Характеристики линий влияния усилий в элементах

Наименование усилия	Выражение ординат линий влияния	Площади линий влияния, м
Усилие в кабеле
Усилие в оттяжке
Усилие в подвеске
Усилия в пилонах

Выражение для ординаты линии влияния изгибающего момента в любом сечении балки жесткости может быть записано в общем виде как сумма двух ординат , где:– ордината линии влияния момента для простой разрезной балки;– ордината провиса кабеля, пропорциональная, т. е.

.

Таким образом, для сечения в середине пролета (см. рис. 3.7, в)

, (3.19)

а площадь положительного участка ; для сечения в четверти пролета, а площади участков линии влияния

Выражение ординат линии влияния для поперечной силы в любом сечении

Для четверти пролета Площади положительных участков линий влияния поперечных сил в балке (см. рис. 3,7,в):

• в четверти пролета при;

• в середине пролета при;

• в опорном сечении при.

Расчетные усилия в элементах висячей системы при основном сочетании нагрузок определяются общепринятым способом

(3.20)

где g – суммарная расчетная постоянная нагрузка с коэффициентами надежности [10]; – временная нагрузка с коэффициентами надежности , полосности загружения, динамическим;– площадь линии влияния усилий.

В случае, когда пилон имеет не шарнирное, а жесткое закрепление на опоре, можно полностью использовать все полученные выше формулы, приняв значение = 1,0…1,05. Это связано с тем, что горизонтальная составляющая усилия в оттяжке частично воспринимается жестко закрепленным пилоном. Вследствие этого снижаются деформации (удлинения) оттяжек, а также горизонтальные перемещения вершин пилонов, что приводит в итоге к уменьшению.

Следует учитывать, что кроме воздействия вертикальных нагрузок, в элементах висячего моста возникают усилия от изменения температуры. Однако в кабеле, оттяжках, подвесках и пилонах эти усилия невелики, поэтому ими можно пренебречь и подбирать сечения только по усилиям от временной и постоянной нагрузок. Кроме того, совместный учет временной нагрузки и воздействия температуры (особое сочетание нагрузок) осуществляется с применением коэффициентов сочетания = 0,8 и= 0,7, что всегда дает суммарное усилие меньшее, чем усилие от временной нагрузки при= 1,0 (основное сочетание).

Иначе обстоит дело с балкой жесткости. Изменение температуры может вызвать в ней значительные изгибающие моменты, поэтому пренебрегать ими нельзя. Изгибающий момент в середине пролета от изменения температуры можно определить, исходя из равенства провиса кабеля в этом сечении от изменения температуры, определяемого по формуле (3.10), и прогиба балки от изменения температуры

. (3.21)

Приравнивая правые части выражений (3.10) и (3.21), получим

. (3.22)

Здесь = 0,000012 град^–1– коэффициент линейного удлинения для стали;= 40С;– приведенная длина кабеля и оттяжек;момент инерции балки жесткости.

Изгибающий момент в четверти пролета от изменения температуры

(3.23)

Суммарный изгибающий момент в четверти пролета, возникающий от воздействия временной нагрузки и изменения температуры

. (3.24)

Для определения необходимо знать момент инерции балкикоторый следует предварительно определить по формуле (3.14). Тогда можно произвести сравнениеси наибольшее значение принять к расчету на прочность металлической балки жесткости.

Переходя к напряжениям, можно записать

. (3.25)

Учитывая, что ,,= 0,8 и= 0,7 получим

(3.26)

Тогда из формулы (3.26) следует

. (3.27)

Далее момент инерции (3.27) сравнивается с моментом инерции(3.14), и наибольшее значение принимается к расчету.

Поперечные силы, возникающие по длине балки от изменения температуры, определяются зависимостью

, (3.28)

где – распор в кабеле от повышения температуры на величину= + 40С; остальные обозначения рассмотрены выше.

Значения поперечных сил по сечениям балки жесткости получат следующие выражения:

• при х = 0 ;

• при х = 0,25;

• при х = 0,5 ;

• при х = .

Суммарная величина поперечной силы в сечениях по длине пролета от воздействия постоянной и временной нагрузок и от изменения (повышения) температуры в общем виде выразится:

• при основном сочетании нагрузок

; (3.29)

• при дополнительном сочетании

(3.30)

Наибольшее значение принимается к дальнейшим расчетам.

Деформации висячих систем с балкой жесткости находятся построением линий влияния ее прогибов: на основании теоремы о взаимности перемещений от действия единичной вертикальной силы Р = 1. При ее приложении в кабеле возникает натяжение, равное ординате линии влияния в рассматриваемом сечении, т. е. В результате кабель воздействует на балку равномерно распределенной и направленной вверх нагрузкой, равной

В соответствии с принятой схемой загружения (рис. 3.8) можно получить следующие выражения для построения линии влияния прогиба.

Для линии влияния прогиба в середине пролета балки (рис. 3.8, а)

.

При ,,х/l=получим

. (3.31)

Рис. 3.8. Расчетные схемы и линии влияния прогибов балки жесткости для однопролетных висячих систем: a – для сечения в середине пролета; б – то же в четверти пролета

Характер линий влияния при= 1,0 и 1,05 показан на рис. 3.8,а. Видно, что при= 1,0 линия влияния имеет отрицательные участки. Наибольшее значение ординаты положительного участка при= 1,0 составляет; длина участка= 0,4l₀и его площадь. Прогиб балки жесткости в середине пролета от временной нагрузки интенсивностьюсоставит:

(3.32)

Для линии влияния прогиба в четверти пролета имеем (рис. 3.8, б):

• для левого участка

; (3.33)

• для правого участка

. (3.34)

Характер линий влияния при= 1,0 и 1,05 показан на рис. 3.8,б. Наибольшее значение ординаты положительного участка при= 1,0 составляет; длина участкаи его площадь. Прогиб балки в четверти пролета

. (3.35)

Сравнение ипоказывает, что наибольший прогиб возникает не в середине, а в четверти пролета. Учитывая, что жесткость конструкции оценивается по амплитуде перемещений точек балки, имеем

. (3.36)

Полученные значения сравниваются с допустимым прогибом [z], определенным нормами [10]:

. (3.37)

При несоблюдении условия (3.37) необходимо увеличить момент инерции балки жесткости, используя выражение

.

3.3.3. Расчет трехпролетных висячих систем по недеформированной схеме

Расчет трехпролетных висячих мостов с балкой жесткости принципиально не отличается от расчета однопролетных.

Рассмотрим, например, систему без подвесок в крайних пролетах (рис. 3.9, а). Балка жесткости разрезная, но отдельные пролеты сопряжены друг с другом над опорами шарнирами, с помощью которых балка способна воспринимать горизонтальную составляющую усилий в кабеле.

Эта система один раз статически неопределима при шарнирном опирании пилонов на опору. В качестве неизвестного принято натяжение Н кабеля (рис. 3.9, а), которое как и в однопролетной системе, составляет –. При этомотличается от той же величины для однопролетной системы только тем, что интегрирование и суммирование распространяется на все три пролета, т. е. приходится учитывать деформации коротких оттяжек, прикрепленных к концам балок, и деформации сжатия самих балок во всех трех пролетах. Выражениетакое же, как для однопролетной системы. Следовательно, и характер линии влияния натяжения кабеля (распора) не отличается от линии влияния в однопролетной системе (рис. 3.9,в).

Рис. 3.9. К расчету трехпролетных висячих систем: а – заданная и основная системы при разрезной балке жесткости; б – то же при неразрезной балке жесткости; в, д – характер линий влияния распора для случаев а, б; г – загружение балки жесткости усилиями в подвесках

Если балка жесткости неразрезная (рис. 3.9, б), система трижды статически неопределима и имеет три лишних неизвестных. При расчете можно в качестве этих неизвестных принять натяжение кабеляХ₁, моментыХ₂иХ₃над промежуточными опорами (рис. 3.9,б).

Чтобы выяснить характер линии влияния Х₁, приложим пару силХ₁= 1 в разрезе кабеля. Тогда в подвесках возникнут усилия, которые можно заменить распределенной нагрузкой(рис. 3.9,г). Линия прогиба неразрезной трехпролетной балки (рис. 3.9,д) будет характеризовать линию влияния натяжения кабеля. В свою очередь линия влияния натяжения кабеля является и линией влияния сжатия балки в любом ее сечении.

Для определения усилий в произвольном сечении балки жесткости используют линию влияния нормальной силы (рис. 3.9, д) и линию влияния момента, построение которой будет рассмотрено ниже.

Рассмотрим распорную систему (рис. 3.10, а). В этой системе в пределах крайних пролетов расположены криволинейные оттяжки с подвесками при значении. Балка жесткости неразрезная, а пилоны имеют шарнирное опирание на опоры. Система трижды статически неопределима. Постоянная нагрузка по всей длине пролетного строения одинакова и равнаg. Следовательно, на кабель во всех трех пролетах должна передаваться эта нагрузка.

Рис. 3.10. К расчету трехпролетной висячей системы с неразрезной балкой жесткости: a – заданная и основная системы; б – основная система для балки жесткости

К расчету этой системы можно подойти следующим образом – не превращать ее в статически определимую, ограничиваясь только разрезом кабеля (рис. 3.10, а). Полученная система представляет собой трехпролетную неразрезную балку в комбинации с кабелем, загруженную по всей длине нагрузкой Балка представляется разделенной на три отдельных пролета, на концах каждого приложены моменты(рис. 3.10,б). Для построения линии влияния натяжения кабеля используется линия влияния распора

где, как и выше, – перемещение сечения в произвольной точке А неразрезной балки от пары силН = 1 (рис. 3.10, а); – сближение концов рассеченного кабеля от той же пары.

Определяют по формуле (3.16), используя частично выводы для однопролетной системы.

Для нахождения есть выражение для изгибающего момента:

. (3.38)

Изгибающий момент в произвольном сечении среднего пролета

. (3.39)

Изгибающий момент в произвольном сечении крайних пролетов

. (3.40)

Возведя эти величины в квадрат, заменив величину qее значениеми произведя интегрирование по всем трем пролетам, получим

. (3.41)

Для определения необходимо просуммировать величины ,. Здесь как и в однопролетной системе наибольший удельный вес имеет слагаемое, поэтому

, (3.42)

где величина  тоже мало отличается от единицы.

Рассмотрим определение величины которая представляет собой прогибы балки жесткости от влияния нагрузки, показанной на рис. 3.10,б. Эти прогибы находят аналитически, знаяqи

После составления и интегрирования дифференциальных уравнений, определения произвольных постоянных и замены иполучим уравнения прогиба:

• для крайнего пролета

; (3.43)

• для среднего пролета

. (3.44)

Для получения линии влияния натяжения (распора) кабеля достаточно разделить величину на .Полученные значения представляют собой ординаты линии влияния.

Площади линий влияния для натяжения кабеля определяются интегрированием или их можно подсчитать по выражению [6]:

, (3.45)

где – площадь линии влияния при комбинациях загружения пролетов, определяемая по графикам (рис. 3.11). Далее устанавливается величина распора и значения усилий

Рассмотрим линии влияния изгибающих моментов в балке. Ординаты этих линий влияния могут быть выражены формулой

, (3.46)

где – ордината линий влияния для простой неразрезной балки;С – некоторый постоянный коэффициент, зависящий от места сечения и показывающий величину изгибающего момента от натяжения цепи Н = 1.

Ординаты определяются по таблицам или аналитически в основной системе, показанной на рис. 3.12,а. На опоре 1 приложен момент= 1. Величины находят как.

Определяется момент на опоре 2 по выражению. Тогда

. (3.47)

Рис. 3.11. Графики вида :1 – при загружении бокового пролета; 2 – при загружении среднего пролета; 3 – при загружении трех пролетов

Рис. 3.12. К определению линий влияния в балке жесткости: а – основная система; б – линия влияния опорного момента

Для определения прогибов составляются и интегрируются дифференциальные уравнения на трех участках балки:

• для первого участка

; (3.48)

• для второго участка

; (3.49)

• для третьего участка

. (3.50)

Для частного случая при по формуле (3.47) имеем

.

Разделив на эту величину перемещения , получим ординаты линии влияния момента на левой опоре для простой неразрезной балки (рис. 3.12,б). Тогда при,для трех участков они равны:

(3.51)

По этим формулам для разных сечений балки определяются величины слагаемых формулы (3.46).

Второе слагаемое формулы (3.46) находится следующим образом. При расположении груза Р= 1 на балке ордината линии влияния натяжения кабеля равнаЭтому натяжению соответствует направленная вверх по всей длине балки равномерно распределенная нагрузкаq. Выше было установлено (3.38), что при натяженииН = 1такая нагрузка вызывает на опоре момент. В рассматриваемом случае натяжение равно, следовательно,

. (3.52)

Ординаты можно вычислить так, как это было показано выше, или умножением ординат (табл. 3.2) на множитель. Тогда момент (слагаемое ординаты линии влияния момента от действия натяжения кабеля) будет равен:

, (3.53)

где определяется по формуле (3.41).

Сделав соответствующие подстановки в формулу (3.53) при и произведя сокращения, получим

. (3.54)

Далее производится алгебраическое суммирование ординат ипо отдельным пролетам и строится искомая линия влияния опорных моментов в балке.

Таблица 3.2