- •1. Случайный эксперимент. Пространство элементарных событий. Случайные события и операции над ними.
- •Свойства операций над событиями
- •2. Классическое определение вероятности. Урновая схема. Пример.
- •3. Геометрическое определение вероятности. Пример.
- •4. Аксиоматическое определение вероятности. Вероятностное пространство. Свойства вероятности.
- •5. Условная вероятность и ее свойства. Правило и теорема умножения вероятностей.
- •6. Независимость событий. Свойства независимых событий. Независимость в совокупности.
- •7. Формулы полной вероятности и Байеса. Пример.
- •8. Схема независимых испытаний Бернулли. Наивероятнейшее число успехов.
- •9. Понятие случайной величины (св). Функция распределения св и ее свойства.
- •10. Дискретные св. Закон распределения дискретной св.
- •11. Важнейшие дискретные св.
- •12. Непрерывные св. Плотность вероятностей и ее свойства.
- •13. Важнейшие непрерывные св.
- •14. Математическое ожидание (мо) дискретных и непрерывных св.
- •15. Основная теорема о мо. Свойства мо.
- •16. Моменты высших порядков. Дисперсия и среднеквадратическое отклонение. Свойства дисперсии.
- •17. Числовые характеристики важнейших св.
- •18. Случайные векторы. Функция распределения случайного вектора и ее свойства.
- •19. Дискретные случайные векторы. Закон распределения дискретного случайного вектора.
- •20. Непрерывные случайные векторы. Плотность вероятностей случайного вектора и ее свойства.
- •21.Равномерное распределение в области на плоскости. Равномерные распределения в прямоугольнике и в круге.
- •22. Независимость случайных величин. Условия независимости. Независимость в совокупности.
- •23.Условные законы распределения. Условная плотность вероятностей и ее свойства. Условные числовые характеристики.
- •24.Числовые характеристики случайных векторов. Корреляционная матрица и ее свойства. Понятие о моментах случайных векторов.
- •25. Теоремы о числовых характеристиках.
- •26. Некоррелированные св. Связь между некоррелированностью и независимостью. Пример.
- •27. Коэффициент корреляции, его свойства и вероятностный смысл.
- •28. Многомерное нормальное распределение и его свойства.
- •29. Функции от св и их законы распределения. Функции случайных аргументов
- •Функции от случайных величин
- •Функции от случайных векторов
- •30. Закон распределения суммы св. Композиция (свертка) законов распределения. Пример.
- •31. Неравенство Чебышева. Виды сходимости последовательностей св и связь между ними.
- •Неравенство Чебышева
- •Виды сходимости последовательностей случайных величин и связь между ними
- •32. Закон больших чисел (збч) для последовательностей св. Теоремы Маркова и Чебышева.
- •33. Збч для последовательностей независимых одинаково распределенных св. Задача об измерениях. Теорема Бернулли и ее применение.
- •34. Характеристическая функция св и ее свойства.
- •Свойства характеристических функций
- •35.Характеристические функции важнейших св. Устойчивость нормального закона распределения.
- •Характеристические функции случайных векторов
- •36. Сходимость распределений (слабая сходимость) и ее связь со сходимостью по вероятности. Теорема непрерывности.
- •37.Центральная предельная теорема (цпт) для независимых одинаково распределенных св. Интегральная теорема Муавра-Лапласа.
- •38.Цпт для независимых разнораспределенных св: теоремы Линдеберга и Ляпунова. Смысл условия Линдеберга. Асимптотическая нормальность.
- •39. Теорема Хинчина. Понятие об усиленном збч.
- •40. Статистическая модель. Генеральная совокупность (гс), выборка, объем выборки. Простейшие способы представления статистических данных.
- •41. Эмпирическая функция распределения и ее свойства.
- •42. Гистограмма и полигон частот.
- •43.Выборочные (эмпирические) числовые характеристики. Выборочное среднее и выборочная дисперсия.
- •44.Точечные оценки неизвестных параметров распределений. Требования, предъявляемые к точечным оценкам.
- •Точечные оценки. Методы нахождения точечных оценок.
- •45. Свойства выборочного среднего и выборочной дисперсии как точечных оценок мо и дисперсии соответственно.
- •46. Метод моментов получения точечных оценок. Свойства оценок, найденных по методу моментов. Пример. Метод моментов.
- •47. Метод максимального правдоподобия. Свойства оценок максимального правдоподобия. Пример.
- •48. Интервальные оценки неизвестных параметров распределений. Доверительные интервалы (ди) для мо нормально распределенной гс (при известной и неизвестной дисперсии).
- •49. Ди для дисперсии нормально распределенной гс (при известном и неизвестном мо).
- •50. Асимптотические ди для мо и дисперсии произвольно распределенной гс.
- •51. Статистические гипотезы. Критерии согласия и их характеристики.
- •52. Критерий хи-квадрат Пирсона для проверки простой гипотезы о виде распределения.
- •53. Критерий хи-квадрат Пирсона для проверки сложной гипотезы о виде распределения.
20. Непрерывные случайные векторы. Плотность вероятностей случайного вектора и ее свойства.
Снова начнем с рассмотрения двумерного случайного вектора .
Определение. Случайный вектор , заданный на вероятностном пространстве, называетсянепрерывным (или имеющим непрерывный закон распределения), если существует такая функция , двух действительных переменных, что для любой точкифункция распределенияслучайного векторадопускает представление:. (3.5)
Функция при этом называетсяплотностью вероятностей случайного вектора или двумерной плотностью вероятностей или совместной плотностью вероятностей случайных величини.
Из определения (3.5) следует:
1. Функция распределения непрерывного случайного вектора является непрерывной пои по(как двойной интеграл с переменными верхними пределами);
2. Функция распределения непрерывного случайного вектора является дифференцируемой пои пово всех точках, являющихся точками непрерывности двумерной плотности вероятностей, и при этом имеет место равенство:(3.6)
(также по свойствам двойного интеграла с переменными верхними пределами).
Замечание. Другими словами (сравнить с соответствующим замечанием в разделе 2.4), равенство (3.6) справедливо почти всюду, кроме (возможно) из некоторого множества нулевой меры на плоскости (площади).
Вероятностный смысл двумерной плотности вероятностей
Из (3.6), определения производной и свойства 2F4) двумерной функции распределения получаем, что
.
Таким образом, плотность вероятностей - это предел отношения вероятности попадания непрерывного случайного векторав прямоугольник со сторонамии, параллельными осям координат, к площади этого прямоугольника, когда длины обеих сторон стремятся к нулю (при интерпретации вероятности как массы, приходящейся на элементарный прямоугольник, получаем, чтоесть плотность массы в точке).
При малых иможно также записать, что
. (3.7)
Свойства двумерной плотности вероятностей
2f1). Двумерная плотность вероятностей является функцией неотрицательной:для любых.
▲ Поскольку функция распределения является неубывающей функцией по каждому из своих аргументов, то ее производная. Поэтому свойство следует из равенства (3.6) ■.
2f2). -условие нормировки.
▲ Из представления (3.5) следует, что , а в соответствии со свойством 2F2) двумерной функции распределения ■.
2f3). Вероятность попадания непрерывного случайного вектора в любое борелевское множествоопределяется формулой:.
▲ Разобъем множество на
элементарных непересекающихся
прямоугольников со сторонами,
параллельными осям координат и
равными и,.
Так как в соответствии с (3.7) и, то в силу аддитивности вероятности имеем:.
Последняя сумма является интегральной, и поэтому предельный переход при приводит к равенству■.
Замечание. Приведенное доказательство свойства 2f3), хотя и не является полностью строгим, но обладает наглядностью и фактически основано на том, что любое борелевское множество представимо в виде суммы элементарных прямоугольников.
2f4). Координаты непрерывного случайного вектора с плотностью вероятностейявляются непрерывными случайными величинами, плотности вероятностей которых(маргинальные плотности вероятностей), выражаются черезпо формулам:
, (3.8)
в точках непрерывности функций и.
▲ Из представления (3.5) следует, что .
Дифференцируя обе части этого равенства по , в точках непрерывности функцийиполучаем:.
Аналогично, из представления (3.5)
и после дифференцирования обеих частей последнего равенства по , имеем:
в точках непрерывности функций и■.
Определение. Случайный вектор называется непрерывным, если существует такая функциядействительных переменных, что для любой точкифункция распределенияслучайного векторадопускает представление:.
Функция при этом называетсяплотностью вероятностей случайного вектора или многомерной (-мерной) плотностью вероятностей, или совместной плотностью вероятностей случайных величин.
Во всех точках , являющихся точками непрерывности плотности вероятностей, имеет место равенство:.
Свойства многомерной плотности вероятностей
nf1). .
nf2). -условие нормировки.
nf3). Вероятность попадания случайного вектора в любое борелевское множествоопределяется формулой:;
nf4). Если - непрерывный случайный вектор с плотностью вероятностей, то случайный векторпри любоми любом наборе индексовтакже является непрерывным и имеет плотность вероятностей, определяемую по формуле:
(свойство согласованности).