Ординаты линий влияния опорного момента для отношений

1-й пролет ()				2-й пролет ()				3-й пролет ()
	при				при				при
	0,8	0,5	0,3		0,8	0,5	0,3		0,8	0,5	0,3
0	–	–	–	0	0	0	0	1	0	0	0
0,2	0	–	–	0,2	0,04	0,075	0,06	0,8	0,03	-0,01	-0,005
0,4	0,04	–	–	0,4	0,06	0,095	0,09	0,6	0,04	-0,005	0
0,5	0,05	0	–	0,5	0,065	0,10	0,095	0,5	0,05	0	–
0,6	0,04	-0,005	0	0,6	0,06	0,095	0,09	0,4	0,04	–	–
0,8	0,03	-0,01	-0,005	0,8	0,04	0,075	0,06	0,2	0	–	–
1,0	0	0	0	1,0	0	0	0	0	–	–	–

Подобным образом могут быть построены линии влияния изгибающих моментов в других сечениях балки жесткости.

В качестве примера в табл. 3.3 приведены ординаты линий влияния моментов в середине среднего пролета для некоторых отношений.

Таблица 3.3

Ординаты * линий влияния момента в середине среднего пролета

1-й пролет ()				2-й пролет ()				3-й пролет ()
	при							при
	0,8	0,5	0,3		0,8	0,5	0,3		0,8	0,5	0,3
0	–	–	–	0	0	0	0	1,0	0	0	0
0,1	–	–	–	0,1	0,02	-0,005	-0,01	0,9	0,005	-0,005	0,002
0,2	0	–	–	0,2	0,04	-0,01	-0,02	0,8	-0,02	-0,01	0,005
0,3	–0,02	–	–	0,3	0,06	-0,01	-0,02	0,7	-0,04	-0,015	0
0,4	–0,035	–	–	0,4	0.10	0,01	0,01	0,6	-0,045	-0,01	–
0,5	–0,045	0	–	0,5	0,13	0,05	0,04	0,5	-0,045	0	–
0,6	–0,045	–0,01	–	0,6	0,10	0,01	0,01	0,4	-0,035	–	–
0,7	–0,040	–0,015	0	0,7	0,06	-0,01	-0,02	0,3	-0,02	–	–
0,8	–0,1020	–0,01	0,005	0,8	0,04	-0,01	-0,02	0,2	0	–	–
0,9	0,005	–0,005	0,002	0,9	0,02	-0,005	-0,01	0,1	–	–	–
1.0	0	0	0	1.0	0	0	0	0	–	–	–

* к ординатам вводится множитель .

Построение линий влияния поперечных сил аналогично построению линий влияния изгибающих моментов, т. е. в соответствии с формулой

, (3.55)

где – ордината линии влияния простой неразрезной балки;– величина поперечной силы, возникающей под влиянием натяжения кабеля от единичной силы.

Для безраспорной трехпролетной висячей системы с неразрезной балкой, когда криволинейные оттяжки не заделаны в устоях, а закреплены на концах балки, выводы и формулы, изложенные выше, несколько изменяются. Это связано с тем, что при загружении такой системы в балке помимо изгибающего момента возникает сжимающее усилие, равное натяжению кабеля (распору). Основы расчета остаются те же, что изложены для распорных систем.

Ординаты линии влияния распора находятся по известной формуле , в которой определяется с учетом деформации от обжатия балки жесткости:

, (3.56)

где – моменты и осевые усилия в балке от нагрузкиН = 1, – усилия в кабеле, оттяжках, подвесках и пилоне,– площадь поперечного сечения балки;– площади поперечного сечения кабеля, оттяжек, подвесок, пилона;– длина (высота) элементов;– момент инерции балки (3.14).

Раскроем составляющие формулы (3.56). Тогда (см. рис. 3.10, а):

• для кабеля среднего пролета

; (3.57)

• для кабелей (оттяжек) двух крайних пролетов приближенно по формуле (3.57) с заменой нанаи натяженияН = 1 – на

; (3.58)

• для подвесок, учитывая, что усилия в них одинаковые

; (3.59)

• для пилонов

; (3.60)

• для балки жесткости при ее обжатии

; (3.61)

• для балки жесткости при ее изгибе – по формуле (3.41).

Cуммируя величиныи учитывая, чтосоставляет наибольшую часть величиныможно записать

, (3.62)

где корректирующий коэффициент, пределы изменения которого можно принять с запасом от 1,0 до 1,20.

Определение аналогично рассмотренному выше для трехпролетной распорной системы с неразрезной балкой [формулы (3.43), (3.44)]. Далее находятся линии влияния натяжения кабеля, т. е. сжимающего усилия в балке.

Расчеты характеристик линий влияния изгибающих моментов и поперечных сил неразрезной балки жесткости производятся также по аналогии с рассмотренными выше для распорной системы.

Другая особенность системы с воспринятым распором заключается в том, что распор от равномерного изменения температуры для всех элементов системы равен нулю. При разнице температур между балкой и кабелем распор определится по формуле

, (3.63)

где  = 0,000012 град^–1; t = 10…15 С; – осевые усилия в кабеле, подвесках, оттяжках, пилонах; – длины указанных элементов системы; – значение по формуле (3.62).

Равномерная нагрузка от , передаваемая через подвески на балку жесткости, составит

. (3.64)

Используя расчетную схему балки, соответствующую рис. 3.10, б, при замене нагрузкиqна, найдем изгибающие моменты в балке от, используя выражения (3.38), (3.39), (3.40). Тогда

• изгибающий момент в опорных сечениях

; (3.65)

• изгибающий момент в произвольном сечении среднего пролета

; (3.66)

• изгибающий момент в произвольном сечении крайних пролетов

. (3.67)

Следует иметь в виду, что совместное воздействие временной нагрузки и температуры учитывается коэффициентами сочетания нагрузок = 0,8 и= 0,7, т. е. имеют место условия:

; .

Прогибы неразрезной балки можно определить по линии влияния.

Пусть точка Анаходится в среднем пролете. Отделяем средний пролет балки жесткости сечением на опоре от боковых пролетов и освобождаем от действия кабеля, т.е. рассматриваем простую разрезную балку длиной(рис. 3.13).

Рис. 3.13. Схема к определению прогибов в балке-аналоге

На изолированную балку оказываются следующие воздействия:

• от временной нагрузки  в пределах пролета ;

• от опорных моментов m₁ и m₂, возникающих в системе от нагрузки ;

• от распора кабеля в виде нагрузки .

Каждое из этих воздействий вызывает тот или иной прогиб. Суммируя их, можно получить искомую величину прогиба.

Ордината прогиба точкиАот действия распораН, вызываемого грузомР= 1, стоящим в точкеi, равна ординателинии влияния распора, взятой под грузом, умноженной на ординатулинии влияния распора, взятую под точкойА.Последняя ордината есть прогибточкиАотН= 1, если ее умножить накоторая находится по (3.62), тогда

.

Для точки Авеличина в скобках – постоянная. Значит линия влияния прогиба отНизображается линией влиянияН, но со своим масштабом.

Для прогибов балки от действия опорных моментов используются следующие формулы:

• от действия m₁ = 1 на левой средней опоре прогиб в левом пролете:

,

где сечение задается от левой опоры крайнего пролета;

• прогиб в среднем пролете

,

где сечение задается от правой опоры среднего пролета.

В этих формулах: – величина крайнего пролета, а величина среднего пролетавыражена зависимостью.

Действие момента m₂= 1 на правой средней опоре симметрично прогибу балки от действияm₁= 1. От распределенной нагрузки, одинаковой для трех пролетов, и приимеем

.

Для вертикальной нагрузки линия влияния прогиба для случая, когдавыразится уравнениями упругой линии при нахождении грузаР= 1 на расстоянииаот левой опоры ив– от правой:

• от левой опоры до

;

• от Р = 1 до правой опоры

.

Определив площади и знаки линий влияния прогибов от соответствующих воздействий и произведя их загружение и суммирование, получим значения прогибов в рассматриваемых сечениях балки жесткости.

3.3.4. Приближенный расчет висячих систем по деформированной схеме

При выводе формул для расчета висячих систем с балкой жесткости не учитывались изменения размеров висячей системы от влияния деформаций, обусловленных временной нагрузкой. При малой высоте балки жесткости деформации получаются значительными, а их влияние на усилия в элементах висячего моста становится ощутимым. Уточненный расчет, учитывающий влияние деформаций кабеля, показывает, что изгибающие моменты в балке оказываются меньшими, чем при расчете без учета деформаций.

На практике реализуется несколько подходов, связанных с приближенным расчетом висячих систем по деформированной схеме.

В качестве одного из них используется способ, основанный на применении корректирующих коэффициентов, учитывающих геометрическую нелинейность в работе висячих систем под нагрузкой. Эти коэффициенты вида вводятся к усилиям и прогибам балки жесткости для однопролетных висячих систем, полученным при их расчете по недеформированной схеме. Эти же коэффициенты можно использовать и для трехпролетных висячих систем с балкой жесткости (распорных и безраспорных) в центральном пролете.

В общем виде усилие (прогиб) при учете деформаций системы получит следующее выражение

. (3.68)

Величина корректирующих коэффициентов определяется по графикам (см. рис. 3.3) в зависимости от значений коэффициента Д[формула (3.7)]. При выражении коэффициента деформативности в виде

(3.69)

корректирующие коэффициенты принимаются по графикам (рис. 3.14).

Рис. 3.14. Кривые поправочных коэффициентов К_Д: 1 – для изгибающих моментов в четверти пролета; 2 – то же для середины пролета; 3 – для поперечной силы в опорном сечении балки; 4 – для прогиба в четверти пролета

Корректирующий коэффициент для распора имеет выражение

, (3.70)

где – провис кабеля в середине пролета от временной нагрузки, определяемый по формуле (3.9) для гибких висячих систем.

Для систем с балкой жесткости корректирующий коэффициент, учитывающий уменьшение распора за счет деформации кабеля и связанного с этим изгиба балки, определяется из условия , где– параметр, определяемый по формулам:

• в однопролетных мостах

(3.71)

при обычных отношениях геометрических размеров ;

• в трехпролетных мостах:

a) при загружении всех пролетов по формуле (3.71);

б) при загружении среднего пролета

; (3.72)

в) при загружении крайнего пролета

; (3.73)

при обычных отношениях геометрических размеров и;;.

Здесь – длина пролетов соответственно для однопролетных и трехпролетных систем;– стрелки провиса кабеля в соответствующих пролетах;– модуль упругости для балки и кабеля;момент инерции балки;площадь сечения кабеля;длина отдельных участков кабеля;– угол наклона участков кабеля к горизонту.

Выражение для распора с учетом деформации кабеля получит вид , а скорректированные значения усилий при деформированной схеме определятся по формулам (3.12).

При учете геометрической нелинейности необходимо учитывать неравномерное распределение усилий между подвесками по длине пролета. Усилия в подвесках от временной нагрузки в загруженной и незагруженной зонах пролета могут отличаться в 2…3 раза. Максимальное расчетное усилие в подвесках на 20…30 % больше, чем это следует из обычно используемого допущения о сохранении параболического очертания кабеля в деформированном состоянии [4]. Такую неравномерность следует учитывать при назначении площади сечения подвесок, особенно при расчетах на выносливость. Можно принять .

Рассмотрим другой способ приближенного расчета по деформированной схеме [6]. Однопролетная висячая система с балкой жесткости (рис. 3.15) загружена постоянной распределенной нагрузкой g, которая передается на кабель. Натяжение кабеля . Загружается весь пролет временной нагрузкой интенсивностью, при этом часть нагрузки передается на кабель , а другая часть – на балку жесткости, т.е..

Рис. 3.15. К расчету висячей системы по деформированной схеме: а – расчетная схема; б – линии прогиба балки (1) и кабеля (2); в – линии прогиба балки и кабеля при двух точках совместности (3)

При дополнительном загружении натяжение кабеля возрастает до Н₁. Усилие в оттяжках увеличится наи от этого произойдет их удлинение на величину. Это удлинение сопровождается смещением опорной точки кабеля на величину. Соответственно пролет кабеля уменьшается на.

Под влиянием изменившегося натяжения кабель удлиняется на величину . Составляется уравнение деформации кабеля на участке между пилонами:

. (3.74)

Входящие в выражение (3.74) составляющие равны:

; ;

; ;– определены выше.

Здесь – величина, на которую увеличилась стрелка провиса кабеля от временной нагрузки. Подстановка всех этих значений в выражение (3.74) и необходимые преобразования и допущения дадут:

. (3.75)

Подставив в (3.75) значения ,, произведем преобразования:

.

Пренебрегая величиной по сравнению с, получим следующее выражение для дополнительного провиса кабеля в середине пролета

. (3.76)

На балку жесткости действует нагрузка . Отсюда прогиб балки в середине пролета составляет

. (3.77)

Однако в этом случае условие совместности деформаций удовлетворяется только в середине пролета, что видно из рис. 3.15, б, где сплошной линией показана линия прогиба балки (парабола четвертой степени), а пунктирной – линия провиса кабеля (квадратная парабола). В остальных точках условия совместности не удовлетворяются. Значительно перемещения разнятся примерно в четверти пролета.

Если исходить из условия равенства друг другу площадей, ограниченных двумя линиями прогибов кабеля и балки (рис. 3.15, в), то условия совместности совпадут в двух точках, и расхождения в других точках будут меньше. Тогда площадь, ограниченная линией провиса кабеля (квадратная парабола), составит

.

Площадь, ограниченная линией прогиба балки, составит

.

Приравнивая и, получим

. (3.78)

Сравнение значений , определяемых по формулам (3.77), (3.78), показывает, что их отличие не превышает 4%. Решая совместно уравнения (3.76) и (3.78), получим

. (3.79)

В этой формуле первое слагаемое знаменателя невелико по сравнению с двумя другими. Поэтому можно пользоваться упрощенным выражением:

. (3.80)

Из формулы (3.78) получим

. (3.81)

В выражениях (3.80), (3.81) значения ,определяются на основании выполнения расчетов по недеформированной схеме.

Установив величины ипо формулам (3.81), можно определить натяжение кабеляусилия в кабелеоттяжкахподвескахи балке жесткостиследующим образом:

1. натяжение кабеля от постоянной нагрузки интенсивностьюg ;

2. дополнительный провис кабеля в середине пролета от временной нагрузкипри загружении всего пролета по формуле (3.80);

3. и по формулам (3.81);

4. фактическое натяжение кабеля с учетом временной нагрузки

; (3.82)

5. усилия в элементах висячей системы:

• максимальное усилие в кабеле ;

• усилие в оттяжке ;

• усилие в подвеске ;

• усилие в пилоне ;

6. изгибающий момент в середине пролета балки .

Расчет системы при загружении полупролета производится в два этапа. На первом этапе загружается весь пролет временной нагрузкой (рис. 3.16, а) и определяются прогиб середины кабеля по формуле (3.80), натяжение кабеляпо формуле (3.82) и стрела кабеля.

Тогда можно принять и.

Рис. 3.16. К расчету висячей системы по деформированной схеме в четверти пролета: a – на первом этапе загружения; б – на втором этапе загружения

На втором этапе к системе прикладывается обратно симметричная временная нагрузка , направленная на левом полупролете вниз и на правом – вверх. Рассматривается левый полупролет как самостоятельная система в виде балки на двух опорах с пролетом(рис. 3.16,б).

При таком загружении на кабель передается нагрузка , на балку –;. Стрелка кабеля полупролета(рис. 3.16,а) увеличилась и стала равной. Тогда

. (3.83)

Стрелка увеличилась на величину , равную прогибу полубалки

. (3.84)

Величина имеет выражение:

. (3.85)

Общий прогиб балки жесткости в четверти пролета составит

. (3.86)

Действующие нормы проектирования мостов [10] ограничивают не абсолютные перемещения какой-либо точки пролетного строения, а сумму zабсолютных перемещений данной точки вверх и вниз. При загружении полупролета временной нагрузкой балка получаетS-образный прогиб, при котором амплитуда перемещения составит

. (3.87)

Изгибающий момент в балке в четверти пролета определится как

. (3.88)

Интерпретация изложенного выше способа раздельного учета временной нагрузки для кабеля и балки может быть рассмотрена для трехпролетной распорной (безраспорной) висячей системы с равными боковыми пролетами и неразрезными балками, имеющими одинаковую жесткость.

Трехпролетная неразрезная балка-аналог (рис. 3.17, а) загружена временной нагрузкойи осевой силой. Такая система дважды статически неопределима. Основная система выбрана в виде трехпролетной балки с шарнирами над средними опорами; лишние неизвестные – опорные моментыm₁иm₂(рис. 3.17,б).

Рис. 3.17. К расчету трехпролетного моста с неразрезными балками жесткости: а – балка-аналог; б – основная система балки-аналога; в – схема к определению усилий и прогибов балки-аналога; г – эпюра моментов в балке; д – эпюра прогибов балки

Рассмотрим основной пролет (рис. 3.17, в), загруженный нагрузкойи моментамиm₁иm₂. Нагрузка определяется из условия

, (3.89)

где – полная интенсивность временной нагрузки;– коэффициент распределения, учитывающий ее долю, приходящуюся на кабель по выражению (Г.П. Передерий):

, (3.90)

где – момент инерции балки жесткости и площадь сечения кабеля, определенные по недеформированной схеме; – стрела провиса кабеля в среднем пролете ;– длина оттяжки; – угол ее наклона к горизонту; К – коэффициент, принимаемый в зависимости от отношения :

	1/4	1/4,5	1/5	1/5,5
К	3,123	3,491	3,841	4,206

Опорные моменты m₁иm₂находятся () по формуле

. (3.91)

Максимальные моменты в пролетах:

• средний пролет ;

• боковые пролеты .

Прогиб балки жесткости в центре среднего пролета:

. (3.92)

От действия временной нагрузки появляются горизонтальные продольные перемещения кабеля и продольное усилие в балке (распорные системы). Причина появления продольных сил в балке – кинематические свойства кабеля, горизонтальные движения которого приводят к перекосу подвесок. Если балка имеет на одном конце пролета неподвижную опорную часть, то горизонтальные перемещения и продольные усилия достигают максимумов при одностороннем загружении временной нагрузкой примерно половины пролета. Если временная нагрузка занимает полупролет со стороны подвижной опорной части, то балка растянута, если со стороны неподвижной – сжата.

Наибольшая по модулю продольная сила в балке находится по формуле [4]

, (3.93)

где – среднее горизонтальное перемещение кабеля;g – полный вес балки жесткости и расчетной временной нагрузки, для которой определена ;– стрелка кабеля, взятая на длине пролета балки;– длина самой короткой подвески.

Среднее горизонтальное перемещение кабеля при наличии на одном конце балки неподвижной опорной части определяется с помощью выражения [4]:

, (3.94)

или упрощенно по формуле

.

Здесь – пролет и стрелка кабеля;– прогибы балки в загруженной четверти и в середине пролета от временной нагрузки на половине пролета;– распор от временной нагрузки;– приведенная длина кабеля, включая оттяжки;– жесткость кабеля.

Продольная сила передается на неподвижную опорную часть и соизмерима с тормозной силой. При расчетах эти силы учитываются совместно (дополнительное сочетание нагрузок).

Если неподвижная опорная часть отсутствует, то

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Дайте общую характеристику аналитических методов деформационного расчета висячих мостов.

2. Приведите расчет гибких висячих мостов без учета деформаций.

3. Приведите расчет гибких висячих мостов по деформированной схеме.

4. Назовите основные положения расчета однопролетных висячих систем с балками жесткости по недеформированной схеме.

5. Назовите основные положения расчета трехпролетных распорных висячих систем с неразрезной балкой жесткости по недеформированной схеме.

6. Назовите основные положения расчета трехпролетных безраспорных висячих систем с неразрезной балкой жесткости по недеформированной схеме.

7. Назовите основные положения и способы приближенного расчета висячих систем с балкой жесткости по деформированной схеме.