Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Дальневосточный Государственный Университет Путей Сообщения

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

var_16_zad_1-8_12-20

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.04.2015

Размер:

142.56 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 22

С учетом начальных условий получим систему:

2 × 2

4 + C1 = 4

+ C1

= ln

4 + C1

+ C2

2 = ln

4 + C

+ C

C1 = 0,

C2 = 2 − ln 4 = 2 − 2 ln 2;

Тогда

y = ln

x2 + 0

+ 2 − 2 ln 2 = 2 ln

+ 2 − 2 ln 2 - частное решение.

13.

′′

− 4 y = 0;

′

y(0) = 1; y

(0) = 3;

k 2 − 4 = 0 - характеристическое уравнение

k 2

= 4

k = ±2

Так как корни характеристического уравнения действительные различные, то

общее решение имеет вид: y = C e−2 x + C

e2 x .

Найдем производную общего решения:

y′ = −2C1e− x + 2C2e2 x

С учетом начальных условий получим систему:

C + C

= 1

2C + 2C

= 2

− 2C1 + 2C2 = 3

4C2 = 5

;

C = 1 − C

= 1 −

= −

;

Тогда

y = −

e−2 x

e2 x -

частное

решение,

удовлетворяющее данным

начальным условиям.

14. y′′ − 2 y′ + y = 0

k 2 − 2k +1 = 0 - характеристическое уравнение

(k −1)2 = 0

k1,2 = 1;

Так как корни характеристического уравнения действительные равные, то общее решение имеет вид: y = ex (C1 + C2 x).

15. y′′ − 6 y′ + 10 y = 0

k 2 − 6k + 10 = 0 - характеристическое уравнение

	=	6 ±			=	6 ± 2i	= 3 ± i;
k			36 − 40

1,2	2			2

Так как корни характеристического уравнения комплексные, то общее решение имеет вид: y = e3x (C1 cos x + C2 sin x).

16. y′′ − 2 y′ − 8 y = e−2 x + x3 + 2

Решение будем искать в виде y = yo + yч1 + yч2 , где

yo - общее решение соответствующего однородного уравнения,

yч1 , yч2 - частные решения неоднородного уравнения. y′′ − 2 y′ − 8 y = 0

k 2 − 2k − 8 = 0 - характеристическое уравнение

	=	2 ±			=	2 ± 6	= 1 ± 3;
k			4 + 32					k = −2; k		= 4
									2
1,2	2			2				1

Так как корни характеристического уравнения действительные различные, то

общее решение имеет вид: y

= C e−2 x + C

e4 x .

Частное решение yч1 неоднородного уравнения будем искать в виде:

yч1 = Ax3 + Bx2 + Cx + D ,

так

как k = 0 не

является

корнем

характеристического уравнения.

′′

′

Вычислим производные: yч1 = 3Ax

+ 2Bx

+ C;

yч1 = 6 Ax + 2B;

Подставим их в уравнение:

6 Ax + 2B − 2(3Ax2 + 2Bx + C )− 8(Ax3 + Bx2 + Cx + D)= x3 + 2

6 Ax + 2B − 6 Ax2 − 4Bx − 2C − 8Ax3 − 8Bx2 − 8Cx − 8D = x3 + 2

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x :

− 8A = 1

A = −

;

− 6 A − 8B = 0

4B = −3A =

B =

;

6 A − 4B − 8C = 0

4C = 3A − 2B = −

C = −

;

2B − 2C − 8D = 2

4D = B − C −1 = −

D = −

;

256

Таким образом, частное решение yч1 имеет вид:

yч1 = −

x3 +

x2 −

x −

256

Частное решение yч2 неоднородного уравнения будем искать в виде:

k1,2

yч2 = Axe−2 x , так как k = −2 является корнем характеристического уравнения.

Вычислим производные: Подставим их в уравнение:

′

= Ae

−2 x

- 2 Axe

−2 x

= (A - 2 Ax)e

−2 x

;

yч2

yч¢¢

= -2 Ae−2 x - 2(A - 2 Ax)e−2 x = (- 4 A + 4 Ax)e−2 x ;

Подставим их в уравнение:

(- 4 A + 4 Ax)e−2 x - 2(A - 2 Ax)e−2 x - 8Axe−2 x = e−2 x

- 4 A + 4 Ax - 2 A + 4 Ax - 8Ax = 1

- 6 A = 1

A = -

Тогда частное решение yч2

имеет вид:

yч2 = -

xe−2 x .

Таким образом, частное решение неоднородного уравнения имеет вид:

yч = yч	+ yч		= -	1	x3	+	3	x2 -	9	x -	49	-	1	xe−2 x .
	1	2	8			32		64		256		6
			8			32		64		256		6

Тогда общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

y = C e	−2 x + C	e4 x -	1	x3	+	3	x2 -	9	x -	49	-	1	xe−2 x .

1	2	8			32		64		256		6

17. 9 y¢¢ - 6 y¢ + y = x - 5 + 2e 3

Решение будем искать в виде y = yo + yч1 + yч2 , где

yo - общее решение соответствующего однородного уравнения,

yч1 , yч2 - частные решения неоднородного уравнения.

9 y′′ − 6 y′ + y = 0

9k 2 - 6k +1 = 0 - характеристическое уравнение

= 6 ± 36 - 36 = 6 = 1 ; 18 18 3

Так как корни характеристического уравнения действительные равные, то

							= (C + C			x)e		x
общее решение имеет вид: y						0	= (C + C		2	x)e		3	.
						0	1		2
Частное решение yч1 неоднородного уравнения будем искать в виде:
	x			x							1
yч = Ae		× x2	= Ax2e		, так			k =
	3			3			как							является кратным корнем
	3			3			как							является кратным корнем
1										3
										3

характеристического уравнения.

Вычислим производные:

′

yч1

= 2 Axe

= 2 Ax

;

′′

= 2 A +

Ax e

2 Ax +

2 A +

Ax +

yч1

;

Подставим их в уравнение:

9 2 A +

Ax +

e 3

− 6 2 Ax +

e 3

+ Ax

3 = 2e 3

18A + 12 Ax + Ax2 −12 Ax − 2 Ax2 + Ax2 = 2

18A = 2

A =

Таким образом, частное решение yч1 имеет вид: yч1 =

x2e

Частное решение yч2

неоднородного уравнения будем искать в виде:

yч2

= Ax + B ,

так

как

k = 0

не

является

корнем

характеристического

уравнения.

Вычислим производные:

′

′′

= 0;

yч2 = A;

yч2

Подставим их в уравнение:

0 − 6 A + Ax + B = x − 5

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x :

x A = 1;
x0 − 6 A + B = −5	B = −5 + 6 = 1;

Тогда частное решение yч2 имеет вид: yч2 = x + 1.

									1		x
	yч = yч1				+ yч2		=			x2e		+ x + 1.
Таким образом, частное решение имеет вид:											3
Таким образом, частное решение имеет вид:											3
							9
Тогда общее решение имеет вид: y = (C + C		x)e	x		1		x
				+		x2e		+ x + 1.
			3				3
			3				3
1	2				9
					9

18.4 y′′ − 20 y′ + 25 y = 2e 2 − sin 5 x

Решение будем искать в виде y = yo + yч1 + yч2 , где

yo - общее решение соответствующего однородного уравнения,

yч1 , yч2 - частные решения неоднородного уравнения.

4 y′′ − 20 y′ + 25 y = 0

4k 2 - 20k + 25 = 0 - характеристическое уравнение

	=	20 ±
k	=	20 ±	400 - 400		=	20	=	5	;
1,2	8			8			2
	8			8			2

Так как корни характеристического уравнения действительные равные, то

																																= (C + C								x)e					5 x
общее решение имеет вид:																											y			0		= (C + C							2	x)e					2		.
																														0			1						2
Частное решение yч1 неоднородного уравнения будем искать в виде:
		= Ae			5 x	× x2 = Ax2e																5 x																	k =					5
yч																									,
					2																	2							так				как																	является							кратным											корнем
					2																	2							так				как																	является							кратным											корнем
1																																											2
характеристического уравнения.																																											2
характеристического уравнения.
Вычислим производные:
yч¢							5 x					5						2					5 x												5						2					5 x
												5						2																	5						2
		= 2 Axe 2 +											Ax							e 2 = 2 Ax +																	Ax					e 2 ;
		= 2 Axe 2 +											Ax							e 2 = 2 Ax +																	Ax					e 2 ;
1												2																							2
												2																							2
														5 x									5										5				2					5 x																		25					2				5 x
yч¢¢		= (2 A + 5Ax)e 2 +																					5				2 Ax +						5				2						=							2 A +10 Ax +										25					2
																																		Ax				e				2																						Ax		e			2 ;
																																		Ax				e				2																						Ax		e			2 ;
1																							2										2																											4
																							2										2																											4
Подставим их в уравнение:
												25									2						5 x														5								2		5 x						2						5 x				5 x
												25									2																				5								2								2
4 2 A +10 Ax +															Ax									e			2 - 20 2 Ax											+					Ax							e 2		+ 25Ax								e			2	= 2e 2
4 2 A +10 Ax +												4			Ax									e			2 - 20 2 Ax											+			2		Ax							e 2		+ 25Ax								e			2	= 2e 2
												4																													2
8A + 40 Ax + 25Ax2 - 40Ax - 50 Ax2 + 25Ax2																																																		= 2
8A = 2								A =									1
8A = 2								A =
												4
																																																				=		1					5 x
Таким образом, частное решение yч																																																		yч						x2e					.
																																			1	имеет вид:																							2
																																				имеет вид:																							2
																																																			1	4
																																																				4
Частное решение yч2																			неоднородного уравнения будем искать в виде:
yч2		= Asin						5	x + B cos															5		x ,						так			как							k =						5		i	не является																	корнем
yч2		= Asin							x + B cos																	x ,						так			как							k =								i	не является																	корнем
						2															2																						2
характеристического уравнения.
Вычислим производные:
yч¢		=	5	Acos						5	x -					5			B sin									5			x;					yч¢¢				= -						25				Asin			5		x -			25				B cos				5		x;
	2	2				2						2															2										2						4									2					4									2
		2				2						2															2																4									2					4									2

Подставим их в уравнение:

		25	5		25	5		5	5		5		5
4	−		Asin	x −		B cos	x	− 20	Acos	x −		B sin		x	+
		4			4						2		2
			2			2		2	2

		5							5									5
+ 25 Asin				x + B cos								x			= − sin						x
+ 25 Asin		2		x + B cos								x			= − sin						x
		2							2									2
		5							5										5											5
− 25 Asin				x + B cos								x			− 50 A cos										x − B sin								x		+
− 25 Asin		2		x + B cos								x			− 50 A cos										x − B sin								x		+
		2							2										2											2
		5							5									5
+ 25 Asin				x + B cos								x			= − sin						x
+ 25 Asin		2		x + B cos								x			= − sin						x
		2							2									2
	5					5									5
50 A cos		x − B sin								x	= sin							x
50 A cos		x − B sin								x	= sin							x
	2					2									2
50B = 1						B =						1						A = 0;
												1		;
														;
− 50 A = 0											50
Тогда частное решение yч2 имеет вид: yч2																									=	1			cos		5			x .
Тогда частное решение yч2 имеет вид: yч2																									=				cos					x .
																									50					2
																							1				5 x			1						5
Тогда частное решение имеет вид: yч																				=				x2e				+				cos					x .
																											2
																											2			50
																			4											50					2
Тогда общее решение имеет вид:
					5 x								5 x
y = (C + C			x)e				+	1	x2e						+	1	cos				5	x .
					2			1					2			1					5
					2								2
	1	2				4									50				2
						4									50				2
19.	y′′ + 2 y′ + y = xex								+		1
19.	y′′ + 2 y′ + y = xex								+		xex
											xex

Решим уравнение методом вариации произвольных постоянных. y′′ + 2 y′ + y = 0

k 2 + 2k + 1 = 0 - характеристическое уравнение

(k + 1)2 = 0 k1,2 = −1

Так как корни характеристического уравнения действительные равные, то общее решение имеет вид: y = e− x (C1 + C2 x).

Решение будем искать в виде y = C1 (x)e− x + C2 (x)xe− x

Коэффициенты C1 (x), C2 (x) найдем из системы:

C′(x) y (x) + C		′	(x) y	2	(x) = 0
1	1	2		2
′	′	′		′		, где
C1 (x) y1 (x) + C2 (x) y2 (x) =						f (x)

y1 (x) = e− x ,

y2 (x) = xe− x

(1 − x)e

, f (x) = xex +

′

−x

′

= e

−x

− xe

−x

− x

xex

y1 (x) = −e

y2 (x)

Тогда система имеет вид:

− x

′

− x

′

= 0

C1 (x) + xe

C2 (x)

−x

′

(1 − x)e

− x

′

− e

C1 (x) +

C2 (x) = xe

C′(x) + xC

′ (x) = 0

′

− C1 (x) + (1 − x)C2 (x) = x +

Сложив уравнения, получим:

′

(x) = x +

xC2

(x) + C2

(x) − xC2

C′

(x)

(x) = x +

∫

dx =

+ ln

+ C

;

′

(x)

(x) = −x x +

= −x −1;

= −xC2

C1(x) = −∫ (x2 + 1)dx = −

− x + C1;

Тогда общее решение имеет вид:

y = e− x −

− x + C + x

+ ln

+ C

= e−x

−

− x + C +

+ x ln

+ xC

20. Решить систему.

dx = 4x − 3y + sin tdt

dy = 2x − y − 2 cos t

Запишем систему в виде:

x′ = 4x − 3y + sin t

y′ = 2x − y − 2 cos t

Продифференцируем по t первое уравнение системы:

x′′ = 4x′ − 3y′ + cos t

Подставим вместо y′ его выражение через x и t :
x′′ = 4x′ − 3(2x − y − 2 cos t ) + cos t = 4x′ − 6x + 3y + 7 cos t;.									(*)
Из первого уравнения системы найдем y :
3y = 4x − x′ + sin t	y =	4	x −	1	x′ +	1	sin t	(**)

	3		3			3
и подставим его в (*):

x′′ = 4x′ − 6x + 4x − x′ + sin t + 7 cos t = 3x′ − 2x + sin t + 7 cos t , откуда

′′		′
x − 3x + 2x = sin t + 7 cost
k 2 − 3k + 2 = 0 - характеристическое уравнение
	=	3 ±			=	3 ± 1
k		3 ±	9 − 8			3 ± 1	k = 1,	k		= 2
k							k = 1,	k	2	= 2
1,2	2			2			1		2
	2			2

Так как корни характеристического уравнения действительные различные, то

общее решение имеет вид: x	= C et + C		e2t
o	1	2
Частное решение будем искать в виде:		xч = Asin t + B cos t , так как k = i не
является корнем характеристического уравнения.
Вычислим производные: xч¢ = A cos t − B sin t;				xч² = − Asin t − B cos t
Подставим их в уравнение:

−Asin t − B cos t − 3(A cos t − B sin t ) + 2(Asin t + B cos t ) = sin t + 7 cos t

−Asin t − B cos t − 3Acos t + 3B sin t + 2 Asin t + 2B cos t = sin t + 7 cos t

(B − 3A)cos t + (3B + A)sin t = sin t + 7 cos t

Приравняем коэффициенты при sin t				и cos t :
sin t	3B + A = 1
sin t	3B + A = 1
cos t	B − 3A = 7
A = 1 − 3B		B − 3 + 9B = 7		10B = 10		B = 1
A = 1 − 3B = −2				= −2 sin t + cos t .
Тогда частное решение имеет вид: xч				= −2 sin t + cos t .
Общее решение имеет вид: x = C et			+ C		e2t − 2 sin t + cos t
		1		2
Вычислим производную: x′ = C1et			+ 2C2e2t − 2 cost − sin t и подставим в
(**):


y =			4	(C et + C		e2t − 2 sin t + cos t )−				1	(C et + 2C		e2t − 2 cos t − sin t )+
y =				(C et + C		e2t − 2 sin t + cos t )−					(C et + 2C		e2t − 2 cos t − sin t )+
3				1	2				3		1	2
3									3
+	1	sin t = C et +					2	C	e2t − 2 sin t + 2 cos t;
+		sin t = C et +						C	e2t − 2 sin t + 2 cos t;
3					1	3		2
3						3

Таким образом, общее решение имеет вид:

	t				2t
x = C1e	t	+ C2e			2t	− 2 sin t + cos t
x = C1e		+ C2e				− 2 sin t + cos t
			2
y = C1et +			2	C2e2t − 2 sin t + 2 cos t
y = C1et +				C2e2t − 2 sin t + 2 cos t
		3

<<< < Предыдущая 12 / 22

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
11.12.20153.29 Mб14tarif_2014.doc
#
11.12.20151.13 Mб172Text_posobia (1).doc
#
28.09.20192.59 Mб35Tkachenko.doc
#
13.04.20153.3 Mб287Troilin.doc
#
11.12.201536.53 Кб391unknown.doc
#
13.04.2015142.56 Кб13var_16_zad_1-8_12-20.pdf
#
14.11.20192.69 Mб16Vinogradova: Учебное пособие. Теория вероятност...doc
#
13.04.201545.52 Mб445Vis_most.doc
#
23.09.201964.9 Кб3_PRN.docx
#
11.12.201510.33 Mб58_Журнал лабораторных работ 2.doc
#
26.09.20191.37 Mб10автоматизация_ответы.doc