7. Формулы полной вероятности и Байеса. Пример.

Предположим, что с данным случайным экспериментом связана полная группа событий , вероятности которыхизвестны. Нас интересует некоторое событиеА, которое может наступить одновременно с одним из . При этом условные вероятностинаступления событияА при каждом известны. Требуется определить безусловную вероятность.

Представим событие А в виде: .

В полученной сумме слагаемые являются попарно несовместными: ,. Поэтому, используя аксиому аддитивности и правило умножения вероятностей, получаем:

.

Формула называется формулой полной вероятности. В ней события называютсягипотезами (так как одно из обязательно происходит), а вероятности-вероятностями гипотез.

Пусть, по-прежнему, со случайным экспериментом связано n гипотез , вероятности которыхизвестны. Известно также, что гипотезасообщает событиюА вероятность . Предположим, что эксперимент был произведён, и в результате событиеА произошло. Этот факт приводит к переоценке вероятностей гипотез . Количественно этот вопрос решает следующая формула:.

Полученная формула называется формулой Байеса (или формулой гипотез). В ней называютсяаприорными вероятностями гипотез (они определяются a priori – до проведения опыта). Условные вероятности называютсяапостериорными вероятностями гипотез (они вычисляются a posteriori – после проведения опыта, когда стало известно, что событие А произошло).

Пример. По каналу связи с помехами передаются двоичные символы {0,1}. Вероятности искажения символов в канале (01, 10) одинаковы и равны0.2. Вероятность символа 0 на входе канала равна 0,9, а вероятность символа 1 - 0,1. На выходе канала принят сигнал, соответствующий 1. Определить вероятность того, что на вход канала подавалась также 1.

Решение.

Рассмотрим гипотезы

= {На входе канала связи символ 0},

= {На входе канала связи символ 1}.

Очевидно, и по условию, то есть событияиобразуют полную группу событий.

Пусть событие А = {На выходе канала принят символ 1}.

Тогда по условию задачи вероятность искажения символа 0 в канале суть условная вероятность , а условная вероятностьявляется вероятностью неискажения в канале символа 1. В терминах введенных обозначений требуется найти условную (апостериорную) вероятность.

Найдем вначале по формуле полной вероятности безусловную вероятность события А:

.

Затем, в соответствии с формулой Байеса, находим апостериорную вероятность :

(при априорной вероятности ).

Очевидно, что при этом апостериорная вероятность

(при априорной вероятности ).

Замечание. Таким образом, даже при приеме на выходе канала связи 1 мы отдаем предпочтение в пользу 0 на входе. Это объясняется тем, что априорная вероятность 0 на входе канала существенно больше априорной вероятности 1.

8. Схема независимых испытаний Бернулли. Наивероятнейшее число успехов.

Предположим, что некоторый эксперимент может повторяться при неизменных условиях сколько угодно раз, и эти повторения не зависят друг от друга. В этом случае говорят о проведении последовательности независимых испытаний. Независимость испытаний при этом следует понимать в том смысле, что любые события, которые могут произойти в результате, являются независимыми в совокупности.

Простейшей является последовательность независимых испытаний, в каждом из которых возможно только 2 исхода: успех – У (1) и неуспех – Н (0). Последовательность независимых испытаний с двумя исходами называется схемой независимых испытаний Бернулли.

Обозначим вероятность успеха , а вероятность неуспеха.

При проведении n независимых испытаний по схеме Бернулли пространство элементарных событий имеет вид: ,

а вероятности элементарных событий в силу независимости вычисляются по формуле:

,

то есть .

В связи с рассмотрением схемы независимых испытаний Бернулли обычно представляют интерес события ={Вn испытаниях наступило ровно m успехов} = =.

Обозначим вероятность и вычислим ее. Для любоговероятность, а общее количество исходов, содержащихся в, равно числу способов размещенияm единиц в последовательности длины n из нулей и единиц, то есть . Таким образом,.

Полученная формула называется формулой Бернулли. Она даёт выражение для вероятности наступления m успехов в n независимых испытаниях по схеме Бернулли с неизменной вероятностью успеха в одном испытании равной p и с вероятностью неуспеха равной q = 1 – p.

Поскольку события образуют полную группу событий, то . Тот же результат можно получить и на основании бинома Ньютона:

Исследуем поведение вероятностей в зависимости отm. Для этого вычислим отношение:

.

Отсюда следует, что вероятности возрастают, когда или, что эквивалентно,.

Вероятности убывают, когда или, что эквивалентно,.

И, наконец, , если.

Определение. Число успехов m = m₀, при котором вероятности достигают максимума, называются наивероятнейшим числом успехов.

Из проведённых рассуждений следует, что наивероятнейшее число успехов m₀ определяется из двойного неравенства: .

При этом:

1. Если число нецелое, то существует одно наивероятнейшее число успехов:.

2. Если число целое, то существует два наивероятнейших числа успехов:и.

3. Если число целое, то.

Вычисления по формуле Бернулли при больших m и n весьма трудоёмкие. На практике в этом случае используют асимптотические приближения для вероятностей , основанные на предельных теоремах Пуассона и Муавра-Лапласа.