- •1. Случайный эксперимент. Пространство элементарных событий. Случайные события и операции над ними.
- •Свойства операций над событиями
- •2. Классическое определение вероятности. Урновая схема. Пример.
- •3. Геометрическое определение вероятности. Пример.
- •4. Аксиоматическое определение вероятности. Вероятностное пространство. Свойства вероятности.
- •5. Условная вероятность и ее свойства. Правило и теорема умножения вероятностей.
- •6. Независимость событий. Свойства независимых событий. Независимость в совокупности.
- •7. Формулы полной вероятности и Байеса. Пример.
- •8. Схема независимых испытаний Бернулли. Наивероятнейшее число успехов.
- •9. Понятие случайной величины (св). Функция распределения св и ее свойства.
- •10. Дискретные св. Закон распределения дискретной св.
- •11. Важнейшие дискретные св.
- •12. Непрерывные св. Плотность вероятностей и ее свойства.
- •13. Важнейшие непрерывные св.
- •14. Математическое ожидание (мо) дискретных и непрерывных св.
- •15. Основная теорема о мо. Свойства мо.
- •16. Моменты высших порядков. Дисперсия и среднеквадратическое отклонение. Свойства дисперсии.
- •17. Числовые характеристики важнейших св.
- •18. Случайные векторы. Функция распределения случайного вектора и ее свойства.
- •19. Дискретные случайные векторы. Закон распределения дискретного случайного вектора.
- •20. Непрерывные случайные векторы. Плотность вероятностей случайного вектора и ее свойства.
- •21.Равномерное распределение в области на плоскости. Равномерные распределения в прямоугольнике и в круге.
- •22. Независимость случайных величин. Условия независимости. Независимость в совокупности.
- •23.Условные законы распределения. Условная плотность вероятностей и ее свойства. Условные числовые характеристики.
- •24.Числовые характеристики случайных векторов. Корреляционная матрица и ее свойства. Понятие о моментах случайных векторов.
- •25. Теоремы о числовых характеристиках.
- •26. Некоррелированные св. Связь между некоррелированностью и независимостью. Пример.
- •27. Коэффициент корреляции, его свойства и вероятностный смысл.
- •28. Многомерное нормальное распределение и его свойства.
- •29. Функции от св и их законы распределения. Функции случайных аргументов
- •Функции от случайных величин
- •Функции от случайных векторов
- •30. Закон распределения суммы св. Композиция (свертка) законов распределения. Пример.
- •31. Неравенство Чебышева. Виды сходимости последовательностей св и связь между ними.
- •Неравенство Чебышева
- •Виды сходимости последовательностей случайных величин и связь между ними
- •32. Закон больших чисел (збч) для последовательностей св. Теоремы Маркова и Чебышева.
- •33. Збч для последовательностей независимых одинаково распределенных св. Задача об измерениях. Теорема Бернулли и ее применение.
- •34. Характеристическая функция св и ее свойства.
- •Свойства характеристических функций
- •35.Характеристические функции важнейших св. Устойчивость нормального закона распределения.
- •Характеристические функции случайных векторов
- •36. Сходимость распределений (слабая сходимость) и ее связь со сходимостью по вероятности. Теорема непрерывности.
- •37.Центральная предельная теорема (цпт) для независимых одинаково распределенных св. Интегральная теорема Муавра-Лапласа.
- •38.Цпт для независимых разнораспределенных св: теоремы Линдеберга и Ляпунова. Смысл условия Линдеберга. Асимптотическая нормальность.
- •39. Теорема Хинчина. Понятие об усиленном збч.
- •40. Статистическая модель. Генеральная совокупность (гс), выборка, объем выборки. Простейшие способы представления статистических данных.
- •41. Эмпирическая функция распределения и ее свойства.
- •42. Гистограмма и полигон частот.
- •43.Выборочные (эмпирические) числовые характеристики. Выборочное среднее и выборочная дисперсия.
- •44.Точечные оценки неизвестных параметров распределений. Требования, предъявляемые к точечным оценкам.
- •Точечные оценки. Методы нахождения точечных оценок.
- •45. Свойства выборочного среднего и выборочной дисперсии как точечных оценок мо и дисперсии соответственно.
- •46. Метод моментов получения точечных оценок. Свойства оценок, найденных по методу моментов. Пример. Метод моментов.
- •47. Метод максимального правдоподобия. Свойства оценок максимального правдоподобия. Пример.
- •48. Интервальные оценки неизвестных параметров распределений. Доверительные интервалы (ди) для мо нормально распределенной гс (при известной и неизвестной дисперсии).
- •49. Ди для дисперсии нормально распределенной гс (при известном и неизвестном мо).
- •50. Асимптотические ди для мо и дисперсии произвольно распределенной гс.
- •51. Статистические гипотезы. Критерии согласия и их характеристики.
- •52. Критерий хи-квадрат Пирсона для проверки простой гипотезы о виде распределения.
- •53. Критерий хи-квадрат Пирсона для проверки сложной гипотезы о виде распределения.
25. Теоремы о числовых характеристиках.
Теорема 1 (теорема сложения математических ожиданий).
Математическое ожидание суммы двух любых случайных величин иравно сумме их математических ожиданий:.
▲ Докажем теорему в непрерывном случае, в дискретном случае доказать самостоятельно.
Из обобщения ОТМО на двумерный случай при имеем:
■.
По индукции теорема 1 обобщается на сумму любого конечного числа случайных величин:
.
Теорема 2 (теорема умножения математических ожиданий).
Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин иравно произведению их математических ожиданий:.
▲ Докажем теорему в непрерывном случае, в дискретном случае доказать самостоятельно.
Если непрерывные случайные величины иявляются независимыми, то. Поэтому из обобщения ОТМО на двумерный случай приимеем:
■.
По индукции теорема 2 обобщается на произведение любого конечного числа независимых (в совокупности) случайных величин: .
26. Некоррелированные св. Связь между некоррелированностью и независимостью. Пример.
Определение. Случайные величины и, для которых корреляционный момент, называютсянекоррелированными.
Учитывая, что ,
получаем: случайные величины иявляются некоррелированными тогда и только тогда, когда.
Отсюда и из теоремы 2 вытекает, что из независимости случайных величин всегда следует их некоррелированность. Обратное, вообще говоря, неверно. Можно только сказать, что если случайные величины являются коррелированными, так, что , то они являются зависимыми.
Пример.
Равномерное распределение в круге .
Ранее были найдены одномерные плотности вероятностей координат вектора :
и установлено, что случайные величины иявляются зависимыми, так как.
Найдем корреляционный момент СВи.
в силу нечетности подинтегральной функции и симметричности относительно нуля пределов интегрирования.
По аналогичным соображениям Найдем.
также в силу нечетности подинтегральной функции.
Таким образом, и, следовательно, случайные величиныиявляются зависимыми, но некоррелированными.
Понятие некоррелированности случайных величин играет важную роль в теории вероятностей. Подтверждением тому является следующая теорема.
Теорема 3 (теорема сложения дисперсий).
Для любых действительных чисел и любых случайных величини, имеющих конечную дисперсию.
В частности, если и случайные величиныиявляются некоррелированными, то имеет место свойство аддитивности дисперсии:.
▲ Доказательство теоремы основано только на свойствах математического ожидания и определении корреляционного момента :
.■.
По индукции утверждение теоремы 3 обобщается на линейную комбинацию любого конечного числа случайных величин следующим образом.
Для любых действительных чисел и случайных величин, имеющих конечную дисперсию
.
В частности, если все , а случайные величиныявляются попарно некоррелированными (), то имеет место свойство аддитивности дисперсии:.
27. Коэффициент корреляции, его свойства и вероятностный смысл.
Значение корреляционного момента зависит от единиц измерения случайных величини. Безразмерным аналогомявляетсякоэффициент корреляции, определяемый формулой: ,
где - средние квадратические отклонения случайных величини.
Свойства коэффициента корреляции.
, если случайные величины иявляются независимыми.
(Свойство очевидно, так как в этом случае ).
Коэффициент корреляции по модулю не превосходит 1: .
▲ В соответствии со свойством 1 дисперсии .
Положим . Тогда,
Откуда .
Следовательно, , и поэтому.■.
тогда и только тогда, когда случайные величины исвязаны линейной зависимостью, то есть существуют действительные числаА и В такие, что .
▲ Необходимость. Предположим, что . Тогдаи из доказательства свойства 2 следует, чтопри. В соответствии со свойством 1 дисперсии это означает, что, откудаи значит.
Достаточность. Пусть . Тогда, а корреляционный момент случайных величиниравен
.
Поэтому ■.
Итак, для независимых случайных величин и достигает максимального по модулю значениядля сильно (линейно) зависимых случайных величин. Поэтому значение коэффициента корреляции можно интерпретировать как степень линейной зависимости между случайными величинами.
Геометрическая иллюстрация: чем больше по модулю , тем плотнее значения случайного векторарасполагаются вдоль некоторой прямой. Многомерный случай.
Основными числовыми характеристики -мерного случайного вектораявляются:
математическое ожидание ;
корреляционная матрица , элементами которой являются всевозможные попарные корреляционные моменты координат:.
Свойства корреляционной матрицы.
Матрица является симметрической размера:,.
На диагонали матрицы расположены дисперсии координат случайного вектора:,.
Матрица является неотрицательно определенной матрицей, то есть для любогои для любых действительных чисел.
▲ Обозначим - центрированную случайную величины,. Тогдаи для произвольных чиселимеем:
■.
Наряду с корреляционной матрицей , иногда рассматривают нормированную корреляционную матрицу, элементами которой являются всевозможные попарные коэффициенты корреляции координат:. Отличие ее от просто корреляционной матрицы состоит в том, что у нормированной корреляционной матрицы все диагональные элементы равны 1:.