- •1. Случайный эксперимент. Пространство элементарных событий. Случайные события и операции над ними.
- •Свойства операций над событиями
- •2. Классическое определение вероятности. Урновая схема. Пример.
- •3. Геометрическое определение вероятности. Пример.
- •4. Аксиоматическое определение вероятности. Вероятностное пространство. Свойства вероятности.
- •5. Условная вероятность и ее свойства. Правило и теорема умножения вероятностей.
- •6. Независимость событий. Свойства независимых событий. Независимость в совокупности.
- •7. Формулы полной вероятности и Байеса. Пример.
- •8. Схема независимых испытаний Бернулли. Наивероятнейшее число успехов.
- •9. Понятие случайной величины (св). Функция распределения св и ее свойства.
- •10. Дискретные св. Закон распределения дискретной св.
- •11. Важнейшие дискретные св.
- •12. Непрерывные св. Плотность вероятностей и ее свойства.
- •13. Важнейшие непрерывные св.
- •14. Математическое ожидание (мо) дискретных и непрерывных св.
- •15. Основная теорема о мо. Свойства мо.
- •16. Моменты высших порядков. Дисперсия и среднеквадратическое отклонение. Свойства дисперсии.
- •17. Числовые характеристики важнейших св.
- •18. Случайные векторы. Функция распределения случайного вектора и ее свойства.
- •19. Дискретные случайные векторы. Закон распределения дискретного случайного вектора.
- •20. Непрерывные случайные векторы. Плотность вероятностей случайного вектора и ее свойства.
- •21.Равномерное распределение в области на плоскости. Равномерные распределения в прямоугольнике и в круге.
- •22. Независимость случайных величин. Условия независимости. Независимость в совокупности.
- •23.Условные законы распределения. Условная плотность вероятностей и ее свойства. Условные числовые характеристики.
- •24.Числовые характеристики случайных векторов. Корреляционная матрица и ее свойства. Понятие о моментах случайных векторов.
- •25. Теоремы о числовых характеристиках.
- •26. Некоррелированные св. Связь между некоррелированностью и независимостью. Пример.
- •27. Коэффициент корреляции, его свойства и вероятностный смысл.
- •28. Многомерное нормальное распределение и его свойства.
- •29. Функции от св и их законы распределения. Функции случайных аргументов
- •Функции от случайных величин
- •Функции от случайных векторов
- •30. Закон распределения суммы св. Композиция (свертка) законов распределения. Пример.
- •31. Неравенство Чебышева. Виды сходимости последовательностей св и связь между ними.
- •Неравенство Чебышева
- •Виды сходимости последовательностей случайных величин и связь между ними
- •32. Закон больших чисел (збч) для последовательностей св. Теоремы Маркова и Чебышева.
- •33. Збч для последовательностей независимых одинаково распределенных св. Задача об измерениях. Теорема Бернулли и ее применение.
- •34. Характеристическая функция св и ее свойства.
- •Свойства характеристических функций
- •35.Характеристические функции важнейших св. Устойчивость нормального закона распределения.
- •Характеристические функции случайных векторов
- •36. Сходимость распределений (слабая сходимость) и ее связь со сходимостью по вероятности. Теорема непрерывности.
- •37.Центральная предельная теорема (цпт) для независимых одинаково распределенных св. Интегральная теорема Муавра-Лапласа.
- •38.Цпт для независимых разнораспределенных св: теоремы Линдеберга и Ляпунова. Смысл условия Линдеберга. Асимптотическая нормальность.
- •39. Теорема Хинчина. Понятие об усиленном збч.
- •40. Статистическая модель. Генеральная совокупность (гс), выборка, объем выборки. Простейшие способы представления статистических данных.
- •41. Эмпирическая функция распределения и ее свойства.
- •42. Гистограмма и полигон частот.
- •43.Выборочные (эмпирические) числовые характеристики. Выборочное среднее и выборочная дисперсия.
- •44.Точечные оценки неизвестных параметров распределений. Требования, предъявляемые к точечным оценкам.
- •Точечные оценки. Методы нахождения точечных оценок.
- •45. Свойства выборочного среднего и выборочной дисперсии как точечных оценок мо и дисперсии соответственно.
- •46. Метод моментов получения точечных оценок. Свойства оценок, найденных по методу моментов. Пример. Метод моментов.
- •47. Метод максимального правдоподобия. Свойства оценок максимального правдоподобия. Пример.
- •48. Интервальные оценки неизвестных параметров распределений. Доверительные интервалы (ди) для мо нормально распределенной гс (при известной и неизвестной дисперсии).
- •49. Ди для дисперсии нормально распределенной гс (при известном и неизвестном мо).
- •50. Асимптотические ди для мо и дисперсии произвольно распределенной гс.
- •51. Статистические гипотезы. Критерии согласия и их характеристики.
- •52. Критерий хи-квадрат Пирсона для проверки простой гипотезы о виде распределения.
- •53. Критерий хи-квадрат Пирсона для проверки сложной гипотезы о виде распределения.
37.Центральная предельная теорема (цпт) для независимых одинаково распределенных св. Интегральная теорема Муавра-Лапласа.
Пусть - последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с конечными математическим ожиданиеми дисперсией,- сумма первыхслучайных величин.
В соответствии с законом больших чисел для независимых одинаково распределенных случайных величин (Теорема 3)
или, после приведения к общему знаменателю, .
Возникает вопрос: если при делении на мы получили в пределе 0 (в смысле некоторой, все равно какой, сходимости), то не слишком ли на «много» мы поделили? Нельзя ли поделить на что-нибудь, растущее кмедленнее, чем, чтобы получить в пределе не 0 (и не, естественно)? Оказывается, что уже последовательность случайных величинсходится не к 0, а к случайной величине,причем имеющей нормальный закон распределения!!!
Теоремы, которые устанавливают нормальность предельного (в смысле слабой сходимости) закона распределения суммы случайных величин называются центральными предельными теоремами (ЦПТ).
Теорема 1 (ЦПТ для независимых одинаково распределенных случайных величин).
Пусть - последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, имеющих конечные математическое ожидание и дисперсию ,- сумма первыхслучайных величин.
Тогда при последовательность случайных величинслабо сходится к стандартному нормальному закону распределения:
или, что эквивалентно, последовательность функций распределения сходится к функции распределениястандартного нормального закона распределения (функции Лапласа) равномерно по всем:.
Замечание. Учитывая, что , аи согласно определениям функции распределения и функции Лапласа, утверждение Теоремы 1 можно переписать в следующем виде.
Последовательность центрированных и нормированных сумм независимых случайных величин слабо сходится прик стандартному нормальному закону распределения:
или, что эквивалентно, равномерно по всем
▲ Обозначим независимые случайные величины, имеющиеи,(стандартизованные случайные величины) и пусть. Так как, то требуется доказать, что.
Вычислим характеристическую функцию случайной величины .
Применяя свойства и, имеем:.
В соответствии со свойством характеристическую функциюслучайной величиныможно разложить в ряд Тейлора, в коэффициентах которого использовать известные моменты:,:.
Подставляя полученное разложение, взятое в точке , в выражение для, получаем:
.
Устремляя и воспользовавшись вторым замечательным пределом, имеем:.
В пределе мы получили характеристическую функцию стандартного нормального закона распределения . По теореме непрерывностиможно сделать вывод о слабой сходимости припоследовательности функций распределенияк функции распределения стандартного нормального закона распределения:. При этом, поскольку предельная функция распределенияявляется непрерывной на всей числовой прямой, то сходимость функций распределения является равномерной по■.
Следствие (Интегральная предельная теорема Муавра-Лапласа).
Обозначим - число успехов внезависимых испытаниях по схеме Бернулли с вероятностью успеха в каждом испытании равной,(то есть). Тогда при
или, что эквивалентно, при равномерно по всем:.
В частности, при больших и любых неотрицательных целыхи
.
▲ Доказательство первого утверждения непосредственно следует из Теоремы 1, поскольку случайная величина является суммой независимых одинаково распределенных случайных величин:, где- число успехов в-ом испытании,,,(см. доказательство теоремы Бернулли).
Второе утверждение следует из первого и свойств функции распределения:
■.
Если - последовательность независимых, разно-распределенных случайных величин, то для справедливости ЦПТ уже необходимо накладывать на случайные величинынекоторые ограничения. Наиболее общим результатом в этом направлении является следующая теорема.