14. Математическое ожидание (мо) дискретных и непрерывных св.

Математическое ожидание случайной величины

Пусть - дискретная случайная величина, определенная на вероятностном пространстве, с конечным множеством возможных значенийи- вероятности, с которыми эти значения принимаются, то есть задан закон распределения дискретной случайной величины:

Определение. Математическим ожиданием дискретной случайной величины , принимающей значенияс вероятностями, называется величина, (2.7)

если ряд в правой части абсолютно сходится: .

Если ряд в правой части абсолютно расходится, то говорят, что математического ожидания у дискретной случайной величины не существует.

Замечание. Естественно, что вопрос о сходимости ряда встает только в случае, когда множество возможных значений дискретной случайной величины бесконечно (но счетно). У дискретной случайной величины, принимающей конечное число значений, математическое ожидание существует всегда.

Пусть теперь - непрерывная случайная величина, определенная на вероятностном пространствеи имеющая плотность вероятностей. Для определения ее математического ожидания построим следующую дискретную случайную величину, аппроксимирующую непрерывную случайную величину.

Для некоторого рассмотрим точки видана числовой прямой и положим

, если ,.

Случайная величина принимает значенияс вероятностями

,

(при малом ).

При любом и придискретная случайная величинавсе точнее аппроксимирует непрерывную случайную величину.

При этом ,

если ряд сходится абсолютно. Последняя сумма является интегральной суммой для интеграла, который и следует считать математическим ожиданием непрерывной случайной величины.

Определение. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины с плотностью вероятностейназывается величина, (2.8)

если интеграл в правой части абсолютно сходится: .

Если интеграл в правой части абсолютно расходится, то говорят, что математического ожидания у непрерывной случайной величины не существует.

Замечание. Формулы (2.7) и (2.8) для математического ожидания дискретной и непрерывной случайных величин можно объединить в одну, записав математическое ожидание в виде: ,

где последний интеграл понимается в смысле Римана-Стилтьеса по функции распределения

Еще более общим является представление математического ожидания в виде интеграла Лебега:

Механическая интерпретация математического ожидания.

Если закон распределения интерпретировать как распределение единичной массы вдоль оси абсцисс, то математическое ожидание – координата центра тяжести (центра масс).

Геометрическая интерпретация математического ожидания.

Математическое ожидание – среднее значение случайной величины, около которого группируются другие ее значения (иногда вместо математическое ожидание случайной величины говорят среднее случайной величины).

Геометрическая иллюстрация:

15. Основная теорема о мо. Свойства мо.

Теорема (основная теорема о математическом ожидании или теорема о замене переменных).

Пусть - некоторая случайная величина, закон распределения которой известен, случайная величинаявляется функцией от случайной величины.

1. Если случайная величина является дискретной, принимающей значенияс вероятностями,, и при этом рядабсолютно сходится (), то у случайной величинысуществует математическое ожидание и.

2. Если случайная величина является непрерывной с плотностью вероятностейи интегралабсолютно сходится (), то у случайной величинысуществует математическое ожидание и.

(без доказательства).

Смысл основной теоремы о математическом ожидании: Для нахождения математического ожидания случайной величины , являющейся функцией от случайной величины, не требуется знать закон распределения случайной величины, достаточно лишь знать закон распределения случайной величины.

Свойства математического ожидания

Во всех рассматриваемых ниже свойствах предполагается, что у случайных величин математические ожидания существуют.

М0). Математическое ожидание любой случайной величины есть число!

М1). Математическое ожидание постоянной равно этой постоянной:.

М2). Постоянная величина выносится за знак математического ожидания: .

М3). Математическое ожидание суммы любых случайных величин иравно сумме их математических ожиданий:.

Замечание. Свойства М1), М2) и М3) называются свойствами линейности математического ожидания и следуют из свойств линейности рядов и интегралов в соответствии с формулами (2.7) и (2.8).

Следующие два свойства математического ожидания связаны с понятием «Р-почти наверное» (Р-п.н.). Говорят, что некоторое свойство выполнено Р-п.н., если существует множество стакое, что это свойство выполнено для каждого. Вместо Р-п.н. говорят также «Р-почти всюду» (Р-п.в.) или просто «почти наверное» (п.н.), «почти всюду» (п.в.). Используют также термин: свойство выполнено с вероятностью 1.

М4). Если п.н. (то есть), то.

Если п.н. и при этом, топ.н. (то есть).

▲ Доказательство свойства для дискретных случайных величин очевидно. Для непрерывных случайных величин доказательство следует из того, что плотность вероятностей при■.

М5). Если п.н., то.

Если п.н. и при этом, топ.н..

▲ Для доказательства достаточно применить свойство М4) к случайной величине п.н. ■.

М6).

▲ Поскольку для любого, то в силу свойства М5), то есть■.

Замечание. Свойство М6) справедливо и в более общем виде:

Для любой выпуклой вниз функции справедливо неравенство:

(неравенство Йенсена).