ 78[3,14 ×10 × (5 - 2)]× 0,01}/(3,14 ×10 × 0,01) =12900 кПа = 12,9 МПа.
Элементарный параллелепипед, вырезанный вокруг исследуемой точки, наиболее удобно проверить по IV теории прочности (3.11). На его гранях действуют главные напряжения: s1 = st = 10 МПа, s2 = sm= 8,2 МПа, s3 = 0 (рис. 3.15).
sэкв.IV. = 
12[(s1 - s2 )2 + (s2 - s3 )2 + (s3 - s1)2 ] =
=
12{[(+10) - (+13,32)]2 + [(+13,32) - (0)]2 + [(0) - (+10)]2} =
=9,44 МПа <[σ] = 160 МПа .
σm = σ2
σt |
|
σt = σ1 |
|
|
|
σm
Рис. 3.16. Вид напряженного состояния в точке
10. Имеется особенность в состоянии верхней точки емкости при координате z = 0. В ней отсутствуют тангенциальные напряжения, а меридиональные являются максимальными, при этом возникает не плоское напряженное состояние, а линейное. Напряжения равны:
70
σt = 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
g |
|
p D2 |
H + g |
æ p D2 |
ö |
|
(p D H) d |
|
|
|
||||
|
|
ж |
|
ç |
|
÷d + g |
ст |
|
2 |
|
||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
ст ç |
4 |
÷ |
|
|
3,14 ×10 |
|
|||
sm = |
|
|
|
|
|
|
è |
ø |
|
|
= [10 |
5 |
+ |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
p D d |
|
|
|
4 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
æ |
3,14 ×102 |
ö |
0,01 |
+ 78(3,14 ×10 × 5) 0,01]/(3,14 ×10 × 0,01) = |
|
|
||||||||||
+ 78ç |
|
|
|
4 |
÷ |
|
|
|||||||||
ç |
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 13085 кПа = 13,08 |
|
МПа. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Условие прочности для данной точки выполняется:
σm (при z = 0) = 13,08 МПа < [σ]= 160 МПа [σ] = 160 МПа
11. Дальнейшие расчеты сводим в таблицу
Таблица 3.1
Значения расчетных напряжений в различных точках
№ точки |
Координата |
st, |
sm, |
sэкв, |
|
точки z, м |
МПа |
МПа |
МПа |
1 |
0 |
0 |
13,08 |
13,08 |
2 |
1 |
5 |
13,01 |
11,37 |
3 |
2 |
10 |
12,92 |
11,73 |
4 |
3 |
15 |
12,85 |
14,57 |
5 |
4 |
20 |
12,77 |
17,54 |
6 |
5 |
25 |
12,69 |
21,65 |
Из табл. 3.1 видно, что наибольшие эквивалентные напряжения наблюдаются внизу стенок емкости, но они меньше допускаемых напряже-
ний: smax = 21,65 МПа < [s] = 160 МПа. Таким образом, условие прочности стенок емкости полностью удовлетворяется. Эпюры напряжений представлены на рис. 3.14.