5. Условная вероятность и ее свойства. Правило и теорема умножения вероятностей.

Пусть - конечное пространство равновозможных исходов,А и В – некоторые события. Если о событии В ничего неизвестно, то согласно классическому определению вероятности:

Если же известно, что событие В уже произошло (т. е. наступил исход , но какой именно – неизвестно), то для определения вероятности событияА следует выбрать новое пространство элементарных событий .

В этом случае событию А благоприятствуют исходы и новая вероятность, которую обозначим, равна:.

Полученная вероятность называется условной вероятностью события А при условии, что событие В произошло и полученное для нее выражение в рамках классической схемы принимается за определение условной вероятности и в общем случае.

Определение. Пусть - произвольное вероятностное пространство,- некоторые случайные события,.Условной вероятностью события А при условии, что событие В произошло, называется величина .

Для условной вероятности применяется также обозначение.

Условная вероятность , как функция событияА при фиксированном событии В (условии), удовлетворяет аксиомам Р1) – Р3) и, следовательно, всем свойствам вероятности, вытекающим из аксиом:

(Действительно, ).

(Действительно, ,

поскольку события являются несовместными).

Аналогично вводится понятие условной вероятности события В при условии, что событие А произошло: в предположении, что.

Если и, то из определения условных вероятностейиполучаем следующееправило умножения вероятностей:

.

Теорема (умножения вероятностей).

Пусть  некоторые события, определенные на одном и том же вероятностном пространстве , для которых. Тогда

.

▲ В соответствии с правилом умножения вероятностей

. ■

6. Независимость событий. Свойства независимых событий. Независимость в совокупности.

Определение: Пусть - произвольное вероятностное пространство,- некоторые случайные события. Говорят, чтособытие А не зависит от события В, если его условная вероятностьсовпадает с безусловной вероятностью:.

Если , то говорят, что событиеА зависит от события В.

Понятие независимости симметрично, то есть, если событие А не зависит от события В, то и событие В не зависит от события А. Действительно, пусть . Тогда. Поэтому говорят просто, что событияА и В независимы.

Из правила умножения вероятностей вытекает следующее симметричное определение независимости событий.

Определение: События А и В, определенные на одном и том же вероятностном пространстве , называютсянезависимыми, если .

Если , то события А и В называются зависимыми.

Свойства независимых событий.

1. Если события А и В являются независимыми, то независимыми являются также следующие пары событий: .

▲ Докажем, например, независимость событий . Представим событиеА в виде: . Поскольку событияявляются несовместными, то, а в силу независимости событийА и В получаем, что . Отсюда, что и означает независимость. ■

2. Если событие А не зависит от событий В₁ и В₂, которые являются несовместными (), то событие А не зависит и от суммы .

▲ Действительно, используя аксиому аддитивности вероятности и независимость события А от событий В₁ и В₂, имеем:

. ■

Связь между понятиями независимости и несовместности.

Пусть А и В  любые события, имеющие ненулевую вероятность: , так что. Если при этом событияА и В являются несовместными (), тои поэтому равенствоне может иметь место никогда. Таким образом,несовместные события являются зависимыми.

Определение: События , определенные на одном и том же вероятностном пространстве, называютсянезависимыми в совокупности, если для любого 2  m  n и любой комбинации индексов справедливо равенство:.

При m = 2 из независимости в совокупности следует попарная независимость событий. Обратное неверно.

Теорема (умножения вероятностей для независимых событий).

Если события , определенные на одном и том же вероятностном пространстве , являются независимыми в совокупности, то вероятность их произведения равна произведению вероятностей:.

▲ Доказательство теоремы следует из определения независимости событий в совокупности или из общей теоремы умножения вероятностей с учетом того, что при этом

.■