- •1. Случайный эксперимент. Пространство элементарных событий. Случайные события и операции над ними.
- •Свойства операций над событиями
- •2. Классическое определение вероятности. Урновая схема. Пример.
- •3. Геометрическое определение вероятности. Пример.
- •4. Аксиоматическое определение вероятности. Вероятностное пространство. Свойства вероятности.
- •5. Условная вероятность и ее свойства. Правило и теорема умножения вероятностей.
- •6. Независимость событий. Свойства независимых событий. Независимость в совокупности.
- •7. Формулы полной вероятности и Байеса. Пример.
- •8. Схема независимых испытаний Бернулли. Наивероятнейшее число успехов.
- •9. Понятие случайной величины (св). Функция распределения св и ее свойства.
- •10. Дискретные св. Закон распределения дискретной св.
- •11. Важнейшие дискретные св.
- •12. Непрерывные св. Плотность вероятностей и ее свойства.
- •13. Важнейшие непрерывные св.
- •14. Математическое ожидание (мо) дискретных и непрерывных св.
- •15. Основная теорема о мо. Свойства мо.
- •16. Моменты высших порядков. Дисперсия и среднеквадратическое отклонение. Свойства дисперсии.
- •17. Числовые характеристики важнейших св.
- •18. Случайные векторы. Функция распределения случайного вектора и ее свойства.
- •19. Дискретные случайные векторы. Закон распределения дискретного случайного вектора.
- •20. Непрерывные случайные векторы. Плотность вероятностей случайного вектора и ее свойства.
- •21.Равномерное распределение в области на плоскости. Равномерные распределения в прямоугольнике и в круге.
- •22. Независимость случайных величин. Условия независимости. Независимость в совокупности.
- •23.Условные законы распределения. Условная плотность вероятностей и ее свойства. Условные числовые характеристики.
- •24.Числовые характеристики случайных векторов. Корреляционная матрица и ее свойства. Понятие о моментах случайных векторов.
- •25. Теоремы о числовых характеристиках.
- •26. Некоррелированные св. Связь между некоррелированностью и независимостью. Пример.
- •27. Коэффициент корреляции, его свойства и вероятностный смысл.
- •28. Многомерное нормальное распределение и его свойства.
- •29. Функции от св и их законы распределения. Функции случайных аргументов
- •Функции от случайных величин
- •Функции от случайных векторов
- •30. Закон распределения суммы св. Композиция (свертка) законов распределения. Пример.
- •31. Неравенство Чебышева. Виды сходимости последовательностей св и связь между ними.
- •Неравенство Чебышева
- •Виды сходимости последовательностей случайных величин и связь между ними
- •32. Закон больших чисел (збч) для последовательностей св. Теоремы Маркова и Чебышева.
- •33. Збч для последовательностей независимых одинаково распределенных св. Задача об измерениях. Теорема Бернулли и ее применение.
- •34. Характеристическая функция св и ее свойства.
- •Свойства характеристических функций
- •35.Характеристические функции важнейших св. Устойчивость нормального закона распределения.
- •Характеристические функции случайных векторов
- •36. Сходимость распределений (слабая сходимость) и ее связь со сходимостью по вероятности. Теорема непрерывности.
- •37.Центральная предельная теорема (цпт) для независимых одинаково распределенных св. Интегральная теорема Муавра-Лапласа.
- •38.Цпт для независимых разнораспределенных св: теоремы Линдеберга и Ляпунова. Смысл условия Линдеберга. Асимптотическая нормальность.
- •39. Теорема Хинчина. Понятие об усиленном збч.
- •40. Статистическая модель. Генеральная совокупность (гс), выборка, объем выборки. Простейшие способы представления статистических данных.
- •41. Эмпирическая функция распределения и ее свойства.
- •42. Гистограмма и полигон частот.
- •43.Выборочные (эмпирические) числовые характеристики. Выборочное среднее и выборочная дисперсия.
- •44.Точечные оценки неизвестных параметров распределений. Требования, предъявляемые к точечным оценкам.
- •Точечные оценки. Методы нахождения точечных оценок.
- •45. Свойства выборочного среднего и выборочной дисперсии как точечных оценок мо и дисперсии соответственно.
- •46. Метод моментов получения точечных оценок. Свойства оценок, найденных по методу моментов. Пример. Метод моментов.
- •47. Метод максимального правдоподобия. Свойства оценок максимального правдоподобия. Пример.
- •48. Интервальные оценки неизвестных параметров распределений. Доверительные интервалы (ди) для мо нормально распределенной гс (при известной и неизвестной дисперсии).
- •49. Ди для дисперсии нормально распределенной гс (при известном и неизвестном мо).
- •50. Асимптотические ди для мо и дисперсии произвольно распределенной гс.
- •51. Статистические гипотезы. Критерии согласия и их характеристики.
- •52. Критерий хи-квадрат Пирсона для проверки простой гипотезы о виде распределения.
- •53. Критерий хи-квадрат Пирсона для проверки сложной гипотезы о виде распределения.
31. Неравенство Чебышева. Виды сходимости последовательностей св и связь между ними.
Есть две группы предельных теорем, объединяемых названиями: законы больших чисел и центральная предельная теорема. Законы больших чисел устанавливают факт приближения среднего арифметического случайных величин к некоторой неслучайной величине (константе). Центральная предельная теорема устанавливает факт приближения закона распределения суммы случайных величин к нормальному закону распределения.
Прежде, чем переходить к рассмотрению предельных теорем, приведем ряд понятий и фактов, необходимых для их формулировки и доказательства.
Неравенство Чебышева
Получим вначале некоторые оценки для распределений случайных величин.
Лемма. Если неотрицательная случайная величина имеет конечное математическое ожидание, то для любогосправедливо неравенство:.
▲ Докажем лемму для непрерывной случайной величины (для дискретной случайной величины доказать самостоятельно). По определению математического ожидания непрерывной случайной величины
,
откуда и следует утверждение леммы ■.
Следствие (неравенство Чебышева). Если случайная величина имеет конечную дисперсию, то для любогосправедливы следующие неравенства:; (4.15)
.
▲ В соответствии с предыдущей леммой
,
что доказывает неравенство (4.15). Неравенство следует из (4.15) путем перехода к противоположному событию ■.
Неравенство Чебышева имеет большое теоретическое и практическое значение. Оно дает простую оценку для вероятности отклонения случайной величины с произвольным законом распределения от ее математического ожидания. Причем, если о случайной величине, кроме ее математического ожидания и дисперсии ничего неизвестно, то эту оценку улучшить нельзя (существует пример случайной величины, для которой в (4.15) достигается равенство). Если же есть дополнительная информация о случайной величине (например, известен ее закон распределения), то оценки (4.15) и могут быть существенно улучшены.
Пример. Пусть случайная величина имеет нормальный закон распределения:. Тогда:
- на основании неравенства Чебышева ;
- в соответствии с «правилом »,
где - функция Лапласа.
Виды сходимости последовательностей случайных величин и связь между ними
Как и в математическом анализе, в теории вероятностей имеют дело с различными видами сходимости последовательностей случайных величин. Основными среди них являются: сходимость по вероятности, сходимость почти наверное и сходимость в среднем порядка (в среднем квадратическом).
Пусть на вероятностном пространстве заданы последовательность случайных величини величина(случайная или нет).
Определение. Говорят, что последовательность случайных величин сходится по вероятности к величине , если для любого
или, что эквивалентно,
Краткое обозначение сходимости по вероятности: или. В математическом анализе этот вид сходимости называется сходимостьюпо мере.
Определение. Говорят, что последовательность случайных величин сходится почти наверное к величине (почти всюду, с вероятностью 1), если
или, что эквивалентно, .
Краткое обозначение сходимости почти наверное: .
Другими словами, еслидля всех, за исключением, быть может,из множества, имеющего нулевую вероятность:.
Смысл этой сходимости в математическом анализе - почти поточечная сходимость последовательности функций.
Определение. Говорят, что последовательность случайных величин сходится к величинев среднем порядка (), если.
Краткое обозначение сходимости в среднем порядка :(в данном определении предполагается, что все случайные величины обладают конечными моментами до порядкавключительно).
В математическом анализе этот вид сходимости называется сходимостью в смысле (в гильбертовом пространстве порядка ).
Сходимость в среднем порядка называют сходимостью в среднем квадратическом и используют запись:или(limit in the mean). В дальнейшем мы будем иметь дело в основном с этим видом сходимости в среднем.
Смысл введенных видов сходимостей последовательностей случайных величин: понятие предела определено только для числовой последовательности, поэтому случайность под знаком предела должна быть ликвидирована. Это делается в приведенных определениях либо с помощью вероятности, либо с помощью математического ожидания со своим понятием близости между и.
Лемма (связь между видами сходимостей).
а) Если последовательность случайных величин сходится к величинепочти наверное, то она сходится к этой величине и по вероятности:.
б) Если последовательность случайных величин сходится к величинев среднем порядка(), то она сходится к этой величине и по вероятности:.
▲ а) Если , то по определению сходимости почти наверное на множестве(), начиная с некоторого, при любоми для любогосправедливо неравенство:. Другими словами,
или, переходя к противоположному событию: . (4.16)
Покажем, что равенство (4.16) эквивалентно тому, что . (4.17)
Действительно, поскольку при любом :,
то, переходя в обеих частях данного неравенства к пределу при , получаем, что из (4.17) следует (4.16), так как вероятность не может быть отрицательной (лемма о двух милиционерах).
Для доказательства того, что из (4.16) следует (4.17), рассмотрим события . Посколькуив соответствии с (4.16), тов силу аксиомы непрерывности вероятности Р4).
Для окончательного доказательства утверждения а) леммы достаточно заметить, что для любого в соответствии с (4.17).
Поэтому (в соответствии с леммой о двух милиционерах).
б) Зафиксируем . Тогда в силу неравенства Чебышева для любого
.
Поэтому, если , тои, следовательно, для любого(снова в соответствии с леммой о двух милиционерах) ■.
Замечание. Из леммы следует, что сходимость по вероятности является слабейшей из всех введенных трех видов сходимостей последовательностей случайных величин. Обратные импликации в утверждениях а) и б) леммы, вообще говоря, неверны (соответствующие примеры можно найти в учебнике А.А. Боровкова «Теория вероятностей»).