18. Случайные векторы. Функция распределения случайного вектора и ее свойства.

Часто в вероятностных моделях случайных явлений приходится рассматривать сразу несколько случайных величин, причем изучение каждой случайной величины отдельно от других приводит к недопустимому упрощению модели явления. Математической моделью таких случайных явлений является понятие случайного вектора.

Определение. Совокупность случайных величин , определенных на одном и том же вероятностном пространстве, значения которых совместно описывают результат некоторого случайного эксперимента, называется-мернымслучайным вектором (многомерной случайной величиной или системой случайных величин) и обозначается . При этом сами случайные величины,называюткоординатами (компонентами, составляющими) случайного вектора .

Как и в одномерном случае, исчерпывающей вероятностной характеристикой случайного вектора является его функция распределения. Рассмотрим вначале случай двумерного случайного вектора , как наиболее часто встречающийся в практических приложениях, а потом полученные результаты обобщим на случай многомерный.

Двумерный случайный вектор обычно обозначают (без введения индексов).

Определение. Функцией распределения случайного вектора называется функциядвух действительных переменныхи, определяемая при каждомравенством:. (3.1)

Функцию распределения случайного вектораназывают также двумерной функцией распределения или совместной функцией распределения случайных величини.

Геометрически функция распределения представляет собой вероятность попадания случайной точкив квадрант с вершиной в точке.

Из определения (3.1) следует, что функция распределения случайного вектораопределена на всей плоскости.

Действительно, множество при любомпо определению случайной величины. Множествопри любомпо определению случайной величины. Поэтому произведение этих множествпри любыхпо определению-алгебры.

Свойства двумерной функции распределения

2F0). для любых.

(Свойство очевидно, так как функция распределения - вероятность).

2F1). Функция распределения является функцией неубывающей по каждому из своих аргументов.

▲ Когда один из аргументов илификсирован, доказательство свойства 2F1) полностью аналогично доказательству свойстваF1) в одномерном случае ■.

2F2). ;

, .

где и- одномерные функции распределения случайных величинисоответственно.

▲ В соответствии со свойствами вероятности

;

;

;

;

;

В силу аксиомы нормированности Р2)

Строгое доказательство свойства 2F2), как и в одномерном случае, основано на использовании аксиомы непрерывности Р4) ■.

Замечание. Смысл равенств ,состоит в том, что по функции распределения двумерного случайного векторавсегда можно найти одномерные (маргинальные) функции распределения его координат и. Обратное без дополнительной информации неверно.

2F3). Функция распределения является функцией непрерывной слева по каждому из своих аргументов.

▲ Когда один из аргументов илификсирован, доказательство свойства 2F3) полностью аналогично доказательству свойстваF3) в одномерном случае ■.

2F4). Вероятность попадания случайного вектора в прямоугольниксо сторонами, параллельными осям координат, определяется по формуле:

▲ Обозначим

;

;

;

.

Очевидно, что . При этом событияиявляются несовместными, а. Поэтому по теореме сложения вероятностей получаем:

.

Осталось учесть, что ,,

,■.

Замечание. Как отмечалось ранее, свойстваF1),F2) иF3) полностью описывают класс одномерных функций распределения. В двумерном случае это уже не так. Наряду с выполнением свойств 2F1), 2F2) и 2F3) для этого необходимо еще выполнение свойства 2F4) (подробности см. в учебнике Боровкова А.А. «Теория вероятностей»).

Замечание. Аналогично одномерному случаю вводится понятиеборелевской-алгебры на плоскостикак минимальной-алгебры, содержащей все прямоугольники видасо сторонами параллельными осям координат. Тогда свойство 2F4) совместно с теоремой о продолжении меры позволяет считать, что двумерная функция распределенияполностью определяет вероятностьпопадания случайного векторав любое борелевское множество(хотя явного аналитического длячерез функцию распределенияпри этом может и не быть).

Аналогичными являются определение и свойства многомерной функции распределения.

Определение. Функция действительных переменных, определяемая для любогоравенством

,

называется функцией распределения случайного вектора или многомерной (-мерной) функцией распределения или совместной функцией распределения случайных величин.

Свойства многомерной функции распределения

nF0). для любых.

nF1). является неубывающей функцией по каждому из своих аргументов.

nF2). , если хотя бы один из аргументов;

по функции распределения случайного вектораможно найти функцию распределения любой совокупностиизего координат, для этого следует у функции распределенияположить аргументыдля(свойство согласованности);

.

nF3). является непрерывной слева функцией по каждому из своих аргументов.

Многомерный аналог свойства 2F4) двумерной функции распределения приводить не будем из-за необходимости введения разностных операторов и его громоздкой записи (подробности см. учебник Ширяева А.Н. «Вероятность»).

В приложениях, как правило, имеют дело со случайными векторами двух типов: дискретными и непрерывными. В каждом из этих случаев существуют более удобные, чем функция распределения, способы вероятностной характеристики случайных векторов.