18
Покажем решение основных задач сопротивления материалов для схемы, изображенной на рис. 2.2.
Пример 2.2.
Требуется определить площадь поперечных сечений стержней заданной системы. Проверить жесткость ее по вертикальному перемещению δmax любой точки системы.
|
M |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
30о |
K |
|
|
D |
O |
|
P |
1 |
|
|
B |
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
2a |
a |
а |
а |
Рис. 2.2. Заданная система
Применять: Е = 2×105 МПа, [σ] = 120 МПа, 1=0,5 м, 2 =1,0 м, Р=30 кН, [δ]=0,015 м.
Решение:
1. Построим план сил, рассмотрев основные тела системы АВ и ОД (рис. 2.3).
|
|
P |
N1 |
N2 |
YO |
|||||
XA A |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
XO |
|
|
B |
|
|
|
D |
К |
O |
||
|
|
YA |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.3. План сил
19
Если реакции неподвижных цилиндрических шарниров А и О направляем произвольно, считая их идеальными связями, то реакции стержней 1-го и 2-го стержня направляем в соответствии с тем, как работают эти связи. Из заданной схемы очевидно, что стержни 1 и 2 растянуты, поэтому реакции этих стержневых связей направляем от узлов О, Д, В (рис. 2.3).
2. Составляем уравнения равновесия тел АВ и ОД. Определяем N1 |
|||
и N2. |
|
|
|
å mA = 0, - P 2a + N1 |
3a = 0, N1 = |
2 |
30 = 20 кH, |
|
|||
|
3 |
|
|
å m0 = 0, N1 2a - N2 |
2a sin 30о = 0, N2 = 2 × 20 = 40 кH. |
||
Значения усилий оказались положительными, следовательно, предположение о работе стержней оказалось правильным. В соответствии с правилом знаков усилий в сопротивлении материалов принимает-
ся N1 |
= 20 кН, N2 = 40 кН. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
3. Подбираем сечения стержней из условия прочности |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
F |
³ |
N1 |
= |
20 ×103 |
|
= 1,67 ×10−4 м2 , |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
[s] |
120 ×106 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
F |
³ |
|
N2 |
= |
40 ×103 |
|
= 3,34 ×10−4 м2. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
[s] |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
120 ×106 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
4. Определяем абсолютные деформации стержней |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
N |
|
|
|
|
20 ×103 × 0,5 |
|
|
= 0,299 ×10−3 |
|
|
||||||
|
D 1 |
= |
1 1 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м, |
||||||
|
|
|
|
|
106 ×1,67 ×10−4 |
||||||||||||||
|
|
|
E1F1 |
|
2 ×105 × |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
D 2 |
= |
N2 |
2 |
= |
|
40 ×103 ×1,0 |
|
|
|
= 0,598×10 |
−3 |
м |
||||||
|
E2F2 |
2 ×105 |
×106 ×3,34 ×10−4 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Деформации |
|
1 и 2 положительны и представляют собой аб- |
||||||||||||||||
солютные удлинения стержней.
5. Построим план перемещений системы. Построение начинаем с перемещения ненагруженного тела ОД (рис. 2.4).
20
M
2
|
30о |
K |
2 |
|
D |
|
O |
|
D1 |
|
K′ |
|
|
K1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
A |
B |
|
|
|
|
|
|
|
B/ |
δmax |
|
|
1 |
|
|
|
B1 |
|
|
3a |
a |
|
a |
Рис. 2.4. План перемещений
Стержень ОD опускается вниз, вращаясь вокруг т. О. Траектории всех его точек являются дугами окружностей, в частности т. К перемещается по окружности радиусом ОК, т. D – по окружности радиусом ОD. В силу малости перемещений перемещение точки по дуге можно заменить перемещением по касательной к ней, то есть по перпендикуляру к радиусу поворота. Поэтому т. К вместе с ОКD перемещается по КK1. В то же время т. К принадлежит второму стержню. Относя ее ко второму стержню, мы можем перемещение ее считать результатом, вопервых, удлинения стержня на величину 2 (рис. 2.4) и, во-вторых,
поворота его вокруг узла M. Первая часть перемещения происходит по направлению стержня, вторая по дуге окружности, которую вновь мо-
жем заменить перпендикуляром к радиусу поворота К′M. Пересечение
К′M и КK1 устанавливает окончательное положение точки К1. После этого нетрудно найти т. D1.
Точка В перемещается вместе со стержнем ДВ на величину
ВВ/ = DD1. В заключение необходимо учесть удлинение первого стержня 1, в результате получаем окончательное положение т. В1 и
фиксируем δmax .
21
6. Из плана перемещений определяем δmax :
d |
max |
= BB/ + D |
1 |
= DD + D |
1 |
= |
2 2a |
+ D |
1 |
= |
|
||||||||||
|
|
1 |
|
sin 30° a |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= (0,598 × 4 + 0,299)10−3 = 0,269 ×10−2 м.
Проверяем жесткость по условию (2.7)
δmax ≤ [δ].
Так как dmax = 0,269×10-2 м < [d] = 0,015 м, то условие жесткости удовлетворяется.
2.3. Расчет статически неопределимых систем при растяжении и сжатии
Усилия в статически неопределимой системе невозможно определить из уравнений статики, так как количество неизвестных сил превышает число уравнений равновесия, которые можно составить для системы.
Статически неопределимыми являются системы, имеющие «лишние» связи. «Лишними» называют связи, при удалении которых система остается геометрически неизменяемой и статически определимой. Число «лишних» связей определяется как разность между количеством неизвестных реакций связей в конструкции и числом возможных независимых уравнений равновесия. Числом «лишних» связей определяется степень статической неопределимости системы. Реакции «лишних» связей являются избыточными неизвестными и для их определения кроме уравнений статики необходимо составить дополнительные зависимости.
В некоторых частных случаях количество лишних связей может быть уменьшено. Так, например, система, изображенная на рис. 2.5 формально имеет две лишних связи. Однако, если наклонные стержни 1 абсолютно одинаковы, то в силу одинаковых деформаций 1 этих
стержней их реакции N1 тоже будут одинаковы. Следовательно, эту систему фактически можно рассматривать как однажды статически не-