Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Дальневосточный Государственный Университет Путей Сообщения

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

var_16_zad_1-8_12-20

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.04.2015

Размер:

142.56 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

1. x1 + y2 + yy¢1 + x2 = 0

= -x

- уравнение с разделяющимися переменными.

1 + x2

1 + y2

dy = -x

1 + x2

1 + y2

ydy

= -

xdx

1 + y2

1 + x2

∫

2 ydy

= -

∫

2xdx

1 + y2

1 + x2

× 2

= -

× 2

+ C

1 + y2

1 + x2

= C -

- общее решение.

1 + y2

1 + x2

= -ctgx sin ydy,

= π

уравнение

cos2

x cos y

разделяющимися переменными.

= sin y cos ydy

cos2 xctgx

sin 2 ydy = -

tgxdx

cos2 x

∫ sin 2 ydy = ∫

tgxdx

cos2 x

Вычислим 2-ой интеграл отдельно:

∫

tgxdx

t = tgx

= ∫ tdt =

t 2

+ C =

tg 2t

+ C;

dt =

cos x

cos2

Вернемся к уравнению:

cos 2 y

tg 2t

cos 2 y = 2tg 2 x + C - общее решение.

Подставим начальное условие:

cos 2π = 2tg 2 π + C

1 = 2 × (

)2 + C

C = -5.

Тогда частное решение имеет вид: cos 2 y = 2tg 2 x − 5 .

	′		y2		y
3. y	′	= x2		− x - однородное уравнение
3. y		= x2		− x - однородное уравнение

Пусть y = t , тогда y = tx , y′ = t′x + t . Подставляя в уравнение, получим: x

t′x + t = t 2 − t

x dt = t 2 − 2t dx

t 2 −

∫

= ∫

t 2

− 2t

Вычислим 1-ый интеграл отдельно:

∫

= ∫

t −1 −1

+ C =

t − 2

+ C;

t 2

− 2t

t 2

− 2t +

t −1 +1

1 −1

−1)2 −1 2

Вернемся к уравнению:

t − 2

= ln

ln C

t − 2

= 2 ln

+ ln C

t − 2

Cx2

t − 2

= Cx2

= ln

− 2

y − 2x

Так как

= t , тогда

= Cx2 , откуда

= Cx2

y − 2x = Cx2 y - общее решение.

(x + y −1)dx + (5 y − 7x + 1)dy = 0

уравнение,

приводящееся к

однородному

Найдем точку пересечения прямых x + y −1 = 0;

5 y − 7x + 1 = 0 :

y = β = −

;

x = α = −

В исходном уравнении проведем замену переменных:

x = u + α = u −

;

y = v + β = v −

;

dx = du;

dy = dv .

Подставляя в уравнение, получим:

u −

+ v −

−1 du + 5v −

− 7u +

+ 1 dv = 0

(u + v)du + (5v − 7u)dv = 0

(7u − 5v)dv = (u + v)du

(7u − 5v)

= (u + v)

u + v

7u − 5v

1 +

7 − 5

Пусть

= t , тогда v = tu ,

u + t .

Подставляя

в уравнение,

получим:

u + t =

1 + t

7 − 5t

u =

t + 1

− t

7 − 5t

udt =

5t 2 − 6t + 1

7 − 5t

dt =

5t 2 − 6t + 1

∫

7 − 5t

dt =

∫

5t 2 − 6t +

Вычислим 1-ый интеграл.

∫

7 − 5t

dt =

∫

7 − 5t

dt =

∫

7 − 5t

dt =

5t 2 − 6t + 1

t 2 −

t +

t 2 −

t +

−

														t -						7																														t -							3	-						4
														t -																																				t -								-
= -∫																			5														dt = -∫																				5								5																dt				=
= -∫														3					2							4							dt = -∫																				3						2										4								dt				=
											-			3								-				4																								-			3								-								4
							t																																								t
							t																			25																					t						5														25
														5												25																											5														25
																			-						3
			1									2 t																dt											4																		dt
												2 t																dt
= -								∫																	5											+						∫																																		=
= -			2					∫									3								2							4				+			5			∫											3						2										4							=
			2											-			3									-						4							5											-			3								-								4
											t																																				t
											t						5														25																t						5														25
																	5														25																						5														25
			1																		3					2						4									4									1											t -										3				-			2



																																																																					5 5
= -								ln				t -														-											+									×											ln												5 5													+ C =
= -								ln				t -														-											+									×											ln																									+ C =
			2																		5											25					5 2 ×														2										t -									3				+					2
																					5																5 2 ×																								t -													+
																																																		5																			5										5
= -			1																		6			t +							1				+ 4 ln										5t - 5											+ C;
			1					ln				t 2 -									6										1														5t - 5
			2					ln				t 2 -
			2																5												5															5t -1
Вернемся к уравнению:
-	1															6			t +									1		+ 4 ln											5t − 5											= ln										u				+							C
		ln							t 2 -

																																									5t -1
2														5												5																																											2
2														5												5																																											2
													6										1				+ 8 ln											5t - 5											= 2 ln											u					+ C
- ln					t 2 -										t +

																																						5t -1
											5											5
											5											5
Так как												t =						v				, то получим:
Так как												t =										, то получим:
																		u
						v2								6 v												1													5			v						- 5
																																										v
																																										u
																																										u
- ln										-												+									+ 8 ln																								= 2 ln													u				+ C
- ln						u 2				-				5 u								+				5					+ 8 ln								5					v				-1							= 2 ln													u				+ C
						u 2								5 u												5																		v
																																											u
																																											u
- (ln							5v2 - 6vu + u2																												- ln 5u2 )+ 8 ln																												5v - 5u																	= 2 ln						u	+ C



																																																															5v - u
																																																															5v - u
																																																																								5v − 5u
- ln					5v2 - 6vu + u2																													+ ln 5 + 2 ln u + 8 ln																																			= 2 ln														u		+ C


																																																																											5v - u
				5v - 5u																																																																							5v - u
																	- ln												5v2 - 6vu + u2																											= C - ln 5
8 ln


						5v - u																																																		1																												2
						5v - u
Переходя к переменным u = x +																																								;														v = y +							, получим общее решение:
Переходя к переменным u = x +																																								;														v = y +							, получим общее решение:
																																																					3																												3

		2				1
	5 y +			− 5 x +					2	2		2		1		1	2
	5 y +			− 5 x +		3				2							2
		3				3
8 ln							− ln	5 y +			− 6 y +		x +		+ x +			=
8 ln			2			1	− ln	5 y +			− 6 y +		x +		+ x +			=
			2			1			3			3		3		3
	5 y +				− x +
	5 y +				− x +
			3			3

= C − ln 5

y′ =

3x + 5 y + 4

уравнение,

приводящееся к уравнению с

9x + 15 y −1

разделяющимися переменными

Проведем замену переменных:

z = 3x + 5 y;

z′ = 3 + 5 y′

y′ =

z′ − 3

Подставляя в уравнение, получим:

′

− 3

z + 4

3z −1

z′ =

5z + 20

+ 3

3z −1

14z +17

3z −1

dz = dx

14z +17

∫

3z −1

dz = ∫ dx

14z +17

3z −1

14z −

14z + 17 −

x = ∫

dz =

∫

dz =

∫

dz =

14z

14z + 17

+ 17

−

dz =

z −

14z + 17

+ C

∫

14z +

= 3 z − 65 ln 4z − 3 + C;

14 14

x= 3 z − 65 ln14z + 17 + C

14x = 3z − 65 ln14z + 17 + C

Переходя к переменным x, y , получим:

14x = 3(3x + 5 y)− 65ln14(3x + 5 y) + 17 + C

14x = 9x +15y - 65 ln14(3x + 5 y)+17 + C

5x -15 y = C - 65 ln14(3x + 5 y) +17 - общее решение

+ x2

= 0

y(0) = 1

1 + x

y¢ +

= -x2 - линейное уравнение.

1 + x

Пусть y = uv , тогда y

′

Подставив в уравнение, получим:

= u v + uv

u¢v + uv¢ +

= -x2

1 + x

u¢v + u v¢ +

= -x

1 + x

= 0 , тогда u′v = −x2

v′ +

= 0

Пусть v¢ +

1 + x

. Получим систему:

+ x

′

u v = −x

Решим систему.

1) v¢ +

= 0

1 + x

= -

1 + x

v= -1 + x

∫dv = -∫ dx

v1 + xdxdv

= -ln

1 + x

v =

x +1

′

2) u v = −x

= -x2

x +1

du = -x2 (x +1)dx

∫ du = −∫ (x3 + x2 )dx
u = −	x4	−		x3	+ C
u = −		−			+ C
4			3
			1				x4		x3
Тогда y =						C −		−		- общее решение.
Тогда y =						C −		−		- общее решение.
							4		3
			x + 1				4		3

Подставим начальное условие:

1 =	1	(C − 0)	C = 1.

0	+ 1

Тогда частное решение имеет вид:

7. y′ =				y
7. y′ =				y3 cos y + 2x
				y3 cos y + 2x
	dy	=		y
		=	y3 cos y + 2x
	dx		y3 cos y + 2x
	dx	= y2 cos y +			2x
		= y2 cos y +			y
	dy				y

	1			x4		x3
y =		1	−		−		.
y =		1	−		−		.
				4		3
	x + 1			4		3

x′ − 2x = y2 cos y - линейное уравнение относительно x

Пусть x = uv , тогда x′ = u′v + uv′ . Подставив в уравнение, получим:

u′v + uv′ − 2uv = y2 cos y y

′

u v + u v

−

= y

cos y

′

−

′

v′ −

= 0

Пусть v

cos y . Получим систему:

= 0 , тогда u v = y

′

cos y

u v = y

Решим систему.

1) v′ − 2v = 0 y

dv = 2v dy y

∫

= 2∫

= 2 ln

v = y2

′

cos y

2) u v = y

× y2

= y2 cos y

du = cos ydy

∫ du = ∫ cos ydy u = sin y + C

Тогда x = y2 (sin y + C) - общее решение.

8. y′ =	1
	xy − x3e− y	2

x¢ = xy - x3e− y2

′	3	e	− y	2
x	− xy = −x	e		- уравнение Бернулли относительно x
Пусть x = uv				′	′	′
Пусть x = uv		, тогда x			= u v + uv . Подставив в уравнение, получим:

u¢v + uv¢ - uvy = -u3v3e− y2 u¢v + u(v¢ - vy) = -u3v3e− y2

v′ - vy = 0

Пусть v′ − vy = 0 , тогда u′v = −u3v3e− y2 . Получим:

u¢v = -u3v3e− y2

Решим систему.

1) v′ − vy = 0

= vy

∫

= ∫ ydy

v = e

2) u′v = −u3v3e− y2

du = -u3v2e− y2 dy

du		y2	2
	= -u3 e 2			e− y2

dy

du = -u3e y2 e− y2 dy

du = -u3 dy

- du = dy u3

- ∫ du = ∫ dy u3

1 = y + C

2u2 2

1		= 2 y + C
	u2	= 2 y + C
	u2
u2		=	1			u =

			2 y + C
			2 y + C
				y2		1
Тогда x = e 2					×	1


						2 y + C
						2 y + C

2 y + C

- общее решение.

12. xy¢¢ + x(y¢)2 - y¢ = 0, y(2) = 2, y¢(2) = 1 - уравнение, не содержащее искомую функцию y .

Пусть y′ = t = t(x), тогда y′′ = t′ и получим уравнение I порядка. xt′ + xt 2 - t = 0

t¢ + t 2 - t = 0 x

t¢ - t = -t 2 - уравнение Бернулли x

Пусть t = uv , тогда t′ = u′v + uv′ . Подставив в уравнение, получим:

u¢v + uv¢ - uv = -u2v2

u¢v + u v¢

= -u2v2

Получим систему:

v¢

= 0

u¢v = -u2v2

Решим систему.

1) v¢ -

= 0

∫

= ∫

= ln

v = x

2) u¢v = -u2v2

du = -u2v dx

du = -u2 x dx

-du = xdx u2

-∫ du = ∫ xdx u2

u =

x2 + C

Тогда t = x ×

y¢ =

, т.е.

. Решим это уравнение.

x2 + C

+ C

y =

∫

dx = ln

x2 + C1

+ C2 ;

+ C

Тогда y = ln

x2 + C

+ C

- общее решение.

1 / 21 2 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
11.12.20153.29 Mб14tarif_2014.doc
#
11.12.20151.13 Mб171Text_posobia (1).doc
#
28.09.20192.59 Mб35Tkachenko.doc
#
13.04.20153.3 Mб285Troilin.doc
#
11.12.201536.53 Кб390unknown.doc
#
13.04.2015142.56 Кб13var_16_zad_1-8_12-20.pdf
#
14.11.20192.69 Mб16Vinogradova: Учебное пособие. Теория вероятност...doc
#
13.04.201545.52 Mб443Vis_most.doc
#
23.09.201964.9 Кб3_PRN.docx
#
11.12.201510.33 Mб58_Журнал лабораторных работ 2.doc
#
26.09.20191.37 Mб9автоматизация_ответы.doc