34. Характеристическая функция св и ее свойства.

Наряду с вещественными случайными величинами рассматриваются и комплекснозначные случайные величины, под которыми понимаются функции вида, где,и- вещественнозначные случайные величины, называемые действительной и мнимой частями случайной величинысоответственно. По определению при этом полагается, чтои считается, что математическое ожиданиесуществует, если существуют математические ожиданияи. Отметим, что для математического ожидания комплекснозначной случайной величины остаются справедливыми все свойства М1) – М6) с очевидными изменениями.

Определение. Характеристической функцией вещественной случайной величины с функцией распределенияназывается комплекснозначная функциядействительной переменной, определяемая для любогоравенством:. (4.21)

Вычисляется характеристическая функция в соответствии с основной теоремой о математическом ожидании по формулам:

если - дискретная случайная величина, принимающая значенияс вероятностями, то; (4.22)

если - непрерывная случайная величина с плотностью вероятностей, то. (4.23)

Характеристические функции представляют собой прекрасный аппарат для исследования свойств сумм независимых случайных величин и на их применении основаны доказательства многих предельных теорем.

Свойства характеристических функций

. Характеристическая функция любой случайной величиныудовлетворяет условиям:

, для любого.

▲ ■.

В частности, из свойства следует, что характеристическая функция существует у любой случайной величины, в то время как просто математическое ожидание существует не всегда.

. Характеристическая функция любой случайной величиныобладает свойством:

.

▲ ■.

В частности, из свойства следует, что характеристическая функция случайной величины, имеющей симметричный относительно оси ординат закон распределения, являетсявещественной (в этом случае и поэтому).

. Характеристическая функция любой случайной величиныявляется неотрицательно определенной функцией, то есть для любого, для любыхи любых комплексных чисел.

▲ В соответствии с определением характеристической функции имеем: ■.

Замечание. На самом деле справедливо более общее утверждение, известное как теорема Бохнера-Хинчина. Для того, чтобы непрерывная функция , удовлетворяющая условию, была характеристической функцией, необходимо и достаточно, чтобы она была неотрицательно определенной (свойстводоказывает эту теорему в одну сторону).

. Для любых вещественных чисел

(преобразование характеристической функции при линейном преобразовании).

▲ Действительно, в соответствии с определением характеристической функции имеем:

■.

. Характеристическая функция суммы независимых случайных величин равна произведению характеристических функций слагаемых:

если - независимые случайные величины, а, то.

Свойство означает, что свертке законов распределения независимых случайных величин соответствует произведение их характеристических функций.

▲ В соответствии со свойствами математического ожидания имеем: ■.

. Если у случайной величины при некоторомсуществует момент порядка, то есть, то характеристическая функцияслучайной величиныраз непрерывно дифференцируема и ее-я производная в нулесвязана с моментом порядкасоотношением:

.

В частности, ,,.

▲ Докажем свойство в непрерывном случае, когда случайная величина имеет плотность вероятностейи ее характеристическая функция.

(в дискретном случае доказать самостоятельно).

Формальное дифференцирование характеристической функции раз подает:

,

откуда .

Законность дифференцирования под знаком интеграла определяется тем фактом, что

и существованием момента -го порядка ■.

Замечание. При четном справедливо и обратное утверждение: если характеристическая функция случайной величиныимеет производную-го порядка в нуле, то у нее существуют моментывсех порядковдовключительно и.

. Если у случайной величины существует момент порядка, то есть, то ее характеристическая функцияв окрестности точкиразлагается в ряд Тейлора:

.

▲ Свойство следует из свойстваи определения ряда Тейлора ■.

(формула обращения).

Если - функция распределения случайной величины, а- ее характеристическая функция, то для любых двух точек, в которых функция распределенияявляется непрерывной, справедливо равенство:.

▲ Докажем свойство для непрерывной случайной величины с плотностью вероятностейи абсолютно интегрируемой характеристической функцией:(общий случай см. в учебнике А.А. Боровкова «Теория вероятностей»).

Поскольку в соответствии с (4.23) у непрерывной случайной величины характеристическая функцияявляется преобразованием Фурье от плотности вероятностей:,

то абсолютная интегрируемость является достаточным условием существования обратного преобразования Фурье, в соответствии с которым.

Интегрируя обе части последнего равенства по в пределах отдо, получаем:

,

что и доказывает формулу обращения в непрерывном случае ■.

Непосредственно из свойства вытекают следующие утверждения.

Следствие 1. Если характеристическая функция некоторой случайной величиныабсолютно интегрируема:, то эта случайная величина является непрерывной и ее плотность вероятностейесть обратное преобразование Фурье от характеристической функции:

.

Следствие 2. Абсолютно интегрируемая функция :, удовлетворяющая свойствами, является характеристической тогда и только тогда, когда ее преобразование Фурье всюду неотрицательно:для любого.

▲ В этом случае преобразование Фурье , где- плотность вероятностей некоторой непрерывной случайной величины, являющаяся функцией неотрицательной для любого■.

Замечание. Фактически утверждение следствия 2 позволяет проверять свойство неотрицательной определенности абсолютно интегрируемой функции . Если функция, удовлетворяющая свойствами, абсолютно интегрируемой не является, но допускает представление в виде ряда Фурье, то она является характеристической функцией (и, следовательно, обладает свойством неотрицательной определенности) дискретной случайной величины, принимающей значенияс вероятностями.

Следствие 3 (теорема единственности).

Характеристическая функция случайной величиныоднозначно определяет ее функцию распределения.

▲ Следует из формулы обращения и того, что разностипри любыходнозначно определяют функцию распределения■.